Seminarberichte Nr. 11

(1)

deposit_hagen

Mathematik und

Informatik

Seminarberichte aus dem Fachbereich Mathematik der FernUniversität

11 – 1982

Die Dozentinnen und Dozenten der Mathematik (Hrsg.)

Seminarbericht Nr. 11

(2)

Uber die Automorphismen kompakter Riemannscher Flächen von A. Duma

TC

and the aategory of Banaah spaaes von D. Pumplün und H. Röhrl

Categoriaal algebraic properties.

A aompendium on amalgamation, aongruence extension, epimorphisms, residual smallness, and injeativity

von E.W. Kiss, L. M&rki, P. Pröhle und W. Tholen

Seite

- 1 -

- 3 2 -

- 142 -

(3)

OBER DIE AUTOMORPHISMEN KOMPAKTER RIEMANNSCHER FLACHEN *)

Andrei Duma

§

O Einleitung

Im Rahmen der Vorlesung "Funktionentheorie I" ist es schon nach wenigen Wochen notwendig, die "mehrdeutigen Funktionen

^II

krz und 1 og z zu be- trachten. Meist .fehlt jedoch die Zeit, diese Funktionen ausführli~h zu analysieren und die Idee der Riemannschen Fläche zu diskutieren, was anhand dieser Funktionen gut möglich wäre. Dies geschieht (wenn über- haupt!) erst in einer weiterführenden Vorlesung, welche in der Regel abstrakt beginnt: Riemannsche Flächen sind die 1-dimensionalen

komplexen Mannigfaltigkeiten etc. Eine Einführung durch die obigen Bei- spiele unterstreicht dagegen den wesentlichen Unterschied der zuge- ordneten Riemannschen Prächen: die Fläche der k - ten Wurzel ist kempakt, die des Logarithmus dagegen nicht-kompakt. Betrachtet man krz und -log z als holomorphe (und eindeutige) Funktionen auf den dazugehörigen Riemann- schen Flächen, und weiter die Urbilder der Einheitskreislinie, so kann man die traditionelle Terminologie geschlossen für kompakt und offen für nicht-kompakt sehr gut motivieren.

Jede Riemannsche Fläche ist insbesondere eine orientierbare, reell- 2-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit. Die kcmpaktenRiemann- schen Flächen sind daher homöomorph zu einer Kugel mit endlich vielen Henkeln; die Anzahl der Henkel ist eine topologische Invariante der_

Fläche und heißt das (topologische) Gesch1echt.

*)Nach einem Vortrag im Mathematischen Kolloquium. der Universität Konstanz, April 1980. Das rege Interesse der Xanstanzer ~ollegen hat mich veranlaßt, einige der klassischen und neueren Ergebnisse über die Automorphismen kompakter Riemannscher ~liehen =usammenzu- stellen. Es werden dabei nur nicht - berandete kompakte Riemannsche Flächen betrachtet. Auf genaue Quellenangaben mußte ver::ichtet werden; der Leser sei auf das ausführliche Literaturver::eichnis am Schluß der Arbeit ver.-1iasen. Serrn Prof. ~r. t.. Kaup, ::errn Dr. G.

Barthel, Herrn W. Radtke sowie Herrn ~r. M. Teufel danke ich für

(4)

Eine algebraische Charakterisierung der Riemannschen Flächen wird durch die meromorphen Funktionenkörper gegeben. Ist Reine Riemannsche Fläche, so bezeichne M den Körper aller auf R meromorphen Funktionen. Es gilt:

R

Zwei Flächen Rund R' sind genau dann biholomorph äquivalent, wenn die lt - Körpererweiterungen 1\ und

MR,

lt - isomorph sind.

Von besonderer Bedeutung sind auch die folgenden Ergebnisse:

1)

Eine Riemannsche Fläche Rist genau dann kompakt, wenn M ein alge- braischer Funktionenkörper ist, d.h. trgrad

1 ^~1R⁼1.

In diesem Fall sei x

E MR\ lt.

Aus dem Satz vom primitiven Element folgt die Existenz einer weiteren Funktion y

E MR

und eines irreduziblen Polynoms P mit komplexen

Koeffizienten, so daß P(x,y) = o (auf R) ist und lt(x,y) = M .

R

2) Ist PE-lt [X,YJ ein irreduzibles Polynom, so gibt es eine kompakte Riemannsche Fläche RP und zwei auf RP meromorphe Funktionen x und y, so daß P(x,y)

=

o und

MR =

lt(x,y)

=

Quot(lt [ X,Y

^J

/P) gilt. Genauer: ·ourch homogenisieren erhält män aus P das homogene irreduzible Polynom

P

E lt

[X,Y,Z]. Der ebenen algebraischen Kurve

hom

loc(Ph )

:= {

<X,Y,Z> E

P

2 (lt);

Ph (X,Y,Z) =o}

om om

entspricht auf kanonische Weise eine kompakte Riemannsche Fläche RP (s.

[8]),die als das analytische Gebilde von P bezeichnet wird. In diesem Sinne werden wir im folgenden von der Riemannschen Fläche P(x,y)

=

o sowie auch von deren· Projektion (x,y)

^•

x auf lP

₁

(lt) sprechen.

Erin wichtiger Aspekt der Theorie der komnakten Riemannschen Flächen ist

das Studium der Automorphismengruppen. Seit über hundert Jahren hat man

die vollen Automorphismengruppen und auch deren Untergruppen untersucht,

gerade jedoch in jüngster Zeit konnten hier wesentliche Fortschritte er-

zielt werden. In dieser Arbeit wird versucht, eine Bestandsaufnahme der

Ergebnisse aus diesem Themenkreis zu machen, und auf einige offene Fragen

hinzuweisen. Nur ein Teil der Resultate hat endgültigen Charakter; viele

interessante Fragen sind erst zum Teil beantwortet oder noch völlig offen.

(5)

- 2 -

Im folgenden werden die Automorphismengruppen einer kompakten Riemannschen Fläche von zwei Seiten beleuchtet: aus der Richtung der Transformations- gruppen und aus der Richtung der Weierstraß - Punkte. Transformati onsgrup- pen und Weierstraß - Punkte sind indessen keine disjunkten Gebiete; sowoh 1 die Hilfsmittel aus der Algebra und Topologie als auch die Resultate durch- dringen und ergänzen sich in vielfältigster Weise. Die Frage, wie man die volle Automorphismengruppe Aut(R) einer kompakten Riemannschen Fläche R sowie deren Untergruppen beschreiben kann, steht im

§ 1

im Vordergrund.

§2

gibt vor allem eine übersieht über das Fixounktverhalten der Automor- phismen; ferner wird auf den Zusammenhang zwi sehen den Pol ste 11 enha l b- iruppen und der Automorphismengruppe einer Fläche eingegangen.

_§__!_ Sei R eine kompakte Riemannsche Fläche und

TT: ~

R

^•

R ihre (bis auf einen Homöomorphismus eindeutig bestimmte) universelle Oberlagerung. Die komplexe Struktur von R kann man mittels

TT

auf R hochheben, so daß

TT

lokal biholomorph wird. Mit dieser Struktur versehen, ist R biholomorph

~

äquivalent zu

a) der Riemannschen Zahlenkugel

ll\ =(tu {⁰⁰^}

(dann ist das Geschlecht von R Null),

b) der komplexen Ebene

(t

(dann ist das Geschlecht von R genau 1, d.h.

Rist ein komolexer Torus),

c) der oberen Halbebene

fi

(dann ist das Geschlecht g von R größer gl ei eh 2) .

