B. Theoretische Gesichtspunkte über die W asserhewegung im Boden

Oxf. 114.123: 237.2

Zur Untersuchung

der Wasserbewegung in Hangböden mit unvollkommener Durchlässigkeit

Von James Luthin und Felix Richard

HERAUSGEBER

PROF. DR. A. KURTH, DIREKTOR DER EIDGENÖSSISCHEN ANSTALT FÜR DAS FORSTLICHE VERSUCHSWESEN

Bd./Vol. 41 Heft/Fase. 6 1965

INHALTSVERZEICHNIS

A. Einführung

B. Theoretische Gesichtspunkte über die Wasserbewegung im Boden 1. Allgemeine Betrachtungen über den Wassersättigungsgrad im Boden 2. Das Gesetz von Darcy .

3. Die nichtstationäre Wasserströmung im Boden .

a) Kombination des D a r c y - Gesetzes und der Kontinuitätsgleichung b) Die B o u s s in es q - Gleichung

C. Das elektrische Widerstandsnetzwerk . 1. Grundlagen

2. Randbedingungen am elektrischen Widerstandsnetzwerk zur Untersuchung der

Seite 307 310 310 312 315 315 320 324 324 Potentialverteilung in Böden mit einem Wasserspiegel 326

a) Homogene Bodenmasse und stationäre Strömung 326

b) Undurchlässige Bodenschicht . 326

c) Grenzflächen zwischen zwei Horizonten mit verschiedener Durchlässigkeit 329

d) Oberflächensickerung . 330

e) Der fallende Wasserspiegel als eine zeitliche Folge mehrerer stationärer Zustände 332

f) Die Wiedergabe des Wasserspiegels 336

g) Das Absinken des Wasserpiegels als Funktion der entwässerbaren Porosität

des Bodens 338

h) Der Einfluß der Hangneigung . 343

i) Wasserbewegung im ungesättigten Boden oberhalb des Wasserspiegels 343

k) Wasserverbrauch durch die Pflanzen 344

1) Stromlinien, Äquipotentiallinien 344

m) Untergrundsickerung 345

n) Ungleiche Abbildungsmaßstäbe am elektrischen Widerstandsnetzwerk 346

3. Bau eines elektrischen Widerstandsnetzwerkes . 349

D. Beispiel einer Untersuchung des fallenden Wasserspiegels in einem unvollkommen

durchlässigen Weideboden der Schweiz 351

1. Einstellen des Netzwerkes . 351

2. Messen der Potentialunterschiede am Netzwerk und Bestimmung

der Äquipotentiallinien 352

3. Berechnung des fallenden Wasserspiegels 352

4. Diskussion der Ergebnisse . 355

Zusammenfassung - Resume - Riassunto - Summary 359

Literaturverzeichnis 367

A. Einführung

Kennzeichnend für einen normal durchlässigen Boden ist die Gegenwart von Grob- poren, die im lotrechten Schnitt durch das Bodenprofil kontinuierlich und in mehr oder weniger gleicher Menge vorhanden sind. Nach Sättigung des Bodens sind Grob- poren unter dem Einfluß der Schwerkraft in 2 bis 3 Tagen entleert, der Wassergehalt sinkt zur Feldkapazität ab, wie sie durch V e i h m e y e r und H e n d r i c k s o n (1931, 1949) definiert worden ist. Die kontinuierlich verteilten Grobporen gewähren dem Wurzelsystem des Baumbestandes eine normale, gute Durchlüftung. Ein solcher Boden hat auch genügend verwertbares Wasser, um Trockenperioden von beispiels- weise 2 bis 4 Wochen zu überbrücken.

Damit in Klimagebieten mit hohen und gleichmäßig über das Jahr verteilten Nieder- schlägen ein Boden die Bedingungen eines normal durchlässigen Bodens erfüllt, muß er viele Grobporen enthalten. Nur ein hoher Grobporenanteil gibt die Voraussetzung, daß in 2 bis 3 Tagen nach Sättigung die Feldkapazität erreicht werden kann. Die Feldkapa- zität ist für einen gegebenen Boden ein charakteristischer Wert.

In der Schweiz finden wir aber in nahezu allen Höhenlagen Böden, die nicht normal durchlässig sind. Aus verschiedenen Gründen ist ihr Grobporenanteil diskontinuierlich verteilt, das heißt, in einem Vertikalschnitt des Bodens findet man in bestimmten, tiefer gelegenen Horizonten wesentlich weniger Grobporen als in oberflächennahen Zonen.

Sie können dort sogar fehlen. Das in den Boden eindringende Regenwasser wird in schlecht durchlässigen Horizonten gestaut. Über solchen Schichten kann ein Wasser- spiegel entstehen. Es sind viele Tage bis Wochen nötig, bis der durch die Schwerkraft drainierbare Teil des Niederschlagswassers aus dem Boden ausfließen kann. Das Was- ser sickert so langsam durch den Boden, daß der Wassersättigungsgrad lange Zeit hoch bleibt. Dieser wirkt sich sehr nachteilig auf die Bodendurchlüftung aus. Ökologisch ist der Boden vernäßt. Da es aber während des natürlichen Sickerungsablaufes wieder regnen kann, bleiben solche Böden auch aus diesem Grunde während langer Zeit mehr oder weniger wassergesättigt. Im Vergleich zum normal durchlässigen Boden bedeutet Bodenvernässung Rückgang der Sauerstoffdiffusion, Bildung anaerober Eigenschaf- ten, Verschlechterung der biologischen Bodenaktivität, Aufbau schlecht zersetzten Hu- mus und ungünstige Nährstoffversorgung.

In den Voralpengebieten der Schweiz sind die Niederschläge ziemlich gleichmäßig übers Jahr verteilt und relativ hoch.

In Tabelle 1 ist für ein näher untersuchtes Gebiet der Voralpen die monatliche Nie- derschlagsverteilung angegeben. Es ist ein Beispiel, das wir in Wald- und Weidege- bieten an der Nordabdachung der Alpen häufig finden können. Es handelt sich speziell um die Einzugsgebiete des Rotenbaches und des Schwendlibaches im Kanton Freiburg.

Für diese zwei Orte sind die Werte aus der Periode 1953 bis 1960 wiedergegeben. Die Zahlen stammen aus den Akten unserer Versuchsanstalt. Wie wir später zeigen werden, genügen diese Wassermengen, um viele Böden des Einzugsgebietes im Verlaufe eines Jahres öfters ztLsättigen und damit auch zu vernässen.

Mittlere monatliche Regenverteilung in mm Tabelle I

aus Totalisatoren im Rotenhach und Schwändlibach, Kt.Freiburg, in der Periode 1953-1960

1

Mittlere Monatsniederschläge, mm

Jan. 1 Febr. 1 März I April I Mai 1 Juni 1 Juli 1 Aug. 1 Sept. 1 Okt.

Rotenbach 179 159 78 146 161 197 203 213 185 117 Schwändlibach 155 137 67 126 151 185 190 201 173 111 - - - - · - -- -- -- - - -- - - -- -^{- -}

1

Mittel beider

Bäche 167 14,8 72,5 136 156 191 196,5 207 179 114

1 Noy. 1 Dez.

121 174 102 148 - -- -

111,5 161

Unvollkommen durchlässige Böden kommen in der Schweiz oft vor. Die Vernässung geht häufig so weit, daß sogar in Hangböden noch längere Zeit nach Regen ein Was- serspiegel vorhanden ist, der nur langsam absinkt. Die Anwesenheit eines W asserspie- gels im oder in der Nähe des Wurzelraumes ist aber das unmittelbarste und augen- fälligste Zeichen der Bodenvernässung.

In stark wechselfeuchten Böden kann der Ort und die Häufigkeit periodischer Was- sersättigung am Grad der Grau-Rot-Fleckigkeit erkannt werden (Richard 1963).

Vernässungen, die für die pflanzliche Produktion nachteilig sind, können auch in Böden ohne langfristig hochstehenden Wasserspiegel auftreten. Es handelt sich um Böden, die einerseits durchlässig genug sind, daß während längerer Zeit kein Wasser- spiegel entstehen kann. Andererseits haben sie aber einen so kleinen Grobporenanteil, daß bei Feldkapazität der Boden zu wenig durchlüftet ist.