Die (volle) Automorphismengruppe G einer kompakten Riemannschen Fläche R vom Geschlecht O oder 1 ist bekanntlich unendlich. Die vollständige Liste aller endlichen Untergruppen von G kann man z.B. in [4] nachlesen.

Wir werden uns daher von nun an mit dem Fall g

~

2 beschäftigen.

Sei also Reine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht g

~

2 und

TT: fi ^•

R die dazugehörige universelle Oberlagerung. Dann ist die

(6)

Deckbewegungsgruppe reine Fuchssche Gruppe erster Art, d.h. eine diskrete Untergruppe von PSL (2,lR) , deren Grenzpunktmenge lR ist.

Außer der Identität besteht r nur aus hyperbolischen Transformationen.

Rist konform äquivalent zum Quotienten

~

/r. Die Abhängigkeit der Gruppe r von TT wird durch die folgende Aussage verdeutlicht: Die

kompakten Riemannschen Flächen 1-l /r

₁

und 1·l/f

₂

sind genau dann biholo- - morph äquivalent, wenn r

₁

und r

₂

als Untergruppen von Aut(J-1) zu- einander konjugiert sind, d.h. wenn es ein haus Aut(~) gibt mit h • r

_{1 •}

h -

¹ =

r

₂^•

Jeder Automorphismus f von 1-l/r

1

äßt sieh zu einem Automorphismus f von

1-1

hochheben, d. h. das Diagramm

~ f

1-l 1-1

l

_f

l

1-l/r - - - - J-l/r ist kommutativ. Es gilt also:

i) f gehört dem Normalisator N(r) von ran;

~

ii) Jedes Element von N(r) induziert einen Automorphismus von

1-1

/r;

iii)

Zwei Elemente aus N(r) induzieren genau dann denselben Auto- morphismus von

}l

/r, wenn sie r - äquivalent sind.

Insgesamt kann man diese Behauptungen durch Aut(

}l

/r)

=

N(r)/r zusammen- fassen.

Ist g

~

2 das Geschlecht der kompakten Riemannschen Fläche fi/r, so ist der hyperbolische Flächeninhalt Vol(r) für jedes Fundamentalgebiet von r genau 4TT(g - 1).

~it einfachen topologischen Mitteln kann man zeigen:

i) Der Normalisator N(r) ist ebenfalls eine Fuchssche Gruppe;

i i )

Ist

{y.}

ein vollständiges System von Repräsentanten aller

1. i EI

Nebenklassen aus N(r) bzgl. r, und ist Fein Fundamentalgebiet von N(r), so ist V y.(F) ein Fundamentalgebiet von r.

i EI ^1.

(7)

- 'i' -

[ N(r):

r

l "' Card

(N(r)/r) = ~:~~~)(f))

Damit haben wir die Beweisidee des folgenden Satzes skizziert:

Satz 1 (Schwarz) Jede kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht g

~

2 besitzt nur endlich viele Automorphismen.

Da nach einem Ergebnis von Siegel der hyperbolische Flächeninhaltjedes Fundamentalgebiets einer Fuchssehen Gruppe mindestens

~

ist, kann man

21

daraus folgern:

Satz 2 (Hurwitz) Jede kompakte Riemannsche .Fläche vom Geschlecht g

~

2 besitzt höchstens 84(g - 1) Automorphismen.

Die Ergebnisse von Schwarz und Hurwitz zogen eine Fülle weiterer Fragen und Untersuchungen nach sich. Wir werden einige hier kurz andeuten.

Mit µ(g) bezeichne man die Ordnung der größten Automorphismengruppe einer kompakten Riemannschen Fläche vom Geschlecht g, also:

µ(g)

:=

max { Card(Aut(R)); R ist kompakte Riemannsche Fläche vom Ge- schlecht g} .

Frage 1 Für welche Zahlen g

~

2 gilt: µ(g)

=

84(g- l)?

Für [g = 21 zeigte Felix Klein µ(2) = 48; genauer:

a) Die Fläche y

²=

x

⁵ ^-

x hat eine Automorphismengruppe der Ordnung 48; die Drehung s(x,y)

=

(ix,

/i·y)

und die Involution

t(x,y)

=

(-i ·

x~~,

1s •

Y )

erzeugen diese Gruppe, welche

X 1. (X+i) 3

die binäre Oktaedergrupoe ist;

b) Jede andere Riemannsche Fläche vom Geschlecht 2, die nicht zu y

²=

x

⁵-

x isomorph ist, besitzt höchstens 24 Automorphismen.

Für ig

=

31 hat ebenfalls Felix Klein die so<]. Kleinsche Quartik

3 3 . ·3 3 3

x y

+

y

+

x

=

o (homogen geschrieben: x y

+

y z

+

z x

=

o) untersucht, und die 168 Automorphismen dieser Fläche angegeben, also µ(3)

=

168. Dank Wiman ist bekannt, daß diese Fläche die einzige Fläche vom Ge- schlecht 3 mit 168 Automorphismen ist.

Für !9 = 41 hat Gordan gezeigt, daß es eine Riemannsche Fläche rnit 120

Auto~orDhismen 0ibt. Nach Wiman besitzen alle ~nderen ~iemannschen

(8)

Flächen vom Geschlecht 4 höchstens 72 Automorphismen; also µ ( 4) = 120

<

84 ( 4 - 1) .

Für !g=5I gi1t nach Wiman: µ(5) = 192 < 84(5-1) und für lg=6I ebenfalls u(6)

<

84(6 -1).(Aus der Arbeit von Wiman ist nur

µ(6) ~ 120 deutlich zu entnehmen; wahrscheinlich gilt µ(6) = 120.) Macbeath (1964) und später Edge haben für!g = 7[ herausgefunden:

µ(7)=504=84(7-1). Ebenfalls in den sechziger Jahren hat Macbeath bewiesen:

a) Zu jedem m ~ 1 existiert eine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht g=2m⁶+ 1 mit 84(g- l) Automorphismen; z.B. gibt es

(m=2) eine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht 129 mit 84( 129 - 1) = 10. 752 Automorphismen;

b) Ist g-1 prim und größer gleich 84; so existiert keine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht g mit 84(g- l) Automorphismen.

Eine vollständige Antwort zur Frage 1 ist mir nicht bekannt (und ver- mutlich gar nicht möglich!).

Eine besondere Klasse von kompakten Riemannschen Flächen sind die hyperelliptischen Flächen; das sind diejenigen Flächen, die sich als zwei- blättrige Oberlagerungen der Riemannschen Zahlenkugel P

1 konkretisieren lassen. Man kann nachweisen, daß eine Fläche genau dann hypere11iptisch

. 2g+2

ist, wenn sie isomorph zu einer Fläche der Form y²= -1-1 (x - a.) ist;

j=l J

dabei sind a., 1 s; j s; 2g+2, paarweise verschiedene komplexe Zahlen.

J

·Für g=2 ist jede Riemannsche Fläche hyperelliptisch; dagegen gibt es für jedes g ~ 3 "wesentlich mehr" nicht-hyperelliptische Flächen als hyperelliptische; deutlicher: Die Dimension des Modulraums der kompakten (bzw. der hyperelliptischen) Riemannschen Flächen vom Geschlecht g ~ 2 ist 3g - 3 (bzw. 2 g - 1) .

Man bezeichne mit uh (g) die maximale Ordnung, die bei Automorphismengruppen hypere 11 i pti scher Flächen vorn Gesch 1 echt g vorkommt:

µh(g) :=max { Card(Aut(R)); R hyperelliptisch vom Geschlecht g}.

Nach dem oben Gesagten gilt: µh(2) =u(2) = 48 und µh(g) s; µ(g) für g ~ 3.

1958 bewies Tsuji:

(9)

- u -

anderen g 2: 4.