Der Grad und die Dauer der Vernässung sind in Waldböden mit schlechter Struktur sehr unterschiedlich. Seit langer Zeit hat man versucht, vernäßte Böden zu verbessern.

Die Verbesserung hat zum Ziel, dem Boden mehr Wasser in kürzerer Zeit zu entziehen, als das unter natürlichen Bedingungen möglich ist. Man möchte durch Wasserentzug eine Veränderung jener Bodeneigenschaften einleiten, die zu einem besseren Pflanzen- wachstum führt. Insbesondere denkt man an die Verbesserung der Bodenstruktur; mit ihr verbunden ist die Verbesserung der Durchlüftung und die Verbesserung der Grün- digkeit.

Wie die Vernässung technisch korrigiert und wie der Boden dadurch für die Pflanze produktionsfähiger gemacht werden kann, muß von Fall zu Fall beurteilt werden.

Böden sind seit uralter Zeit entwässert worden. Erst ein eingehenderes wissen- schaftliches Studium der Wasserbewegung im Boden ergab genauere Entwässerungs- methoden, die sich aber bis heute zur Hauptsache auf horizontal gelagerte Böden be- ziehen.

In der Schweiz finden wir eine große Zahl von Naßböden an Hängen. Über die Wasserbewegung in Hangböden und damit auch über die Art ihrer Entwässerung ist wenig gearbeitet worden. Auch wir kennen ihren Wasserhaushalt nur unvollständig. Die Ursache der Vernässung liegt in der sehr geringen Durchlässigkeit der Bodenmasse.

In tieferen Horizonten findet man undurchlässige Schichten, die das einsickernde

Niederschlagswasser stauen. Dadurch entsteht ein Wasserspiegel. Jener Teil des Bodens, der unter dem Wasserspiegel liegt, ist als Wurzelraum in der Regel nicht tauglich. Da ein Wasserspiegel in Hangböden einerseits unter dem Einfluß periodisch fallender Niederschläge gehoben und andererseits durch die abwärts gerichtete Wasserbewegung gesenkt wird, erhalten wir eine Schwankungszone mit unregelmäßigen und daher sehr ungünstigen Durchlüftungsverhältnissen. Die durch Waldbäume ausnützbare Wurzel- tiefe ändert sich mit dem Wasserspiegel, sie ändert sich mehrmals im Verlaufe einer ein- zigen Vegetationsperiode. W asserempfindliche Baumarten, wie zum Beispiel Fichte, richten ihren Wurzelraum in der Regel allein nach dem Höchststand des W asserspie- gels. Böden mit schwankendem Wasserspiegel werden unter solchen Verhältnissen durch Wurzeln schlecht ausgenützt. Wir schließen bei dieser Betrachtung natürlich Auenwaldböden, die ganz andere Baumarten wie Weiden, Eschen, Pappeln tragen, aus.

Aber auch andere Bodeneigenschaften, die wir weiter oben bereits erwähnt haben, werden durch Wasserspiegelschwankungen dauernd verändert. Durch Anbringen ge- eigneter Entwässerungsgräben soll der Wasserspiegel trotz Niederschlägen langperio- disch tief im Boden bleiben oder bei etwas günstigeren Durchlässigkeiten sogar aus dem Wurzelraum dauernd verschwinden. Das Hauptproblem besteht deshalb im be- schleunigten und vermehrten Wasserentzug aus dem gesättigten Boden. Dabei sollen in erster Linie der Einfluß der Hangneigung, der Wasserdurchlässigkeit des Bodens, des Grabenabstandes, der Lage der wasserundurchlässigen Schicht und der Nieder- schlagsverteilung berücksichtigt werden. Das Problem des Wasserentzuges aus unge- sättigten Böden wird erst später untersucht.

B. Theoretische Gesichtspunkte über die W asserhewegung im Boden

1. Allgemeine Betrachtungen über den Wassersättigungsgrad im Boden

Zum Verständnis der Wasserbewegung wollen wir zu Beginn unserer Untersuchung einige Betrachtungen über den Wassergehalt des Bodens anbringen, unter der An- nahme, der Boden habe in einer bestimmten Tiefe einen Wasserspiegel. Zur Verein- fachung des Beispiels nehmen wir an, der Wasserspiegel bewege sich nicht und der Wassergehalt im Boden oberhalb des Wasserspiegels sei im kapillaren Gleichgewicht, das heißt, die Wasserbewegung sei zum Stillstand gekommen.

Wie verteilt sich nun das Wasser im Boden? Der Wasserspiegel bildet die Grenz- schicht zwischen gesättigtem und ungesättigtem Bodenanteil, wobei wir für unsere Be- trachtung die Wirkung des Kapillarsaumes vernachlässigen. Der gesättigte Boden liegt unterhalb des Wasserspiegels. Hier bleibt der Wassergehalt von Ort zu Ort konstant.

Eingehendere Darlegungen über die Art der «Sättigung» werden weiter unten folgen.

Oberhalb des Wasserspiegels nimmt der Wassergehalt mit zunehmender Entfernung ab. Diese Abnahme folgt bestimmten Gesetzmäßigkeiten, die in der sogenannten Was- serdesorptionskurve des Bodens zum Ausdruck kommen (Richard 1963). In Figur 1 ist eine solche Kurve dargestellt. Wir müssen uns vorstellen, der Wasserspiegel sei mit der X-Achse identisch. Die Y-Achse gibt die Entfernung eines bestimmten Punktes im Boden vom Wasserspiegel und die dort vorhandene Saugspannung des Wassers an.

Betrachten wir zum Beispiel einen Ort im Boden, der 100 cm vom Wasserspiegel entfernt ist. Dieser Ort hat eine Ordinale von 100 cm. Wie wir an anderer Stelle er- klärt haben (R i c h a r d 1963), ist die Saugspannung des Wassers an diesem Ort gleich dem Gewicht einer Wassersäule, deren Höhe die senkrechte Entfernung des Ortes vom Wasserspiegel ist. Normalerweise drücken wir die Saugspannung in Zenti- meter Wassersäule aus (-pws cm). In unserem Beispiel entspricht die Saugspannung 100 cm oberhalb des Wasserspiegels einem Wert von -pws = 100 cm. Diese Beziehung gilt allgemein, das heißt, sie gilt für jeden anderen Ort oberhalb des Wasserspiegels analog. Für einen gegebenen Boden wird sie, wie oben erwähnt, durch die Wasserdesorp- tionskurve dargestellt. Aus ihr können wir entnehmen, in welcher Entfernung vom Wasserspiegel ein bestimmter Wassergehalt zu finden ist und unter welcher Saug- spannung er steht, wenn man entsprechend unserer Voraussetzung annimmt, es herr- sche Gleichgewicht. Die W asserdesorptionskurve ist die entscheidende Grundlage zur Bestimmung der entwässerbaren Porosität /, über die wir weiter unten berichten werden.

Betrachten wir nun den Wassergehalt unterhalb des Wasserspiegels. Hier sollte der Boden überall gesättigt sein. Ist er homogen, dann finden wir überall auch denselben

Figur 1

Wasserdesorptionskurve eines Sandbodens «Chablais», eines Lößlehmbodens «Allschwil» und eines Tonbodens «Rotenbach 3».

-pwscm -pinatm. pF

107 104 ₇

6

10

⁵

10

²

5

4

10

³

10° 3

10

¹

0

Wasser - Desorptionskurve

Bereich ofentrockener Böden

\ \ \ Tonboden

"Rotenbach 3"

\ < Loesslehmboden

"Allschwil"

V\\ ^Sandboden

"Chablais"

, / ,

\ \

PWP ( permanenter

C:

Cl>

...

0 0.

C:

Cl>

u.

Welkepunkt, pF ca 4,2 ) - -- - > - -

10

...

--

20 30 40

C:

Cl>

...

0 0.

Cl>

~

FC ( Feldkapazität, pF ca 2,5) - - - +-

C:

Cl>

...

0 0.

..0 0

50

g HOH/100g Bo

Wassergehalt. Jetzt müssen wir aber auch berücksichtigen, daß der Zustand der Sätti- gung nur angenähert vorhanden ist. In jedem natürlich gelagerten Boden ist bei «Bo- densättigung» in bestimmten Poren immer noch Luft vorhanden.

Die Inhomogenität der Poren und die diskontinuierliche Porenverteilung sind die wesentlichen Ursachen hiezu. Wenn wir deshalb von Wassersättigung des Bodens spre- chen, dann gilt das nicht absolut. Dasselbe trifft zu, wenn Bodenproben im Laborato- rium zur Bestimmung der «gesättigten» Wasserdurchlässigkeit vorbereitet werden.

Sowohl unter Feld- wie Laboratoriumsbedingungen wird die absolute Wassersättigung nicht erreicht. Dieser Mangel ist für unsere Untersuchungen gar nicht so wesentlich, weil, wie betont, auch unter natürlichen Feldbedingungen die absolute Wassersätti- gung gar nicht erreicht wird. Die absolute Sättigung kann nur unter Anwendung von Druck erreicht werden. Aber auch die angenäherte Sättigung ist mehr oder weniger reproduzierbar, wenn die eingeschlossene Luftmenge, die biologische Bodenaktivität, die Periodizität des Frostwechsels und andere Vorgänge den Boden nicht ändern.

Durch streng standardisierte Sättigungsmethoden ist die Reproduzierbarkeit erreich- bar. Wenn wir jetzt von diesen Gleichgewichtsbetrachtungen zur Wasserbewegung im Boden übergehen, dann müssen wir unterhalb des Wasserspiegels eine Strömung in einem praktisch gesättigten Boden untersuchen.

Der Wassergehalt bleibt dabei konstant. Oberhalb des Wasserspiegels wird die Wasserdurchlässigkeit eine Funktion des Wassergehaltes sein. Wir müssen deshalb die Permeabilität als Funktion des Wassergehaltes betrachten. In beiden Fällen spielt das Gesetz von D a r c y eine wichtige Rolle, das im nächsten Abschnitt behandelt wer- den soll.

2. Das Gesetz von Darcy

Nehmen wir an, wir haben einen homogenen, isotropen Sand, der mit Wasser ge- sättigt ist. Durch einen bestimmten Druckunterschied sei eine laminare und lineare Wasserströmung verursacht worden, deren Geschwindigkeit durch folgende allge- meine Beziehung berechnet werden kann (Terz a g h i und P eck 1948):

V k'

. i

,ll p (1)

Unter v verstehen wir die Filtergeschwindigkeit, das ist die Geschwindigkeit des fließenden Wassers, bezogen auf den Gesamtquerschnitt der porösen Masse (Sc h e i d- e g g er 1963). Die Filtergeschwindigkeit ist nicht mit der Porengeschwindigkeit zu verwechseln. Der Ausdruck k' ist die ·absolute Durchlässigkeit (pro cm^{2 ),} eine empi- rische Konstante für irgendein poröses Material und unabhängig von physikalischen Eigenschaften der strömenden Flüssigkeit. Der Ausdruck iv ist der Gradient aus dem hydrostatischen Druck, undµ ist die Viskosität des Wassers (= 0,01 Poise [g/cm • sec]

bei 20°C). Nun können wir in Formel (1) den hydrostatischen Druckgradienten i/J

(Terz a g h i und P eck 1948) ersetzen, wenn wir den hydraulischen Gradienten i mit der Dichte (} des Wassers multiplizieren. Die Filtergeschwindigkeit beträgt dann

(la) Für unsere Wasserbewegungsuntersuchungen im Boden können wir in (la) em1ge Vereinfachungen vornehmen: Da die Temperatur des Bodenwassers in verhältnis- mäßig engem Bereich schwankt, dürfen wir annehmen, daß seine Viskosität f,l und seine Dichte (} konstant bleiben. Anstelle der absoluten Durchlässigkeit k' setzen wir die Durchlässigkeit k, wobei zwischen beiden Faktoren folgende Beziehung existiert:

k = k' · ^Q

II (lb)

Setzen wir diesen Wert in (la) ein, so erhalten wir das Gesetz von Dar c y : (2) Diese Gleichung hat den Charakter eines Vektors. Die Richtung des Gradienten ist beliebig. In dieser einfachen Form sagt nun das Dar c y - Gesetz, daß die Filterge- schwindigkeit ^v (cm/sec) pro Flächeneinheit der porösen Masse proportional dem Durchlässigkeitskoeffizienten k und dem hydraulischen Gradienten i ist. Der Aus- druck k ist der sogenannte Durchlässigkeitskoeffizient nach Dar c y, oder kurz k-Wert nach Dar c y genannt. Er hat die Dimension einer Geschwindigkeit (cm/sec). Ist der Gradient i

=

^1, dann wird v

=

^k, das heißt, die Filtergeschwindigkeit v wird gleich dem k-W ert nach D a r c y .

Wenn nichts Besonderes vermerkt wird, dann verstehen wir unter dem k-Wert die

«gesättigte» Durchlässigkeit des Bodens. Das Dar c y - Gesetz kann aber auch für die Wasserbewegung im ungesättigten Boden verwendet werden. Der k-Wert in (2) wird in diesem Fall um so kleiner, je geringer der Wassergehalt im Boden ist. Wie wir an anderem Orte gezeigt haben (Richard 1964), wird mit abnehmendem Wasser- gehalt die Saugspannung des Wassers größer, es besteht eine einfache Beziehung zwi- schen dem Wassergehalt im ungesättigten Boden und der Saugspannung -p. Vergleiche auch Richards und Moore 1952, Gar d n er 1958, Nie I s e n und Bi g gar 1961. Den Ausdruck k nach Dar c y ersetzen wir im ungesättigten Boden durch den Ausdruck k _ p, wir geben damit seine Abhängigkeit von der Saugspannung (-p) des Bodenwassers an. Wir werden weiter unten in diesem Abschnitt über eine Unregel- mäßigkeit (Hysterese) in der Beziehung Wassergehalt/Saugspannung berichten. Der Wert i in (2) ist der hydraulische Gradient, das heißt der Unterschied in der hydrau- lischen Höhe H pro Längeneinheit JL, also

öH

i - ,\L (2a)

Unter der hydraulischen Höhe H verstehen wir die Summe aus der Druckhöhe h und der geodätischen Höhe z

H=h+z (3)

Die Druckhöhe h ist die Höhe einer Wassersäule, deren Gewicht gleich dem hydro- statischen Drucke p des Wassers an einem gegebenen Orte ist. Bezeichnen wir (2 als die Dichte des Wassers in g/cm³ und g als die Erdbeschleunigung= 981 cm/sec2, dann erhalten wir für h folgenden Ausdruck:

h= -P- Q·g

Die geodätische Höhe z ist die senkrechte Entfernung des untersuchten Ortes vom Bezugshorizont.

Die hydraulische Höhe H kann aus der B e r n o u 11 i - Gleichung (V e n n a r d ] 963) berechnet werden, wenn man annimmt, daß die Geschwindigkeitshöhe= 0 ist.

D a r c y untersuchte die laminare Wasserströmung durch isotropes und homo- genes grobporiges Material. Streng genommen soll das Dar c y - Gesetz auch nur für solche Medien angewendet werden. Nun bestehen aber die Böden, mit denen wir es zu tun haben, nicht nur aus Sand mit groben Poren, sondern auch aus Staub- und Ton- teilchen, die feine und feinste Porenräume verursachen. Scheide g g er (1963) hat gezeigt, daß zur Berechnung der Wasserströmung durch Tone oder andere fein- porenreiche Massen, das Gesetz von D a r c y unter Umständen zu ungenauen Ergeb- nissen führen kann. Die Abweichung ist aber häufig so gering, daß sie vernachlässigt werden kann. Das trifft speziell auch für unsere Entwässerungsstudien zu, weil einer- seits die Wasserbewegung sehr langsam ist und andererseits die Viskositätsänderung nicht berücksichtigt werden muß. Wir nehmen zudem eine lineare Strömung im Gravi- tationsfeld an; das heißt, das Wasser bewege sich über einer geneigten, undurchlässigen Schicht in parallelen Stromlinien in einer unendlich langen, porösen Masse. Dieser Fluß werde weder durch Wasserzuschuß noch durch Wegfluß unterbrochen.