Man wird fragen, wie gut sichµ(g) durchµh(g) abschätzen läßt:

Frage 2 Ist die untere Schranke 8( g + 1) von µ( g) für g 2: 4 und g E {5,9} scharf?

Eine positive Antwort konnten Accola und Mac1.achlan 1965/66 unabhängig voneinander angeben:

Satz 4 Es gibt unendlich viele natürliche Zahlen g mit µ(g) = 8(g + 1).

Im einzelnen lauten die Ergebnisse:

Satz 4¹ (Accora) Für alle Primzahlen p

>

863, die mod 84 kongruent zu einer der Zahlen 11,23,47,59 oder 83 sind, und die Eigenschaft

(p-l, 42) = 1 besitzen, gilt:

2

µ(2p+1)=8((2p+l)+l)

Satz 4¹¹ (Maclachlan) Sei p

>

84 · 89 eine Primzahl, die den folgenden Kongruenzen genügt:

a) P

-

- 61 (mod 1800),

b)

,P -

1 ( mod q) , für alle q aus {ll,12,19,41,59,71,79,97}, c) p

-

- 1 ( mod 7),

d) p

-

^2(mod89).

Dann gilt: µ(89p+l) =8((89p+l)+l).

Daß diese zwei Familien von Primzahlen unendlich sind,folgt bekanntlich aus einem Satz von Dirichlet.

Auf der Suche nach weiteren Fami 1 i en von natürlichen Zahlen, für welche µ(g) durch eine explizite Formel in g angegeben werden kann, fand Kiley die folgende Aussage:

Satz 5 Es seien s 2: 2 und t zwei natürliche Zahlen, deren Produkt durch 4 teilbar ist. Ferner sei rein Vielfaches von t und außerdem durch alle k, 2:;; k:;; 4s, und alle Primfaktoren von (s+2)!·(2s+3) teilbar. Für jede Primzahl p 2: 6³ ^•s² ^, die zu -1 bzgl. r kongruent ist, sei

g :=p•s+l. Dann gilt: µ(g )=8((g -l)+s).

p p p

Die Geschlechter, die in den Sätzen 4¹ 4JI und 5 vorkommen, sind groß

(10)

und wachsen recht schnell. Verzichtet man auf die Schärfe der unteren Grenze, so hat man fUr relativgroßeFamilienvonnatürlicr.enZahlendieAus- sage:

Satz 6 (Kiley) Seien n,i,h natürliche Zahlen, h teile

i.

Dann gelten folgende Abschätzungen:

a) µ(g)

2:

8(g-1+2i), falls g _ (1-2,Q,) mod(t·2i-t) oder mod((i+h)·2.Q,-

²);

b) µ ( g)

2:

8 ( g - 1 + 2 n

²^{) ,}

fall s g = ( ^{1 - 2 n}

²⁾

^{mod n}

³^•

Kiley zeigte außerdem, daß für unendlich viele g aus jeder dieser Familien die Abschätzung scharf ist.

Nicht nur für Gruppentheoretiker ist die Frage von Interesse, welche ab- -strakten Gruppen als Automorphismengruppen (bzw. volle Automorphismen-

gruppen) von kompakten Riemannschen Flächen vom Geschlecht g

2:

2 vor- kommen. Wir werden diese Frage in mehreren Teilfragen behandeln, was der historischen Entwicklung entspricht, aber auch, weil in den ver- schiedenen Spezialfällen die Antwort

¹¹

konkreter

¹¹

angegeben werden kann-.

Frage 3 Welche endlichen Gruppen sind Automorphismengruppen einer hyper- elliptischen Fläche vom Geschlecht g

2:

2?

Jeder Automorphismus

a. E

r := Aut(R) der hyperelliptischen Fläche R vom

2 2g+2

Geschlecht g (z.B. mit der Gleichung y =

! !

(x-a.)) induziert einen

j=l J

Automorphismus endlicher Ordnung a =:r(a.) * idJI? der Riemannschen Zahlen- kugel, falls a $ {id

_R

,J}

_R

ist, wobei J

_R

die kanonische Involution von R

1 _·

bezeichnet (für die angegebene Gleichung: (x,y)

^1-+

(x,-y)). Die reduzierte Automorohismengruppe G

:= f/ <J

> von Rist also eine endliche Automor-

_ _ _ _ _ _ _ _ ..,__~- R

' phi smengruppe von lP

₁ ^,

d. h. eine der folgen den Gruppen ([ 4 J, [ 13 J, [ 35 J,

[ 53 J ) :

(I) Die Ikosaedergruppe A

₅

mit 60 Elementen,

(IT) Die Oktaedergruppe S~ mit 24 Elementen,

(ill)

Die Tetraedergruppe A~ mit 12 Elementen,

(IV) Die Diedergruppe On mit 2n Elementen,

(11)

Die volle Automorphismengruppe r von Rist entweder isomorph zu Z

₂

(und dies ist der generische Fall) oder eine Erweiterung vom Index 2 einer Gruppe G, wobei GE {A

₅

,S

₄

,A

₄ ,0~,Zn}

ist. Es gibt daher eine exakte Folge

(,~) 1 •

z

₂ ^•

r

^~^G^• ^{1 .}

Tsuji hat bewiesen, daß das Auftreten der Gruppe A

5

(bzw. S

₄

,A

₄

,Dn oder ln) als Gin der Folge

(o)

eine gewisse Einschränkung für das Geschlecht

g bedeutet; genauer:. Ist G die Gruppe aus (I) bzw. (IT) ,(ill),(IV) oder (V), so erfüllt das Geschlecht g

^~

2 von Reine der Kongruenzen aus (I), bzw. (IT), (ill), (IV) -oder (V*), wobei gilt:

(I*) 2g + 2 =

^y

(mod 30) für ein

y

aus {0,2,12,20}, (IT*) 2g+2 =

^y

(mod 12) für ein

y

aus {0,2,6,8}

(ill*) 2g+2 =

^y

(mod 6) für ein

y

aus {0,2,4}) (IV) 2g + 2 =

^y

(mod n) für ein

y

aus {0,2}, (V*) 2g + 2 =

^y

(mod n) für ein

^y

aus {0,1,2}.

Umgekehrt gi 1

t: .

Erfül

1-t

g

~

2 eine der Kongruenzen aus ( I ) , *

bzw. (II*) etc., so gibt es eine Riemannsche Fläche R vom Geschlecht g, deren reduzierte Automorphismengruppe die entsprechende Gruppe (I), bzw.

( II ) etc. enthält.

Insbesondere erhä1 t man für g

⁼

2 das bekannte Ergebnis (z.B. [ 24] , [ 46] ) : Satz 7 Eine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht zwei besitzt als Automorphismen außer der Identität nur noch die kanonische Involution, mit den folgenden Ausnahmen:

*)

also für alle g

~

2

(12)

1

G, 1 ,),_,µ paarweise verschieden; _z2 ₀₂

-1 ^?