Wir haben in diesem Abschnitt schon darauf hingewiesen, daß zwischen dem Was- sergehalt im ungesättigten Boden und der Saugspannung des Bodenwassers eine ein- fache Beziehung bestehe. Diese ist aber in einer bestimmten Hinsicht doch zweideutig und bedarf einer Erklärung. In Figur 1 haben wir W asserdesorptionskurven darge- stellt. Es handelt sich also um Austrocknungskurven, das heißt, die Wassergehalte sind durch stufenweises Austrocknen der Bodenproben bestimmt worden. Wird aber der-

~elbe Boden stufenweise benetzt, so erhält man für dieselben Saugspannungen wohl angenähert dieselben Anfangs-und Endwerte. Zwischen diesen beiden Punkten weicht aber die Kurve mehr oder weniger stark von der Desorptionskurve ab. Wir erhalten für den Austrocknungs- bzw. Benetzungsvorgang nicht dieselbe Beziehung. In der Regel ist es so, daß bei gleicher Saugspannung ein Boden in der Austrocknungsphase mehr Wasser enthält als in der Benetzungsphase. Diese Abweichung nennt man die Hysterese, sie ist auf die Inhomogenität der Porenform zurückzuführen. In Figur 2 ist die Hyste- rese schematisch dargestellt. Die Wassergehalte auf der Y-Achse wurden nach Errei- chung des Gleichgewichtes mit der Saugspannung bestimmt. Die Hysterese ist von Boden zu Boden sehr verschieden und kann Schwierigkeiten bereiten. In humiden Klimagebieten, wo im Zeitablauf die Austrocknungsphasen in der Regel wesentlich länger sind als die Benetzungsphasen (starke Regen), braucht man nur auf die Desorp- tionskurve zu achten. Es ist aber auch hier zweckmäßig, die Hysterese zu kennen.

Figur 2

Schematische Darstellung der Hysterese, d. h. des abweichenden Verlaufes der Wassersorptions- und -desorptionskurve.

Hysterese

Kapillarwass•r

Austrocknun

Benetzung

0 - (-p)

Druck des Bodenwassers (Saugspannung)

3. Die nichtstationäre Wasserströmung im Boden

a) Kombination des Darcy-Gesetzes und der Kontinuitätsgleichung

Das Gesetz von Dar c y gilt allgemein. Es genügt in der Form, wie wir es darge- stellt haben, aber nicht, um die Wasserbewegung im Boden so zu untersuchen, wie wir es beim Studium der Entwässerung tun müssen. Das D a r c y -Gesetz hat den Charak- ter eines Vektors. Der Gradient i sowie die Permeabilität k kann von einem gegebenen Punkt aus in jeder beliebigen Strömungsrichtung sowie auch von Ort zu Ort ändern.

Wir müssen das D a r c y -Gesetz in einen Zusammenhang mit dem Gesetz der Kon- tinuität strömender Massen bringen. Unter der Annahme, das Wasser sei nicht zusam- mendrückbar, strömt in einem Stromfaden durch jeden Querschnitt pro Zeiteinheit dieselbe Wassermenge. Ist in einem Stromfluß keine Quelle und keine Senke vorhan- den, dann kann weder Wasser gewonnen werden noch verlorengehen. Ebenso muß die in einem porösen Volumen pro Zeiteinheit erfolgte Änderung der Wassermasse gleich sein der Differenz aus allen Zu- und Wegflüssen.

Durch Kombination des D a r c y - Gesetzes mit dem Kontinuitätsgesetz erhalten wir eine allgemein gültige Strömungsgleichung für Flüssigkeiten durch poröse Medien.

Dabei machen wir über die Bodeneigenschaften zunächst keine vereinfachenden An- nahmen. Der Boden ist deshalb anisotro):l, das bedeutet, daß Eigenschaften wie zum Beispiel die Permeabilität und die Potentialverteilung nach drei Richtungen eines Ortes verschieden sind. Der Boden ist inhomogen, seine Eigenschaften verändern sich also von Ort zu Ort.

Aus der D a r c y - Gleichung (2) erhalten wir die Strömungsgeschwindigkeit v in den Richtungen xyz:

V _z =

öx ö(/>

cy

Ir · i = k · __!!_±_

z z -= Öz

(4)

Der Ausdruck (/) wird allgemein für ein Potential verwendet. Wir verwenden ihn hier im theoretischen Teil unserer Arbeit, damit auch der Gradient in Gleichung ( 6) durch den allgemeinen Ausdruck ₈ ⁸ cjJ bezeichnet werden kann, wie das allgemein

X. j'. Z

üblich ist. In unseren Strömungsuntersuchungen besteht das Potential (/) aus der hydraulischen Höhe H, und der Gradient i im Dar c y - Gesetz ist für uns die Verän- derung der hydraulischen Höhe H pro Längeneinheit ÖL. Wir berechnen den Gradien-

. d B . h . öH

ten immer aus er ezre ung i =

6L .

Die Kontinuitätsgleichung sagt, daß in einem SLromfluß ohne Quelle und ohne Senke weder Wasser verloren noch gewonnen werden kann. Zur Veranschaulichung der folgenden Ausführungen diene Figur 3a. Nehmen wir an, das Volumenelement mit den Seiten Öx, öy, ^Öz liege mit einer Ecke im Ursprung des Koordinatensystems und je eine Seite eh, Öy und Öz falle mit der entsprechenden Achse zusammen. Das ge- zeichnete Bodenvolumen habe einen bestimmten Wassergehalte. Nach dem Gesetz der Kontinuität ist die Veränderung des Wassergehaltes im Volumenelement gleich der Summe der Differenzen aus Zu- und Wegflüssen in den Richtungen xyz.

Bilanz in

X-Richtung; (vx + ovx) . Öz . oy- vx . Oz . oy;

r

-Richtung; (v _y + Öv ) . Öx. öz -_y ^V _y ^• ox . oz· _' z-Richtung; (vz + ov.) · öx · oy - vz · oy · oz;

I II III

Die Summe der Wasserbilanzen in den x-y-z-Richtungen während der Zeit Öt ist gleich der Änderung des Wassergehaltes Öc im Volumenelement ox · Öy • Öz, also gleich dem Ausdruck Öe • Öx · öy •. Öz. Es gilt deshalb folgende Gleichung:

oe · ox · oy · oz = (I +II+ III) · ot die Werte für I, II, III eingesetzt:

oe · ox · oy · oz = (ovx · oy · uz + ovr · ux · oz + ov. · ox · oy) · ot

~

_Öt · ox · oy · oz = ov · uy · uz _X + ov · ox · oz _Y + ov · ox · oy _Z ^{1 :} ox · oy · oz

oc

rlt

Figur 3a

Ausgangslage zur Erklärung der Kontinuitätsgleichung. Darstellung unterschiedlicher Zu- und Wegflüsse in und aus einem Bodenelement mit anisotropen Strömungsverhältnissen in den

x,y,z-Richtungen.

Zur Erklärung der Kontinuitätsgleichung

z

X

y

Von dieser Differenzengleichung gehen wir über zur Differentialgleichung.

Öc

öt (5)

Die Kombination der Kontinuitätsgleichung mit dem D a r c y -Gesetz besteht nun darin, daß für Vx, Vy, Vz in (5) die Werte aus ( 4) eingesetzt werden, wodurch wir nach- stehende allgemeine Strömungsgleichung erhalten:

öc ö ö (/> ö ö (/> ö ö (/>

-_öt - -_{- öx} (k · _x -_öx ) + -_öy (k · - ) + - (k · - )

Y öy Öz z Öz (6)

Diese Gleichung sagt, daß in einem gegebenen Medium die Veränderung des Was- sergehaltes als Funktion der Zeit abhängig ist von der Veränderung der Durchlässig- keitskoeffizienten kx,y,z und von den in denselben Richtungen wirkenden Verände-

8(/>

rungen der Gradienten _ö

x. y. z

. Was wir zur Lösung der Entwässerungsprobleme su- chen, ist die Potentialverteilung (/) über das uns interessierende Bodenvolumen. Diese Verteilung muß den Bedingungen der Gleichung (6) genügen und gleichzeitig auch den Randbedingungen, die uns die Natur des Objektes (grabendurchzogener Boden mit undurchlässiger Schicht und Wasserspiegel) vorschreibt.

So wie die Gleichung in (6) lautet, sind noch keine numerischen Lösungen ge- funden worden. Sie ist zu allgemein gefaßt. Um numerische Lösungen zu erhalten, müs- sen wir einige vereinfachende Annahmen treffen. Zunächst trennen wir im Boden den wassergesättigten Teil unterhalb des Wasserspiegels vom ungesättigten Teil oberhalb.

Unterhalb des Wasserspiegels ist der Wassergehalt c überall derselbe und konstant, der Boden ist dauernd «wassergesättigt». Der Wert ~: wird deshalb zu null. Der Wasserspiegel ist bezüglich Wassergehalt im Boden eine Grenzfläche. Strömt kein Was- ser durch den Boden, dann ist der Wasserspiegel eine Stromlinie, und senkrecht zu ihr kann sich im stationären Zustand kein Wasser bewegen. In unseren Böden müssen wir aber mit durchsickernden Niederschlägen rechnen, die den Wasserspiegel erreichen und durch ihn hindurchfließen. Steigt oder fällt der Wasserspiegel, dann muß man in der Schwankungszone mit einem Nachfließen des Wassers rechnen; der Wasserspiegel wird sozusagen zerrissen, der Wassergehalt steht nicht mehr mit dem Wasserdruck im Gleichgewicht, er ändert sich mit der Zeit, strebt aber einem Gleichgewicht zu. Dieser nichtstationäre Vorgang macht sich besonders bei raschen Schwankungen des Wasser- spiegels bemerkbar. Da in Staub- und Tonböden die Wasserbewegung sehr langsam ist, darf man für kurze Zeitintervalle annehmen, daß das Gleichgewicht des W asserge- haltes im und über dem Wasserspiegel sich laufend einstellt. Die senkrecht zum Was- serspiegel pro Flächeneinheit und Zeiteinheit durch ihn strömende Wassermenge be- zeichnet man als den Fluß. Wenn wir jetzt annehmen, der Wassergehalt im Wasser- spiegel bleibe konstant, was wir tun dürfen, wenn der Boden homogen und wenig durch- lässig ist, dann dürfen wir den Vorgang des sich hebenden oder fallenden W asserspie- gels als eine momentane stationäre Strömung auffassen.

üc

Wenn deshalb

8t

= 0 wird, dann erhalten wir aus (6) [ vergleiche Chi l d s in Luthin 1957):

_!_ (k · .!!_1_) + _!_ (k · !..!l_) + _!_ (k · .!!_1_) = 0

8x x 8x 8y Y 8y 8z z 8z (7)

Weiter nehmen wir an, der Boden sei isotrop, das heißt, die Permeabilitätswerte kx,y,z seien gleich groß. Dann vereinfacht sich (7) zu folgendem Ausdruck:

82 </J a2 </J 82 c/!

-8 _x· 9 + -8

r

9 + -8 z 2 = 0 (8)

Das ist die L a p l a c e - Gleichung, die, basierend auf dem D a r c y - Gesetz, uns die grundlegende Bedingung der Gradientenänderung in den x-y-z-Richtungen für sta- tionäre Strömung wiedergibt. Jetzt nehmen wir an, daß in der y-Richtung kein Gradient vorhanden sei. Es fließt also kein Wasser. Der Ausdruck ⁸₈²~ wird zu null. Aus Glei-

r

chung (8) erhalten wir: 82 (/J 82 (/J

~ +

aF

= 0 (9) Gleichung (9) ist die Grundlage für unsere Strömungsuntersuchungen in Böden mit einem Wasserspiegel. Die Voraussetzungen, unter denen sie Gültigkeit hat, seien hier nochmals erwähnt: homogener und isotroper Boden; kontinuierliche Strömung, d. h., es befinden sich im untersuchten Bodenvolumen weder eine Quelle noch eine Senke.

Wie wir schon weiter oben erwähnt haben, ist (/) das allgemeine Symbol für ein Potential. In unserer Arbeit ist (/) die hydraulische Höhe H des Wassers im Boden.

Wir ersetzen (/) in Gleichung (9) durch Hund erhalten:

(10)

Gleichung (10) sagt uns, daß an einem gegebenen Ort im Boden die Gradienten- änderung in der x-Richtung durch eine entsprechende Gradientenänderung mit entge- gengesetzten Vorzeichen in der z-Richtung kompensiert werden muß, wenn das Volu- men der strömenden Wassermenge konstant bleiben soll.

Wie wir gezeigt haben, enthält (10) die Kontinuitätsgleichung und das Dar c y - Gesetz. Für uns stellt sich nun die Frage, wie wir die Veränderung von H, wie sie in

(10) enthalten ist, numerisch bestimmen können. Hiezu verwenden wir die Analogie des Ohmschen Gesetzes zum D a r c y - Gesetz, wobei für die Gültigkeit des Ohmschen Gesetzes die analoge Kontinuität im Stromfluß Voraussetzung ist, wie wir sie bei der Wasserströmung im Boden gefordert haben. Die Formel für das Ohmsche Gesetz und das D a r c y - Gesetz sind in Tabelle 2 dargestellt. Im Abschnitt C werden beide näher behandelt.

Mit dieser Feststellung ist auf das analoge Verhalten der Veränderung der hydrauli- schen Höhe des Bodenwassers und der Spannungsveränderung im elektrischen Wider- standsnetzwerk hingewiesen. Wir können die hydraulischen Höhen durch Wahl eines geeigneten Umrechnungsmaßstabes durch elektrische Spannungen an einem Wider- standsnetzwerk ausdrücken. Aus den elektrischen Spannungsunterschieden von Knoten

zu Knoten im Netzwerk können wir elektrische Gradienten und durch einfache Umrech- nung die analogen hydraulischen Gradienten bestimmen. Aus diesen Ergebnissen be- rechnen wir nach dem D a r c y - Gesetz die Falltiefe des Wasserspiegels.

Da wir für unsere Lösung stationäre Strömung annehmen müssen, weichen wir von den natürlichen Verhältnissen-ab. Die Bewegung des Wasserspiegels ist ja nicht statio- när. Sinkt er zum Beispiel, dann wird die in die Gräben ausfließende Wassermenge mit der Zeit immer kleiner, die Fallgeschwindigkeit nimmt ab. Wenn wir für eine be- stimmte Lage des Wasserspiegels mit Hilfe des elektrischen Widerstandsnetzwerkes die Verteilung der hydraulischen Höhen und daraus die Gradienten bestimmen, so haben diese Werte nur für eine bestimmte Wasserspiegellage Gültigkeit. Der sinkende Was- serspiegel ändert aber laufend seine Lage, und damit ändert sich auch die Verteilung der hydraulischen Höhen. Wir verwenden jedoch eine einmal bestimmte Lage des Was- serspiegels und die dazu gehörende Verteilung der hydraulischen Höhen als maßge- bende, für eine gewählte Fallzeit unveränderliche Größe und berechnen damit die Falltiefe.

Je größer wir die Fallzeit wählen, um so größer wird der Fehler in der Falltiefe und umgekehrt. Um den Fehler zu verkleinern, müssen wir die gesamte Falltiefe in eine möglichst große Zahl von Zwischenstufen unterteilen, für die wir jedesmal im elektri- schen Widerstandsnetzwerk eine neue, für diese Stufe charakteristische Verteilung der hydraulischen Höhen bestimmen. Je näher die einzelnen Absenkstufen des Wasserspie- gels räumlich liegen, um so mehr nähern wir uns mit unseren Lösungen dem natürli- chen, nichtstationären Vorgang. Die Falltiefe von Position zu Position des Wasser- spiegels darf also nicht groß sein. Vergleiche hiezu auch M u s k a t 193 7.

b) Die Boussinesq-Gleichung

B o u s s in es q (1904) hat die Bewegung von Grundwasserspiegeln m ebenen und schwach geneigten Lagen als nichtstationären Fall behandelt. Die folgenden Aus- führungen stützen sich auf seine Überlegungen.

Wir nehmen an, ein Wasserspiegel sei um den Betrag bb gegen eine Bezugsebene XY geneigt, wie in Figur 3b dargestellt. In der x-und y-Richtung fließe pro Zeiteinheit eine bestimmte Wassermenge in das gezeichnete Volumenelement Boden ein und eine bestimmte, aber nicht gleich große Wassermenge aus. Zu untersuchen ist die Verände- rung ob, das heißt die Wasserspiegelhöhe in Abhängigkeit von der Bilanz aus Zu- und Wegfluß.