\ *

^).12 ¹1

\ *

^).l

* \-

^; ¹

? • 2 )( 2 ) ¹

y-=xlx -1 x -\ , ^;

i

\f{0,±1, a±l7. .., _{J '} ^'

!

oder isomorph dazu 0 0 ¹

2 4

1

y 2=(x 2-1) (x ⁴-8x²+1),

1

öf

{±2,-6,-1, 14} 1

1

/=(x³-1)(x³- \ ) ,

;\, Ef {

^{O , :::}1 , - 26 ± 1

5 /3

= ( - 2±

13)

³^} ₀₃ ¹ ^0,

1 ⁰

1 1

/y2=x6- 1 oder isomorph dazu

y2=x(x2-1)(x2-9±1) oder isomorph 0 \ (4,6!2,2) 6

dazu y 2=(x 2-1Xx⁴-14x 2+1) 1

2 5

y = x -x oder isomorph dazu

y 2=(x 3-1) (x³-(-2±

13) )

3 oder i so-

s

binäre Oktaeder-

4

morph dazu y 2=(x 2-1) (x⁴+6x 2+1) g ruppe 2 6 1

ls. ZlO

1

y =x -x

Dabei bezeichnet ( p ,q I r ,m) die

fo

1 gende durch Erzeugende und Re 1 ati onen beschriebene Gruppe:

<s,t I sP=tq=(st)r=(s-

¹

t)m=l> ·

Insbesondere ist 24 die Ordnung von (4,6

¹

2,2).

Eine schöne Darstellung dieses Ergebnisses in wesentlich allgemeinerem Rahmen findet man bei W. D. Geyer.

,Entsprechend gilt für g=3 (s. [39] ,[75] ):

Satz 8 Eine kompakte hyperelliptische Fläche vom Geschlecht 3 besitzt

als Automorphismen außer der Identität nur noch die kanonische Involu-

tion, mit den folqenden Ausnahmen:

(13)

- 10 -

Gleichung der Fläche

y2 = ( X 2 -1 ) ( X 2 -Ct. 2 ) ( X 2 -ß 2 ) ( X 2 -y 2 ) , 1

0 , ± 1 , ± i , ±a. , ± ß , ±y s i n d paarweise ¹ verschieden; 1 ,a., ß, y erfüllen die Bedingung(~) nicht

l

y2=(x2-l)(x2'_a.2) (x2-ß2) (x2-(a.ß)2), o,± 1 ,± i ,±a. ,±ß ,aß sind paarweise verschieden

y2=x(x2-1xx2-\)(x2-µ),

0,1,\,µ,\µ sind paarweise verschieden

y2=(xi+-1) (xi+-\),

\ f

{o,±1,97±56

/3

=(-2±

/3)

⁴}

y²=x(x³-1) (x³- \ ) ,

\ Ej= {o,±1, -8}

y²=x(x²-1)(x²-\x²+1), \Ej={-1,6}

oder isomorph dazu

y 2=(x 2-1) (x 2+1) (x⁴-e:x2+1),

EEp

^{o,14}

y2= xa-1 oder isomorph dazu y 2 =X ( X 2 - 1 ) ( X 4

-6x 2 + 1 ) y2 = ( X 4

- 1 ) ( X ⁴- ( - 2±

./J/ )

oder isomorph dazu y 2 =X ( X 3 - ] ) ( X ³+8)

y2=x⁷-x oder isomorph dazu y2=(x²-1) (x²+1) (x⁴-14x²+1) y2=xa-x

Reduzierte Auto- morphismengruppe

l2

22 EB 2 2

l 2

D4

D 3

Z2 EBZ

2

D 8

s

4

D 6

l 7

Volle Automor- phismengruppe

l _{2 EB2 2}

Z₂EB l ₂EB l ₂

lt+

Dt+ @l2

DG

l EBl

4 2

(4,8

!

^2,2)

7L2 EB S 4

z

Etl D

4 3

l 14

Die Bedingung(~) für die komplexen Zahlen a , ... ,a bedeutet: Ist A.

1 n J

der Funkt a. oder -a., so gibt es

j

<

^j

<

^j

aus {1,2, ... ,n} , so

J J 1 2 3

daß Aj

1

,Aj

2

,Aj

3

ein gleichschenkliges Dreieck bilden.

Die Gruppe (4,8 i 2,2) hat die Ordnung 32.

1

'

(14)

2 7

Die Reduktion r ist für die Fläche

y =

x - x nicht sofort ersichtlich.

Sie läßt sich jedoch folgendermaßen angeben: Die Erzeugenden

^a

und

^T

von r werden durch rauf s und t abgebildet, wobei a(x,y)

⁼

( ( :Ti (TTi) ) ( ) ( -1 iV) ( ) (TTi)

=

exp 3 ) . x, exp

6 ·

y , T

x ,y

⁼

x ,

~

, s x

⁼

exp 3 • x, t(x)

⁼

x-

¹

ist. Die Gruppe r ist isomorph zu

X l,.., e,

0

3 ;

dazu betrachte man

a

und

t :=aT,

für welche die folgenden Relationen gelten:

0

12 2

a

=

^T₀

=

¹

^und

^T₀^a^T₀^{= a}⁵

Läßt man die Einschränkung "hyperelliptisch" in der Frage 3 fallen, so s te

¹lt

s

i

eh :

Frage 4 Wie lautet die Liste der vollen Automorphismengruppen der Riemannschen Flächen vom (festen) Geschlecht g(

^~

3)?

Darüber scheint nur das Ergebnis von P. Henn ( für g

⁼

3) bekannt zu sein (s. auch [ 57]).

Frage 5 Kann man zu jeder endlichen, zyklischen Gruppe G zuerst irgend- eine und dann gegebenenfalls die kleinste natürliche Zahl g

~

2 finden, für welche eine kompa~te Riemannsche Fläche vom Geschlecht g existiert, die eine zu G isomorphe Gruppe von Automcrphismen besitzt? Genauer:

Es seien p

₁

< p

₂

< .... < pk Primzahlen, und rj

~

1 für j

⁼

1,2, ... ,k.

r r r

Kann man zu

^N⁼

p

1 1 •

p

2

2 •••

pkk eine Zahl gN angeben, die minimal ist bzgl. der Eigenschaft: "Es gibt eine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht gN, die einen Automorphismus der Ordnung

N

besitzt?"

Die Antwort wurde von Harvey 1966 wie folgt angegeben:

jmax {

^2,

- -

^p¹^-1 ^{· - }}^N

falls r

₁

> 1 oder

N

prim;

2 _P1

gN =

t-{

^2, - · ( - - 1 ) } ^p¹^-1 ^N

sonst.

2 p

1

Insbesondere erhält man daraus das schon von Wiman bewiesene Ergebnis:

Satz 9 Die maximale Ordnung eines Automorphismus einer kompakten Riemannschen Fläche vom Geschlecht g

^~

2 ist 2(2g+l).

Mit gruppentheoretischen Mitteln kann man diese Aussage folgendermaßen

ergänzen:

(15)

- 12 -

Naheliegend ist

Frage 6 Gegeben sei eine nicht-zyklische endliche abelsche Gruppe A mit a Elementen. Gibt es eine kompakte Riemannsche Fläche R (gegebenen- falls minimalen Geschlechts gA~2), so daß die Automorphismengruppe von Reine zu A isomorphe Untergruppe enthält?

Die vollständige Lösung der Frage gelang 1965 C. Maclachlan. Bekannt-

1

i eh ist A isomorph zu einer Gruppe der Form

l EB Z EB ••• EB Z ,

n n n

1 2 S

wobei für die Invarianten n

1

,n

2 , . . .

,n gilt: n In

1 . . .

In . Da A nicht

S 1 2 S

zyklisch ist, muß s

~

2 sein. Das gesuchte minimale Geschl~cht gA ist:

falls A = Z

2 EB

l

₂ ^,

2

3 4

fa 11 s A =

Z₂ EB Z₄

oder

Z₂ ~ l ₂ EB Z₂ ,

falls A = Z

3 EB

Z

₃ ^.

In allen anderen Fällen ist gA:

l+~•(l--

¹

-1-) fallss=2,

2 n

1 n

2

1 ^{+ - .}

^a2

min {2(r-1) ⁺ r

O $ 2r $ s 1 $ j $ s-2r

1 + ~.

₂

min {2(r-l) ⁺ I

O $ 2r

<

s 1 $ j $ s-2r

1 1

)}

(1--)+(1-

n. n _s-2r

J

1 1

) }

(1--)+(1-

n. n

J s-2r

fa 11 s s :::: 4 gerade

fa 11

s s ungerade i:

Nachdem wir die verschiedenen Teilfragen in der Reihenfolge ihrer Ent- wicklung behandelt hab~n, kommen wir zur

Hauptfrage Ist jede endliche Gruppe isomorph zur vollen Automorphismen- gruppe einer kompakten Riemannschen Fläche?

1974 bewies Greenberg, daß man diese Frage positiv beantworten kann;

er zeigte sogar mehr:

Satz 10 Sei S eine kompakte Riemannsche Fläche und G eine nicht-tri via

1

e endliche Gruppe, so gibt es eine normale Oberlagerung R

^•

S, deren Deck- transformationsgruppe mit der vollen Automorphismengruppe Aut(R) über- einstimmt, und die isomorph zu G ist.

Insbesondere muß das Geschlecht von R größer gleich 2 sein.

(16)

§_l_

Auf einer kompakten Riemannschen Fläche sind bekanntlich alle globalen holomorphen Funktionen konstant. Das Interesse gilt daher anderen Objekten: den meromorphen Funktionen und den holomorphen Differentialen (mit deren Hilfe die \~eierstraß-Punkte definiert

\verden). Ein hol amorphes k - Differenti a

1

auf einer kompakten Riemann- schen Fläche ist lokal eine holomorphe Funktion, die bei jeder zu- lässigen Koordinatentransformation mit der k-ten Potenz der ersten Ab

1

eitung der Koordi na tentransformati on multi

fJ 1

i ziert wird ( "modern"

ausgedrUckt: ein globaler Schnitt der k-ten Potenz des kanonischen Ge- radenbünde

1

s) . Nach dem Satz von Riemann - Roch ist die Dimension d ( k) des t - Vektorraums r2k(R) aller holomorphen k - Differentiale der ge- schlossenen Fläche R vom Geschlecht g(:?:2) für k=l gleich g und für k::::: 2 gleich (2k - l)(g-1). Weil die lokale Darstellung eines Differen- tials von der Wahl der Koordinaten abhängt, kann man nicht vom Wert in einem Punkt sprechen; es lassen sich jedoch die Begriffe Nullstelle und Ordnung einer Nullstelle unabhängig von den Koordinaten für jedes Differential w * o einführen. So kann man zeigen, daß jedes holo- morphe k - Differential

w

* o genau 2 k (g - 1) Nullstellen (mit Viel- fachheit gezählt) besitzt. Ist p ER ein fester Punkt, so kann man für jedes k::::: 1 durch lineare Kombinationen aus jeder Basis r2k(R)

eine Basis gewinnen, deren Nullstellenordnungen in reine strikt steigen- de Folge bilden. Diese Zahlen hängen nur von p und k ab; deshalb darf man sie mit

p;k) (fJ)

<

^p~k)(p)

< ... < p~~~)

(p) (*)

bezeichnen. Es gilt stets o!kl(p)=o und o(k)(p)::; 2k(g-l).

d(kl.

Abweichung der Folge

(*)

von der Folge o < 1 < 2 < · · · < d(k) -1 (nicht vollständig) durch die nicht- negative ganze Zahl

d(k) (k)

gew ( p) : = I (

^{p .} ⁽

^p)

⁺

^{1 - j )}

k j=l J

Die wird

gemessen; sie _heißt das k - te Gewicht im Punkte p. Hurwi tz bewies den

(17)

- 14 -

Satz 11 Für jede kompakte Riemannsche Fläche R vom Geschlecht g 2: 2 gi 1 t:

((g-l)g(g+l) falls k=l;

I

gewk ( p) = Gewk ( g) : = J ·

pER · · l(2k-1)²g(g - 1)² falls k 2: 2.

Es gibt also nur endlich viele Punkte aus R in .,.,elchen das k - te Ge- wicht positiv ist,und die Summe der k-ten Gewichte hängt nur noch vom Geschlecht g und von k ab. Man nennt diese Punkte die k -Weier- straß-Punkte der Fläche R und bezeichnet deren Menge mit (k - WP)R.

Also:

( k - WP) R : = { p ;k l , ... ,

p~~~

1

R l } : = { p E R; gewk ( p)

>

o} = { p E R; 3 j , 2 S j ~ d(k), mit o::kl 2: j}.

J

Schon vor 120 Jahren hat Weierstraß die Bedeutung der 1- Weierstraß - Punkte erkannt; sein Ergebnis lautet (heute):

Satz 12 (Weierstraßscher Lückensatz) Betrachtet man diejenigen meromorphen Funktionen auf der geschlossenen Fläche R vom Geschlecht g 2: 2, die nur in p ER eine Polstelle haben, so treten nicht alle natürlichen Zahlen als Polstellenordnungen auf. Es fehlen stets g Zahlen, die sog. Lücken (genauer: 1-Lücken), 1velche durch p :: ¹l ( p) + 1 , 1

s

j

s

g , gegeben sind.

J

Entsprechend werden die Zah 1 en {p '.kl ( p) + 1, 1

s

j

s (

2k - 1) ( g - 1)}

J

die k - Lücken von p genannt. Der Satz 12 besagt a 1 so, daß sieh die Menge {o,l, ... ,2g -1} zerlegen läßt in die Menge der Lücken von p

{p::ll(p)+l; 1 $ j $ g}

J

und in die Menge der Pole von p {cr,(p); 1 $ j $ g},

J

wobei für jedes cr.(p) eine meromorphe ·Funktion existiert, die in~

J .

eine Polstelle von Ordnung crj(r) besitzt, und sonst holo~orph ist.

JN\{p(ll(p) + l; 1 $ j $ g} = {cr_(p); 1 $ j $ g} ^U {j E :N; j 2: 2g}

J J

(18)

ist eine additive Halbqrupoe; man nennt sie die Polstellen- halbgruppe von p. Auf die sehr interessante Frage:

Frage 7 Ist jede Halbgruppe eine Polstellenhalbgruppe?

kann hier wegen des Umfangs nicht eingegangen werden. Sie ist nur zum Ten beantwortet (s.[61J, (62], (64], (71], (74], (82], (83]).

Einfache Oberlegungen führen zu verschiedenen Abschätzungen über das ersteGe.'lichtunddie.dnzahlN(l,R) der 1-Weierstraß-Punkte von R; zum besseren Verständnis weiterer Ausführungen fassen wir die wichtigsten davon zusammen:

Lemma Sei Reine kompakte Riemannsche Fläche vom Geschlecht g

~

2. Es gilt:

a) 1

$

gew

1

(11)

$ g(g

2-ll

für jedes

p E

(1-WP)R.

b) 2g+2:::; N(l,R):::; (g-l)g(g+l).

c) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

i ) i i ) i i i )

iv)

Rist hyperelliptisch;

gew (p)

= g(g-ll

für ein (und damit sogar für alle) p

E

(1-WP)R;

1 2

N(l,R)

=

2g+2;

Es gibt eine (die sog. kanonische) Involution JR: R

^•

R, deren Fixpunkte genau die 1 - Weierstraß- Punkte von R sind.

d) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

i) Rist nicht-hyperelliptisch;

ii) gew

1

(p):::;

(g-2

\(g+l)

für ein (sogar für alle!) p

E

(1-WP)R;

iii) N(l,R)

~

2g+3.