Es sei B in Figur 3b die senkrechte Entfernung des undurchlässigen Untergrundes von der XY-Ebene. B wird von oben nach unten positiv gemessen. Es sei b die senk- rechte Entfernung des Wasserspiegels von der XY-Ebene und werde von unten nach oben positiv gemessen.

Der Ausdruck ;,t sei die spezifische Wassermenge, die pro Volumeneinheit Boden ausfließen kann, wenn sich der Wasserspiegel senkt. Für sehr grobkörnige Böden mit kleinem kapillarem Aufstieg ist µ angenähert konstant. In staub- und tonreichen Böden

Figur 3b

Boussinesq-Gleichung. Die Veränderung der Wasserspiegelhöhe i'Jb als Funktion der Zeit (nicht stationär), dargestellt an einem Volumenelement des Bodens.

z

y

T

6b _l_ ,-

/

T

6B

l_

^/

1 1 b

1

1

1

,,,1-

,- 1 xy - Ebene

+ X +

1

1

1

1B

1

undurchlässige Schicht

6B

arctg 6x

wird aber der Wassergehalt über dem Wasserspiegel eine Funktion des Wasserdruckes, der mit zunehmender Entfernung vom Wasserspiegel immer kleiner wird (R i c h a r d 1963). Es ist aber auch für solche Fälle möglich, eine äquivalente spezifische Wasser- menge zu bestimmen, die bei sinkendem Wasserspiegel aus dem Boden fließt. Man integriert, ausgehend von der Saugspannung= 0, graphisch jenen Teil der Sorptions- kurve (d. h. der Funktion Saugspannung/Wassergehalt), der der untersuchten Falltiefe des Wasserspiegels entspricht (Br u s a er t, Ta y I o r und Lu t hin 1961, R i - c h a r d 1964) .

Aus Figur 3b folgt weiter, daß der Ausdruck B + b die Gesamthöhe des Wasserspie- gels über der undurchlässigen Schicht darstellt.

Ferner sei das Flächenelement eh·

oy

=

oa

ein Ausschnitt der XY-Ebene. Es wird dann der Ausdruck

oa ·

^{(B + b)} zum Volumen eines Prismas. Die aus diesem Boden- volumen entfernbare Wassermenge Q beträgt nach dem eben Gesagten

Q = µ • (B + b) •

oa

Nun fließe in der x-Richtung durch die Ebene (B + b) • oy pro Zeiteinheit eine be- stimmte Wassermenge ein und eine von ihr verschiedene Wassermenge aus. Die Bi- lanz beider Mengen verursacht ein Heben oder Senken des Wasserspiegels. Der Analoge geschehe in der y-Richtung. Wir bezeichnen die Netto-Wassermenge, die pro Flächen- einheit und pro Zeiteinheit in der x-und y-Richtung fließt, als den Netto-Fluß-Wert Fxn

und F11,,. Die Wassermenge, die in einem kurzen Zeitintervall

ot

^{aus der x-} und y-Rich-

Lung in das Prisma fließt, kann dann durch folgende Ausdrücke angegeben werden:

Aus der X-Richtung Fxn. (B + b) • oy. Öt Aus der y-Richtung F11,. • (B + b) •

ox ·

^Öt

Die gesamte Netto-Wassermenge, die in der Zeit ot in das Prisma fließt, ist gleich der Summe dieser beiden Ausdrücke.

F xn • (B + b) • oy · öt + F11,, • (B + b) •

ox ·

ot

Die Netto-Wassermenge, die während der Zeit

ot

aus dem Bodenprisma aus- oder einfließt, verursacht ein Heben oder Senken des Wasserspiegels. Sie ist gleich dem Ausdruckµ·

ob ·

öx •

oy.

Deshalb ist auch

Durch Division mit Öx • Öy und Übergang zum Differentialkoeffizienten erhalten

wir 8b [F_m (B + b)] [l•~,n (B + b)]

µ ·

8t

^{= f) Öx}

+

f) äy (11)

Wie oben erwähnt, sind die Werte Fxn und Fyn die Netto-Wassermengen, die pro Zeiteinheit durch die Flächeneinheit des Bodens in der x- und y-Richtung fließen.

Zur Berechnung der Fluß-Werte

F.rn

und F11

„

verwenden wir die Annahme von Du - p u i t - F o r c h heim er (Scheide g g er 1963, S. 101): In einem porösen Me- dium sei eine schwach geneigte, freie Wasseroberfläche. Unter dieser Fläche ist in einer bestimmten Tiefe eine horizontale, undurchlässige Schicht. Die Wasserströmung werde allein durch das Erdgraviationsfeld verursacht. Unter diesen Verhältnissen darf man annehmen, daß die Stromlinien unterhalb des Wasserspiegels ebenfalls ange- nähert horizontal verlaufen. Im Wasserspiegel ist der Gradient i gleich dem Unterschied oH der hydraulischen Höhe H pro Längeneinheit Wasserspiegel. Betrachten wir einen lotrechten Strömungsausschnitt unterhalb des Wasserspiegels, der bis zur undurchlässi- gen Schicht reicht, so darf man hier annehmen, daß die Strömungsgeschwindigkeit ^Vx überall, das will sagen vom Wasserspiegel bis zur undurchlässigen Schicht, dieselbe ist.

Das hat zur Folge, daß auch der Gradient ix (wenn x die Strömungsrichtung ist) über- all gleich groß ist. Wenn die Strömung überall dieselbe ist, dann muß auch überall der- selbe Gradient vorhanden sein. Im Wasserspiegel kennen wir diesen Gradienten i. Er ist i = ~:. Es muß deshalb ix im lotrecht darunterliegenden Bodenausschnitt auch gleich groß wie i sein. Diese Annahme machen D u p u i t - F o r c h h e i m e r . Sie

sagt aus, daß der Gradient und damit auch die Geschwindigkeit proportional der Stei- gung der freien W asserspiegeloberfläche ist, also

. oH

LX<'-' Öx <'-' VX

In unserem Fall ist die undurchlässige Schicht geneigt. Wir verwenden trotzdem die Du p u i t - F o r c h heim er - Annahme und setzen unsererseits voraus, daß die Nei- gung des Wasserspiegels nicht stark von jener der undurchlässigen Schicht abweicht.

In Figur 3b ist dann der Gradient ix unterhalb des Wasserspiegels

. ob

LX('-' Tx ^0-., vx

Setzen wir den Differentialquotienten dieses Wertes im Dar c y - Gesetz ein, so er- halten wir pro Zeit- und Flächeneinheit folgende Wasserströmung (Fig. 3b).

F.~n

^{= k .} _8x 8b

F = k. 8b

yn 8y

Diese Werte in ( 11) eingesetzt, ergeben

8b 8 8b 8 8b

,u ·

8t

= 8x ^{[k · (B}

+

b) · ex]+

ay

[k · (B

+

b) ·

ay]

Nehmen wir an, die Wasserströmung erfolge nur m der x-Richtung, dann wird dieser Ausdruck vereinfacht:

8b 8 8b

u ·

8t

= 8x [k · (B

+

b] · 8x]

Wird dieser Ausdruck differenziert, so erhält man für eine eindimensionale, nicht- stationäre Strömung folgenden Ausdruck:

8b 8²b 8B 8b 8b 9

µ ·

8t

=k · (B+ b) · ₈x2 +k ·

e-;,- ·

8x +k · (ex)" (12)

Gleichung (12) nennt man die B o u s s in es q - G 1 eich u n g.

Es ist naheliegend, daß die B o u s s i n e s q - Gleichung auch auf den in Hang- böden absinkenden Wasserspiegel angewendet werden kann. In diesem Fall ist die un- durchlässige Schicht geneigt, was zur Folge hat, daß sich Bin Gleichung (12) als Funk- tion von x (Bezugshorizont) ändert. Dadurch wird die B o u s s in es q - Gleichung für Hangböden noch komplizierter, und es ist schwierig, für einen gegebenen Fall nu- merische Lösungen zu erhalten. Es ist aber möglich, daß B als Funktion der Zeit unver- ändert bleibt. Das ist dann der Fall, wenn die durch die Bodenoberfläche einsickernde und die in die Gräben ausfließende Wassermenge gleich groß sind. Der Wasserspiegel bewegt sich nicht, die Wasserströmung wird stationär. Dieser Zustand kann in ganz verschiedenen Höhen des Wasserspiegels auftreten. Die Höhe hängt von der Einsicke- rungsmenge ab. Ist sie groß, dann muß auch mehr Wasser in die Gräben fließen, damit wieder Gleichgewicht zwischen Zufluß- und Wegfluß eintritt. Der Wasserspiegel steigt in eine höhere Lage. Das Umgekehrte tritt ein, wenn die einsickernde Wassermenge kleiner wird.