Vor kurzem hat T. Kate scharfe Abschätzungen für das 1 - Gewicht eines Punktes p einer kompakten nicht- hyperelliptischen Riemannschen Fläche vom Geschlecht g

~ 3

wie folgt angegeben:

g

ew

1

( p) :::; g ( g

3- l l f" ·

urg= ,., , , un

3 i1 5 7 9 d 1

o;

gew

1

(p) :::;

g

2

-~g+lo

sonst.

(19)

- 16 -

Riemannsche Fläche, die einen Punkt vom maximalen ersten Gewicht

g²- r ' +10

;g besitzt, als eine zwei blättrige Oberlageruns eines Torus darstellbar ist. (Solche Flächen nennt man auch elliptisch-hyper- e 11

i p

t

ⁱ

s eh . )

Für eine hyperelliptische Riemannsche Fläche R vom Geschlecht g hat die kanonische Involution JR 2g+2 Fixpunkte, welche genau die 1- Wei erstraß - Punkte von R sind. Jeder andere Automorphismus h * i dR hat höchstens 4 Fixpunkte (s.z.B. [ 3 ]). Ensprechend kann man fragen:

Frage 8 Wieviele Fixpunkte hat ein nicht- trivialer Automorphismus einer kompakten nicht- hyperelliptischen Riemannschen Fläche?

Die bestmögliche Abschätzung lautet:

Satz 13 (Farkas) Sei Reine nicht- hyperelliptische Riemannsche Fläche vom Geschlecht g

~

3, h * idR ein Automorphismus von R mit t Fixpunkten und von Ordnung N. Dann gilt:

t ~ min ( g - 1, 2 +

^N~g

1 ) •

Durch Fallunterscheidung kann dieses Ergebnis verfeinert werden:

a) (Farkas) Ist h eine Involution (d.h. N = 2), so ist die Quotienten- fläche R : = R/ < h > vom Geschlecht g

~

1 ( da R nicht - hypere 11 i pti sch ist) und t

~

2g

+

2 - 4 g

^~

2g - 2. Für jede kompakte Riemannsche Fläche R (insbesondere für jeden Torus) vom Geschlecht g

~

1 und für jedes ·

~ ~ ~

2s-Tupel (P , ... ,P

₂ )

von Punkten aus R (s

~

2) gibt es eine nicht-

1 S

hyperelliptische Riemannsche Fläche R vom Geschlecht g = s - 1 + 2g mit einer Involution h, so daß R/<h>:::: R gilt, und dabei die 2s = 2g + 2 - 4g (insbesondere für g = 1 genau 2g - 2) Fixpunkte von h über F\, ... ,P

25

liegen;

b) ([ 28], [31]) Ist N

~

3, so ist t

~

g+2. Die Anzahl t=g+2 wird für jedes g

~

3 angenommen, wie das folgende Beispiel zeigt: Es seien a , ... ,a ,a paarv,ieise verschiedene komplexe Zahlen und m = 2, falls

1 g g+l

g = 1 (mod 3) ist, und m = 1 sonst. Der Automorphismus

(20)

h: (x,y) ' - (x, exp (

²

;i) ^·y)

der Riemannschen Fläche

3 m ....9._

y =(x-a ) •

^II

(x-a.)

g+l . 1 J

]=

hat die Fixpunkte

(a1,o), ... ,(a ,o),(a 1,o),(co,co).

_g _g+

Es ist interessant, daß jeder ,L\,utomorphismus einer kom- pakten Riemannschen Fläche vom Geschlecht g

~

2,dessen Ordnung eine Primzahl ist, entweder keinen oder mindestens zwei Fixpunkte besitzt.

Man könnte fragen, ob für diese Aussage die Voraussetzung "Primzahl"

wirklich notwendig ist.

Ja, sie ist (s.z.B.[

33],

Seite

J8,

letzte Zeile).

Die Bedeutung der Weierstraß- Punkte für das Studium der Automorphis- men wurde von Hurwitz klar erkannt. Jeder Automorphismus von R indu- ziert eine Permutation der Menge (k - WP)R für jedes k. Genauer:

Ein Automorphismus h von R bildet jeden k - Weierstraß - Punkt p auf einen k-Weierstraß-Punkt q :=h(p) ab. Es gilt o!kl(p) =o:kl(q)

. . J J

für alle j=l, ... ,d(k). Insbesondere hat man für k=l: Für jedes p e R haben p und h(p) dieselbe ?olste!lenhalbgruppe . Dadurch ent- steht ein Gruppenhomomorphismus von der Automorphismengruppe von R in die Permutationsgruppe von (k- WP)R. Bis auf zwei Ausnahmen (R hyper- elliptisch, und entweder k = 1 oder k = g = 2) ist dieser Homomorohis- mus injektiv. In den Ausnahmefällen besteht der Kern des Homomorphis- mus außer der Identität nur aus der kanonischen Involution JR. Auf

diese Weise hat Hurwitz den Satz von Schwarz bewiesen.*)

Nach den obigen Betrachtungen könnte man vermuten, daß für eine Riemannsche Fläche die Automorphismen und die Polstellenhalbgruppen in reziproker Weise zusammenhängen: Je mehr verschiedene Polstellen- halbgruppen eine Riemannsche Fläche hat, desto weniger Automorphis- men, und umgekehrt. Diese Vorstellung wird unterstrichen durch die Riemannschen Flächen vom Geschlecht 3 und 4 mit den meisten Automor- phismen:

*) Die interessante Entwicklung dieses wichtigen Satzes kann im DMV- Bericht von A. Brill und M. Noether aus dem Jahre 1892 (Math.Ann.

s.

(21)

- 18 -

a) Die einzige Riemannsche Fläche vom Geschlecht 3 mit 168 Auto-

3 3

morphismen (definiert durch x y + y + x = o oder äquivalent

7 2

durch y = x(x -y) ) besitzt (3 - 1) • 3 • (3 + 1) = 24 paarweise verschiedene 1 - Weierstraß- Punkte;alle diese 1 - Weierstraß- Punkte haben dieselben 1-- Lücken 1,2,4 , also auch dieselben Polstellenhalbgruppen.

b) Die einzige Riemannsche Fläche vom Geschlecht 3 mit 96 Auto-

4 2

morphi smen ( gegeben durch y = x( x - 1)) hat genau 12 paar- weise verschiedene 1 - Weierstraß - Punkte, und zwar a

11

e mit den 1 - Lücken 1,2 ,5.

c) Die einzige Riemannsche Fläche vom Geschlecht 4 mit 120 =µ(4)

3 2 2 3

Automorphismen (gegeben im lP

₃ (!t)

durch x

₁.x₃

x

₄

+x

1

x

2 X.1-

+

2 3 3 2

+x x x -x x x =o) hat (4-1)· 4 ·(4+1) =60 paarweise

1 2 3 2 3 4

verschiedene 1 - Weierstraß - Punkte. Alle diese 1 - Weierstraß - Punkte besitzen dieselben Polstellenhalbgruppen, und zwar

{ o,

4 , 6 , 7, 8 , 9 ,

lo , . _ } .

d) Die einzige Riemannsche Fläche vom Geschlecht 4 mit 72 Auto-

. 3 4

morphismen (gegeben durch y =x(x +l)) hat 6 1-Weierstraß- Punkte mit den Lücken 1,2,4,7 und36 !-Weierstraß-Punkte mit den Lücken 1,2,3,5 .

Analoge Vorstellungen kann man entwickeln, falls man anstelle der 1 - Weierstraß - Punkte die k - Weierstraß- Punkte betrachtet. Dies ist besonders für die hyperelliptischen Flächen angebracht, da sie durch die !-Weierstraß- P~nkte nicht zu unterscheiden sind, denn in jedem 1-Weierstraß- Punkt lautet die Polstellenhalbgruppe:

{o,2,4, ... ,2g-4, 2g-2} ^U {j E :N; j ~2g-1}

Da außerdem für g = 2 die 2-Weierstraß- Punkte mit den 1-1-Jeierstraß- Punkten übereinstimmen und alle 2- Lücken 1,2,3 und 5 sind, muß man die 3-Wei erstraß - Punkte untersuchen:

Die einzige Riemannsche Fläche vom Geschlecht 2 mit der maximalen An-

2 5

zah

1

von

48 = µh( 2)

Automorphismen ( definiert durch y = x - x) besitzt die

fo 1

gen den 3 - Weierstraß - Punkte:

i) zuerst (wie jede andere Fläche vom Geschlecht 2) die sechs 1 - Weierstraß- Punkte, wobei alle die 3- Lücken 1,2,3,5,7 haben;

ii) ferner 16 weitere Punkte mit den 3- LUcken 1,2,3,4,6 .

(22)

So überzeugend die vorangegangenen Beispiele auch sind, so ungenau ist doch die Vermutung, daß die Anzahl der paarweise verschiedenen Polstellenhalbgruppen einer festen Riemannschen Fläche in einfacher Weise mit der Ordnung ihrer Automorphismengruppe verbunden sein kann.

Dies wird uns sehr klar, wenn wir die Antwort auf die nächste Frage berücksichtigen.

Frage 9 Wieviele Automorphismen besitzt die "generische" Riemann- sche Fläche vom Geschlecht g

~ 3?

Bereits 1961 hat W.L. Baily jr. gezeigt, daß nur in Aushahmefällen eine kompakte Riemannsche Fläche nicht - triviale Automorphismen besitzt. Dies folgt auch aus den Untersuchungen von Rauch über die Singularitäten des Modulraums (s. (78] ); einen einfachen und elegan- ten Beweis des Satzes von Baily jr. kann man in der Monographie von Gri ffiths und Harri s S. 276 finden ( s. r 7*] ) .

Als Gegenstück zu den hyperelliptischen Flächen betrachte man nun die sog. 1-allgemeinen Flächen, welche die meisten 1 - Weierstraß - Punkte besitzen (nämlich (g - 1) . g • (g

⁺

1)) während auf hyperellipti.schen Flächen die wenigsten 1 - Weierstraß - Punkte vorkommen (nämlich

2(g+l)).

Eine kompakte Riemannsche Fläche R vom Geschlecht g

~

3 heißt k - allgemein, wenn jeder k - Weierstraß - Punkt p k - normal ist, d.h. gewk (p) = 1. Äquivalent dazu ist die Gleichung N(k,R) = Gewk(g).

Keine k - allgemeine Fläche

ist

hyperelliptisch (k-beliebig). Mit den Mehtoden aus

^(28]

kann man leicht zeigen, daß gi

¹

t: Gibt es eine k - allgemeine Fläche vom Geschlecht g, so bilden die Punkte des

Teichmüller - Raums Tg, die denk - allgemeinen Fläch~n entsprechen, eine offene Menge, deren Komplement analytisch ist. Kurzum: Die Exi- steni einer k - allgemeinen Fläche würde als Folgerung haben, daß die ge- nerische Fläche vom Geschlecht g eine k - allgemeine Fläche ist.

Für g

=

3 und k

^E

{1,2} sowie für g = 4 und k = 1 kennt man Beispiele von solchen Flächen.

In der oben zitierten Monographie zeigen Griffiths und Harris, daß die

generische Fläche vom Geschlecht g

~

3 1 - allgemein ist. Ich vermute,

daß für jedes k

~

2 und g

~

3 die generische Fläche vom Geschlecht g

k - allgemein ist.

(23)

- 20 -

Weiter spricht vieles für die Vermutung, daß es zu jedem Geschlecht g

~

3 eine 1 - allgemeine Riemannsche Fläche mit

µ

(g) Automor- phismen gibt. Dazu ist es zunächst angebracht, die Existenz einer 1 allgemeinen Riemannschen Fläche vom Geschlecht 7 mit

µ

(7)

=

504 Au- tomorphismen nachzuweisen. Denn Egde hat gezeigt, daß alle 168 1-Wei- erstraß-Punkte der einzigen bekannten Riemannschen Fläche mit 504 Auto- morphismen das erste Gewicht 2 haben.

Um 1950 erzielten Petersson und Schoeneberg im Rahmen ihrer Untersuchunaen der Moclulfunkti onen auch interessante Ergebnisse Uber die l•lei erstraß - Punkte.

der Riemannschen Flächen J-1/r (s. auch [21],[22J-,[61],[62'],[641,[7l·l,

N

[ 72 ],[ 73 l ,[ .79

J ) ;

r

N

bezeichne die Hauptkongruenzgruppe N - ter Stufe.

Es wird in diesen konkreten Fällen folgendes Problem behandelt:

Frage1O Welche Beziehung besteht zwischen den 1- Weierstraß - Punkten und den Fixpunkten der Automorphismen?

In Kenntnis der Arbeiten von Petersson und Schoeneberg hat Lewittes diese Frage fUr beliebig~ geschlossene flächen behandelt; seine 1963 veröffentlichte Dissertation stellt einen wesentlichen Fortschritt dar. Lewittes hatte die Idee, die Automorphismengruppe einer kompakten Riemannschen Fläche vom Geschlecht g

^~

2 in der multiplikativen Gruppe der invertier6aren g

x

g Matrizen darzustellen und dabei die Eigenschaf- ten der 1- Weierstraß- Punkte auszunutzen. Sein Hauptergebnis lautet:

Satz 14 Es sei h ein Automorphismus der Primordnung N der kompakten Riemannschen Fläche R vom Gesch 1 echt g und p ein Fixpunkt von h. Ferner sei

z

^...+

n. z eine lokale Darstellung von h-

¹

in der Umgebung von p (p entspricht

hier dem Nullpunkt), wobei n eine primitive N- te Einheitswurzel ist.

. k

Dann gibt es eine Basis

w₁^{,_ . . .},wd(kl

von n (R), deren Nullstellen- ordnungen

p~kl

(p) < ... <

p~~/P)

sind, und die durch h auf

Da die Anzahl der Einsen in der Menge

17

p <1>(p)+l

1 , ... , n

p<1>(p)+l g

abgebildet wird.

genau das Geschlecht g der Quotientenfläche R von R modulo h ist,

(24)

kein 1-Weierstraß- Punkt ist. Dann gilt:

1) Die Anzahlt der Fixpunkte von h ist mindestens 2 und höchstens 4,

2)

g ist der ganze Teil von* (d.h. g ⁼

[*]),

3) Es sind nur die folgenden drei Fälle möglich:

i ) g = g N und t = 2, i i ) g =

(g+..L)

N und t = 3,

2

i i i ) g=(g+l)N-1 und t =

4.

Für den Fa

11 ,

daß es einen Fixpunkt von h gibt, der auch ein 1 - Wei er- straß - Punkt ist, erhält Lewittes in zwei konkreten Situationen aus der speziellen Form der Folge (

**)

weitere Informationen:

Im hyperelliptischen Fall:

a) Eine Involution

j

ist entweder die kanonische, oder sie hat keine Fixpunkte, oder kein 1 - Weierstraß - Punkt ist ein Fixpunkt von

j;

b) Hat h einen Fixpunkt, der ein 1-Weierstraß-Punkt ist, und gilt für die Primordnung 2 < N < 2g, so liegt einer der Fälle vor:

i) g = g N , t = 2 und beide Fixpunkte liegen in ( 1 -

WP )R;

ii) 2g+l= (2g+l) N, g

2!:

1, t=3 und nur einer der drei Fixpunkt~

von h liegt in ( 1 - WP) R.