Ausgehend von solchen Überlegungen haben S c h m i d und L u t h i n für Hang- böden mit einer gegen den Horiont geneigten, undurchlässigen Schicht eine Funktion für die Bewegung des Wasserspiegels entwickelt. Numerische Lösungen dazu liegen für bestimmte Hangneigungen, Einsickerungsmengen, Durchlässigkeitswerte, Tiefen des Wasserspiegels und Grabenabstände in Form eines Nomogrammes vor (Schmid und L u t h in 1964).

C. Das elektrische Widerstandsnetzwerk

Das elektrische Widerstandsnetzwerk ist in der Literatur schon mehrmals bespro- chen worden (Luthin 1953; Vimoke, Tyra, Thiel und Taylor 1962;

V im ok e und Ta y 1 o r 1962). Es ist zweckmäßig, auch hier über einige Prinzi- pien des Netzwerkes sowie über seine Anwendungsmöglichkeiten bei der Untersuchung der Bodenentwässerung zu berichten.

1. Grundlagen

Die Verwendung eines elektrischen Widerstandsnetzwerkes zum Studium der Was- serbewegung im Boden beruht auf der Analogie des Ohmschen Gesetzes und des Dar c y - Gesetzes. Nach dieser Feststellung, auf die S 1 ich t er (1899, cit. in Lu t hin und Gas k e 11 1950) aufmerksam gemacht hat, ist der elektrische Strom- fluß nach dem Ohmschen Gesetz in einem Widerstandsnetzwerk und die Wasserbewe- gung in einem porösen Medium, wie zum Beispiel im Boden, analog.

In Tabelle 2 sind die beiden Gesetze dargestellt. Beim Vergleich beider Formeln er- kennt man, daß nach dem Ohmschen Gesetz der Stromfluß in einem elektrischen Leiter von der spezifischen Leitfähigkeit k', vom Spannungsgradienten

~

und von der Lei-

terquerschnittsfläche a analog abhängig ist, wie nach dem D a r c y - Gesetz in einer porösen Masse die Wassermenge Q vom Durchlässigkeitskoeffizienten k, vom Gradien-

öH .

ten

L

und vom Querschnitt A.

Der Ausdruck «analog» bedeutet Ähnlichkeit der Eigenschaften oder Beziehungen, aber nicht Identität. Bei der Verwendung des Analogs gehen wir von der Annahme aus, das Wasser ströme stationär in zwei Richtungen durch einen Boden von homogener Porosität.

Zur Bestimmung der Wasserströmung verlangt das D a r c y - Gesetz die Kenntnis des k-W ertes und des Gradienten, der die Wasserbewegung verursacht. Der k-W ert kann auf einfache Weise im Laboratorium und im Felde bestimmt werden. Einige

Das Ohmsche Gesetz und das Darcy-Gesetz sind analog Tabelle 2 Ohmsdtes Gesetz

I = Stromfluß in Ampere oder Coulomb pro sec

-[ = V Spannungsabfall (Gradient) oder elektrische Feldstärke R = Elektrischer Widerstand

l L

= k'.-;-

k' = Spezifische Leitfähigkeit L = Länge des Leiters

a = Querschnittsfläche des Leiters

Darcy-Gesetz öH Q=k · ---y;- · A

Q = Volumen Wasser pro Zeiteinheit k = k' · [! • g = Durchlässigkeits-

µ

koeffizient nach D a r c y k' = Absolute Durchlässigkeit [! = Dichte des Wassers g = Erdbeschleunigung µ = Viskosität des Wassers -öH L = Hydraulischer Gradient i

A = Querschnittsfläche der porösen Masse (Boden)

Schwierigkeiten bereitet der Gradient. Dieser ist zwischen zwei gegebenen Orten im Boden gleich der dort vorhandenen Differenz der hydraulischen Höhen

oH,

dividiert durch den Abstand L. Er verändert sich von Ort zu Ort. Zu seiner Bes'timmung ver- wenden wir das elektrische Widerstandsnetzwerk, denn die besprochene Analogie des D a r c y - Gesetzes und des Ohmschen Gesetzes erlaubt uns, den gesuchten hydrauli- schen Gradienten über den Weg der elektrischen Potentialverteilung am Netzwerk zu messen (R i c h a r d 1963) . Dabei ist folgende Beziehung zu berücksichtigen.

Mathematisch können zweidimensionale stationäre Potentialfunktionen, wie wir sie bei der Untersuchung der Hangentwässerung zu lösen haben, in folgender Form der L a p 1 a c e -Gleichung ausgedrückt werden:

wobei das Potential (/) in unserem Fall die hydraulische Höhe H am Orte mit den Koor- dinaten x und z ist. Diese Beziehung setzt, wie wir weiter oben gezeigt haben, voraus, daß sich H an einem bestimmten Ort mit der Zeit nicht ändert. Der Wert H muß am Orte xz konstant bleiben, was praktisch nur der Fall ist, wenn die Absenktiefe nicht zu groß gewählt wird.

Mit dem elektrischen Widerstandsnetzwerk können wir die oben angegebene Form der La p 1 a c e - Gleichung (9) zweidimensional lösen. Die am Netzwerk simulierte Potentialfläche ist ein zur Grabenrichtung senkrecht stehender Bodenquerschnitt, und in diesem wird die für das Absinken des Wasserspiegels maßgebende Potentialvertei- lung bestimmt.

Damit das elektrische Widerstandsnetzwerk die Potentialfläche des Bodenquer- schnittes wiedergeben kann, müssen bestimmte Randbedingungen eingestellt werden.

2. Randbedingungen am elektrischen

Widerstandsnetzwerk zur Untersuchung der Potentialverteilung in Böden mit einem Wasserspiegel

Wir gehen vom asymmetrisch verlaufenden Wasserspiegel aus, der sich in einem grabendurchzogenen Hangboden dann einstellt, wenn die Durchlässigkeit unvollkom- men ist. Unter unseren klimatischen Bedingungen gehören als Voraussetzung zur Bildung eines Wasserspiegels in solcher Lage: hohe Niederschläge, geringe Wasser- durchlässigkeit des Bodens und eine mehr oder weniger wasserundurchlässige Schicht in bestimmter Bodentiefe, die in der Regel den Wurzelraum nach unten abgrenzt.

Ferner ist die Wasserbewegung auch noch von der Hangneigung, vom Grabenabstand und von der Variabilität der Durchlässigkeit als Funktion der Wurzelraumtiefe ab- hängig. Soll das Netzwerk tatsächliche Feldbedingungen nachahmen, dann müssen diese Faktoren berücksichtigt werden.

a} Homogene Bodenmasse und stationäre Wctsserströmung

Nehmen wir an, es sei am Netzwerk ein wassergesättigter Boden mit homogener Durchlässigkeit wiederzugeben. Vom Boden selbst, das heißt von seiner porösen Masse, wird nichts anderes nachgeahmt als die Durchlässigkeit. Für diese wählen wir am Netz- werk einen Basiswiderstand Re, der in unserer Arbeit 5000 Ohm betrug. Je nach dem Abbildungsmaßstab können 5000 Ohm im Prinzip für ganz verschiedene Bodenstrecken verwendet werden. Ist aber eine Strecke gewählt, so muß im selben Problem jede andere Länge mit einem zu dieser Grundstrecke proportionalen Widerstand simuliert werden.

Da der Boden homogen durchlässig ist, sind alle im Innern des Netzwerkes vorhandenen Widerstände gleich groß. Die Anordnung der Widerstände ist quadratförmig, sie bilden die Seiten von Maschen des Netzwerkes. In Figur 4 ist die prinzipielle Anordnung dieser konstanten Widerstände Re dargestellt. Jeder Widerstand simuliert je½ der Fläche von zwei anstoßenden Quadraten. Das gilt sowohl für die horizontal wie für die vertikal ge- steckten Widerstände. Wir simulieren mit dieser Maschenform eine Wasserströmung im Boden, die in zwei senkrecht zueinander stehenden Richtungen verläuft.