Im Falle einer 1- allgemeinen Fläche:

a) Falls N > 5 ist, so liegen entweder alle Fixpunkte von hin (1-~!P)Runddannistcr=gN+ N;1, (g-l)g(g+l) = 3 modN und t = 3, oder aber kein Fixpunkt von h ist in (1 - WP)R und in

diesem Fall besitzt h entweder 2 oder 4 Fixpunkte;

b) Falls N

~

5 ist und falls (wenigstens) ein Fixpunkt von hin (1-WP) liegt, dann gibt es nur die Fälle N = 2 oder N

=

3. Ist

R

N = 2, so ist t = 6 und alle sechs Fixpunkte von h sind 1 -

¹

.~eier- straß- Punkte. Ist N = 3, so ist t = 3.

Wie wir gesehen haben, führt die Beantwortung von Frage 10 zu

weitreichenden Ergebnissen Uber die Fixpunkte der Automorphismen

kompakter Riemannscher Flächen. Man wird deshalb versuchen, auch

(25)

- c..c.. -

zueinander stehen; außerdem sind Abschätzungen für das k - te Gewicht wünschenswert. Erste Eraebni sse in dieser Richtung wurden in [ 28] an-

geqeben; sie dienen unter anderem zum Beweis von Resultaten des folgenden Typs:

Satz

lr

Es sei R eine kompakte Riemannsche Fläche vom Gesch 1 echt g ~ 2 und h ein Automorphismus der Primordnung N mit t

>

o Fixpunkten.~ann gilt:

Ist t ~ o oder N kein Teiler von g, so ist jeder Fixpunkt von h ein k-\~eierstraß-Punkt für alle k~ 2, die keine Vielfache von N sind.

Frage 11' Kann man aus der Kenntnis der Polstellenhalbgruppen die Gleichun<Jen aller nicht-hyperelliptischen Flächen von festem Geschlecht g 2:: 3 gewinnen ?

Es liegt nahe, sich zuerst für diejenigen g zu interessieren, für welche alle Polstellenhalbgruppen bekannt sind. Für kleines Geschlecht g sind die Polstellenhalbgruppen schon

1896

von Haure angegeben worden. So sind z.B. für g = 3 nur die beiden Polstellenhalbgruppen

H₁= {o ,3} U {j E :N , j 2:: 5}

und

H = {o, 3, 4} ^U {j E :N ; j 2:: 6}

2

vorhanden. Kuribayashi und Komiya haben

1977

die Gleichungen der kompakten Riemannschen Flächen vom Geschlecht 3 angegeben. Die Konstruktion sei kurz erläutert: Es sei Reine kompakte Riemannsche Fläche, die einen 1-Weierstraß - Punkt p besitzt, dessen Polstellenhalbgruppe H₁ (analoge Konstruktion für H₂⁾ ist. Dann gibt es zwei meromorphe Funktionen x und y, die nur in p eine Polstelle von den Ordnungen 3 und 5 besitzen. Es ist O:(x,y) =M(R). Elementar kann man begründen, daß es Polynome p₁,p₂ ,p

3

aus

0:

[X] gibt mit

3 2

y +p

1(x)y +p₂(x)y+p₃(x)=o auf R. Dabei ist

grad p

1 :::;

1,

grad p

2 :5 3 und grad p

3 = 5.

p1 (x)

O.E. kann p

1 = o angenommen werden, denn sonst wird y durch y + ~

3-

ersetzt. Das Polynom P=v3+p

2 (X)Y+p

3 (X) E

0:

[X,Y] ist irreduzibel und R::: R . Die Gleichung von R ist a 1 so von der Form:

p

(26)

Daraus erhält man, daß die Oberlagerung R

^•

TI\ , (x,y)1-+ x, die Ver- zweigungszahl

10

hat. Außer in (

^{00 , 00}

),wo die Verzweigungsordnung

2

vorkomrit, gibt es noch mindestens

4

und hcichstens

8

Verzwei- gungspunkte; man kann stets annehmen, daß über o und

1

Verzweigungs- punkte liegen. Die anderen Verzweigungspunkte mögen über t

_{1 , •••}

,tk liegen (2

~

k

~

6). Die Koeffizienten a. und b. lassen sich dann durch

1. J

t

1,_ • • •

,tk ausdrücken, was auch im Hinblick auf die Teichmüller-Theorie

interessant ist.

Besitzt die kompakte Riemannsche Fläche Reinen Automorphismus h von der Ordnung N, so hat schon Hurwitz gezeigt, daß die Fläche R durch eine algebraische Gleichung der Form

f(x,yN)=o

angegeben werden kann. Um das Polynom f näher zu bestimmen, untersucht man das Geschlecht g der Quotientenfläche R := R/ < h > sowie die Art der Verzweigungen der Oberlagerung R

^•

R. Ist g = o, so hat Hurwi tz die Fläche R durch

N . r m.

y =-1-1

(x-a.)

J ,

j=l J

dargestellt; dabei sind

l~m.~N-1,

J

a. paarweise verschiedene komplexe Zahlen, über

J ~

denen die Oberlagerung R

•

R""

lP ,

(x,y)i--+-X, verzweigt. Ist

N

prim,

1

so ist

2g - 2 = - 2 N + ( n - 1) • r r

und

N

tei 1 t I ^{m ..}

j=l J

Für g = 3 und 4 hat Kuribayashi die Gleichungen aller Riemannschen Flächen, die nicht- triviale Automorphismen besitzen, angegeben.

~achdem Kuribayashi und seine Mitarbeiter in mehreren Arbeiten die Auto- morphismen verschiedener Familien von kompakten Riemannschen Flächen

3 4

vom Geschlecht 3 (z.B.

y

=x(x-l)(x-t

₁

)(x-t

₂ ⁾

und

y

=x(x-l)(x-t)) bestimmen konnten, gelang Kuribayashi und Komiya eine Klassifikation aller Flächen vom Geschlecht 3 mit nicht-trivialen Automorphismen.

Klassifiziert wird dabei nach der Ordnung n der vollen Automorphismen-

gruppe und nach der maximalen Ordnung m der Elemente dieser Gruppe. Es

ist sinnvoll, diese Arbeit zusammen mit der Arbeit von P. Henn zu studieren

(27)

- 24 -

Die vorangehende Bemerkung betont noch einmal, was fUr die Konzeotion dieser Arbeit maßgebend war. Es muß nicht eigens hervorgehoben werden, daß ein Bericht auf diesem Gebiet keine Vollständigkeit erlangen kann.

Besonders sei darauf hingewiesen, ctaß im Falle der berandeten Rie-

mannschen Flächen interessante Resultate vorliegen, die einen Teil

der hier dargestellten Ergebnisse verallgemeinern, aber auch spezi-

fischere Aspekte der berandeten Flächen behandeln. Die meisten Ergeb-

nisse wurden von japanischen Mathematikern (Oikawa, Tsuji u.a.) und

von deutschen Mathematikern aus der Schule von H. Tietz hervorge-

bracht.

(28)

LITERATURVERZEICHNIS I Bücher_und_MonograQhien 1 Accola, R.O.M.

2 Ahlfors, L.

L. Sario 3 Behnke, H.

F. Sommer 4 Burnside, W.

5 Eichler, M.

6 Ford, L.R.

7 Forster, 0.

7* Gri ffiths, P.

J.H. Harris 8 Gunning, R.C.

9 Hartshorne, R.

10 Hensel, K. , G. Landsberg 11 Huppert, B.

12 Ivascu, D.

13 Klein, F.

14 Lehner, J.

15 Siege

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