Damit die Widerstände leicht auswechselbar sind, werden sie als Stecker hergestellt.

Jeder Knotenpunkt im Netzwerk muß deshalb vier Buchsen haben, die unter sich durch ein gelochtes Blech kurzgeschlossen sind (Figur 15).

b) Undurchlässige Bodenschicht

Wie im vorausgehenden Abschnitt erwähnt worden ist, wird eine homogene Boden- masse im elektrischen Widerstandsnetzwerk durch eine Summe von endlichen, gleich großen Fixwiderständen nachgebildet. Die Bodenmasse ist nach jeder Richtung gleich durchlässig. Nehmen wir nun an, es grenze an die homogene Bodenschicht eine undurch-

Figur 4

Wiedergabe einer porösen, homogenen Bodenmasse durch Fixwiderstände als Seiten von quadrati- schen Maschen des elektrischen Widerstandsnetzwerkes.

1/z F

- -,/,,/Wv'l'M/WvVr-7 ~-,/,,/Wv'l'MIWv'l'M/Mlv--- t ~

1 1 1 1

- - - - --< R ____,1

1/2F c 1/zF

I

1 1 1 1

1-2-3-4}Quadratische Maschen des elektrischen 4-3-5-6 Widerstandsnetzwerkes mit Widerstand Re

Re= 5000 Q.

Knotenintervall

1/z F = Halbe Maschenfläche

lässige Zone. Wie wird diese undurchlässige Schicht, die sich am Rande einer homogenen Bodenmasse befindet, wiedergegeben? Wir können annehmen, daß im Boden, zum Bei- spiel zwischen A und Ein Figur 5 der Strom durch die rechteckige Fläche mit horizonta- ler Schraffur fließe. Dieser Teil des Bodenquerschnittes wird durch den Fixwiderstand AE nachgebildet. Analog nehmen wir an, daß wischen Bund F der Strom durch die recht- eckige Fläche mit vertikaler Schraffur fließe. Jetzt betrachten wir den Stromfluß zwi- schen C und D, wobei CD ein Teilstück der undurchlässigen Schicht darstellt. Der Strom fließt durch die Fläche mit horizontaler Schraffur. Vergleichen wir die Strömung zwi-

Figur 5

Wiedergabe einer wasscrundurchlässigen Schicht im elektrischen Widerstandsnetzwerk.

Knotenpunkte im

elektrischen Widerstandsnetzwerk

/ \

^...

^~

e

: F

1

1111

II

II

1

~ - - -

½F ½F .---

11111 1111

: ^½F

11 ...

B A E

1/z F

---

_____________ ^_.

f

^1/zF

C R µ ^{D und} ur ^{eh ··} lass1ge Schicht ^· _ _ J

"'

1/) 1/) 111

E

C:

"'

-0 0

<D

sehen C und Dan der undurchlässigen Schicht mit der zwischen A und E im Innern des homogenen Bodens, dann beobachtet man, daß der mittlere Strömungsquerschnitt zwi- schen C und D nur halb so groß ist wie zwischen A und E. Wenn die Querschnittfläche aber nur halb so groß ist, dann muß der Widerstand zwischen C und D doppelt so groß sein wie der zwischen A und E. Der Widerstand ist umgekehrt proportional der Strö- mungsquerschnittsfläche.

Eine undurchlässige Schicht wird im elektrischen Widerstandsnetzwerk durch dop- pelt so große Widerstände (R,u) markiert als jene im Innern der homogenen Boden- masse.

(13)

Figur 6

Wiedergabe einer Grenzfläche zwischen zwei Bodenhorizonten mit verschiedener Wasserdurchlässig- keit k1 und k2.

Grenzfläche zwischen k1 und k2

R1

k1

---~

Grenz- - - - 4~ -,NVIIWI/WJNV\NV\iiiiii~ .... - -fläche

A

, :-.:::.:::===== R =====I B

R2

c) Grenzflächen zwischen zwei Horizonten mit verschiedener Durchlässigkeit

Es kommt sehr oft vor, daß der Raum zwischen Bodenoberfläche und undurchläs- siger Schicht in Horizonte mit verschiedener Durchlässigkeit unterteilt werden muß.

Zwischen zwei derartig aneinanderstoßenden Zonen entsteht eine Grenzfläche, von der man annimmt, daß ihre Durchlässigkeit gleich sei dem Mittel der Durchlässigkeiten aus den Schichten beidseits der Grenzfläche. Es sei die Durchlässigkeit in einem Hori- zont k1 und im benachbarten k2• In Figur 6 ist die Durchlässigkeit k in der Grenzfläche zwischen den Punkten A und B angenähert

Nun sei R1 der Netzwerkwiderstand im Horizont mit der Durchlässigkeit k1 und R2 jener im Horizont mit der Durchlässigkeit k2 • Der Widerstand an der Grenzfläche im

oberen Strömungsrechteck beträgt dann 2R1 und im unteren 2R2• Der Gesamtwider- stand R in der Grenzfläche zwischen A und B wird also aus zwei parallel geschalteten Widerständen 2R1 und 2R2 berechnet, was mit folgender Beziehung möglich ist:

_l_ = _ l_

+

^{_ l_}

R 2R1 2R2

R = (14)

Die maßstäbliche Abbildung einer Grenzfläche ist normalerweise genau genug, wenn man ihre Lage mit der nächstliegenden Knotenpunktlinie des Netzwerkes zusammen- fallen läßt. Ist eine größere Genauigkeit erforderlich, dann kann dieser ohne weiteres entsprochen werden. Die dazu notwendigen Vorkehren am Netzwerk hat Lu t hin 1953 (speziell Seite 265) entwickelt.

d) Wasseraustritt aus einer Sickerfläche (Oberflächensickerung)

Oberflächensickerungen sind Wasseraustritte aus dem Boden, wobei das ausflie- ßende Wasser im Kontakt mit der Atmosphäre steht. Solche Sickerflächen kommen längs Wandungen von Entwässerungsgräben, am Umfang von Drainrohrkanälen und in tieferen Schichten von Erddämmen vor. Allgemein nimmt man an, daß der Wasser- druck über der Sickerfläche gleich dem Atmosphärendruck sei. Nun ist die hydrauli- sche Höhe an irgendeinem Ort im wasserhaltigen Boden gleich der Summe aus Druck- höhe und geodätischer Höhe (Richard 1963). An einer Sickerfläche des Bo- dens, wo das Wasser in Luftkontakt ist, beträgt die Druckhöhe= 0 cm. An irgend- einem Punkt auf der Sickeroberfläche ist die hydraulische Höhe dann gleich der geo- dätischen Höhe, das heißt, sie ist gleich dem senkrechten Abstand vom Orte auf der Sickerfläche zum Bezugshorizont. Die geodätische Höhe von Punkten der Sickerfläche ist deshalb eine lineare Funktion der erwähnten Entfernung.

In elektrischen Analogrechnungen, die auf dem Elektrolytprinzip beruhen, wird die Sickerfläche durch einen gut leitenden Draht simuliert. Längs diesem Draht ist der Spannungsabfall eine lineare Funktion der Drahtlänge. Diese Abhängigkeit ist analog der oben erwähnten Feststellung, daß die hydraulische Höhe von Punkten längs der Sickeroberfläche gleich der geodätischen Höhe ist.

Eine ähnliche Anordnung wird am elektrischen Widerstandsnetzwerk getroffen.

Präzisionsfestwiderstände mit kleiner Ohmzahl werden an jenen Stellen des Netzwer- kes eingesteckt, die eine Sickerfläche zu repräsentieren haben. Der Widerstand muß an diesen Stellen so niedrig sein, daß der größte Teil des Stromes durch diesen «Sicker- widerstand» und nicht durch das Innere des Netzwerkes fließt. Figur 7 diene zur Er- läuterung. Einen Anhaltspunkt für die Größe dieses Widerstandes erhält man am Netz- werk selber, wenn in der Sickerfläche zwischen zwei Knotenpunkten der «Netzwerk- widerstand» RN gemessen wird, was möglich ist, wenn der Sickerflächenwiderstand Rs noch nicht eingesteckt ist. Der Widerstand RN wird durch das ganze Netzwerk ver-