Datenstruktur Horizontb¨ aume

Offline Bewegungsplanung: Horizontb¨ aume

Elmar Langetepe University of Bonn

Datenstruktur Horizontb¨ aume

5 5 4 3 2 1

S

Oberer Horizontbaum

S

Unterer Horizontbaum

1 2

3 4

Datenstruktur Horizontb¨ aume

• F¨ur Pseudogerade mit Ordnung

5 5 4 3 2 1

S

Oberer Horizontbaum

S

Unterer Horizontbaum

1 2

3 4

Datenstruktur Horizontb¨ aume

• F¨ur Pseudogerade mit Ordnung

• Oberer und Unterer Horizontbaum gegeben

5 5 4 3 2 1

S

Oberer Horizontbaum

S

Unterer Horizontbaum

1 2

3 4

Datenstruktur Horizontb¨ aume

• F¨ur Pseudogerade mit Ordnung

• Oberer und Unterer Horizontbaum gegeben

• Hebe ¨uber n¨achsten erlaubten SP

5 5 4 3 2 1

S

Oberer Horizontbaum

S

Unterer Horizontbaum

1 2

3 4

Datenstruktur Horizontb¨ aume

• F¨ur Pseudogerade mit Ordnung

• Oberer und Unterer Horizontbaum gegeben

• Hebe ¨uber n¨achsten erlaubten SP

• Aktualisiere die B¨aume

5 5 4 3 2 1

S

Oberer Horizontbaum

S

Unterer Horizontbaum

1 2

3 4

Kosten Aktualisierung T

(T

)

Kosten Aktualisierung T

(T

)

1. N¨achster Knoten v!

g₂ g₁

v

g₃

Kosten Aktualisierung T

(T

)

1. N¨achster Knoten v! 2. Dr¨uberheben

S

g₂ g₁

v

g₃

Bleibt!

Schnittpunkt!

Neu!

Kosten Aktualisierung T

(T

)

1. N¨achster Knoten v! 2. Dr¨uberheben

3. Schnittpunkt mit Kette darunter bestimmen

S

g₂ g₁

v

g₃

Bleibt!

Schnittpunkt!

Neu!

Durchlaufen!

Kosten Aktualisierung T

(T

)

1. N¨achster Knoten v! 2. Dr¨uberheben

3. Schnittpunkt mit Kette darunter bestimmen 4. Einmal Kanten einer Zelle durchlaufen

S

g₂ g₁

v

g₃

Bleibt!

Schnittpunkt!

Neu!

Durchlaufen!

Kosten Aktualisierung T

(T

)

1. N¨achster Knoten v! 2. Dr¨uberheben

3. Schnittpunkt mit Kette darunter bestimmen 4. Einmal Kanten einer Zelle durchlaufen

5. Nicht alle auf dem Rand!

S

g₂ g₁

v

g₃

Bleibt!

Schnittpunkt!

Neu!

Durchlaufen!

g_l

Zelle Z

Kosten Aktualisierung T

(T

)

1. N¨achster Knoten v! 2. Dr¨uberheben

3. Schnittpunkt mit Kette darunter bestimmen 4. Einmal Kanten einer Zelle durchlaufen

5. Nicht alle auf dem Rand!

S

g₂ g₁

v

g₃

Bleibt!

Schnittpunkt!

Neu!

Durchlaufen!

g_l

Zelle Z

Gesamtkosten: Aktualisierung T

(T

)

Gesamtkosten: Aktualisierung T

(T

)

1. Geschickte Zuordnung

g1

x w v v

S

gk g3

g2 Schnittpunkt!

Neu!

Bleibt!

S1

Gesamtkosten: Aktualisierung T

(T

)

1. Geschickte Zuordnung

2. Gesamtz¨ahlweise: Pro Knoten alle Kanten einer Zelle

g1

x w v v

S

gk g3

g2 Schnittpunkt!

Neu!

Bleibt!

S1

Gesamtkosten: Aktualisierung T

(T

)

1. Geschickte Zuordnung

2. Gesamtz¨ahlweise: Pro Knoten alle Kanten einer Zelle 3. P

Zelle ^Z(Kanten Z) × (Knoten Z)

g1

x w v v

S

gk g3

g2 Schnittpunkt!

Neu!

Bleibt!

S1 1x v

1x v

Gesamtkosten: Aktualisierung T

(T

)

1. Geschickte Zuordnung

2. Gesamtz¨ahlweise: Pro Knoten alle Kanten einer Zelle 3. P

Zelle ^Z(Kanten Z) × (Knoten Z)

g1

x w v v

S

gk g3

g2 Schnittpunkt!

Neu!

Bleibt!

1x v 1x v

S2

Gesamtkosten: Aktualisierung T

(T

)

1. Geschickte Zuordnung

2. Gesamtz¨ahlweise: Pro Knoten alle Kanten einer Zelle 3. P

Zelle ^Z(Kanten Z) × (Knoten Z)

g1

x w v v

S

gk g3

g2 Schnittpunkt!

Neu!

Bleibt!

1x v 1x v

S2

Gesamtkosten: Aktualisierung T

(T

)

1. Geschickte Zuordnung

2. Gesamtz¨ahlweise: Pro Knoten alle Kanten einer Zelle 3. P

Zelle ^Z(Kanten Z) × (Knoten Z)

g1

x w v v

S

gk g3

g2 Schnittpunkt!

Neu!

Bleibt!

1x v 1x v

S2

1x w

Gesamtkosten: Aktualisierung T

(T

)

1. Geschickte Zuordnung

2. Gesamtz¨ahlweise: Pro Knoten alle Kanten einer Zelle 3. P

Zelle ^Z(Kanten Z) × (Knoten Z)

g1

x w v v

S

gk g3

g2 Schnittpunkt!

Neu!

Bleibt!

1x v 1x v

1x w

S3

Gesamtkosten: Aktualisierung T

(T

)

1. Geschickte Zuordnung

2. Gesamtz¨ahlweise: Pro Knoten alle Kanten einer Zelle 3. P

Zelle ^Z(Kanten Z) × (Knoten Z)

g1

x w v v

S

gk g3

g2 Schnittpunkt!

Neu!

Bleibt!

1x v 1x v

1x w

S3

Gesamtkosten: Aktualisierung T

(T

)

1. Geschickte Zuordnung

2. Gesamtz¨ahlweise: Pro Knoten alle Kanten einer Zelle 3. P

Zelle ^Z(Kanten Z) × (Knoten Z)

g1

x w v v

S

gk g3

g2 Schnittpunkt!

Neu!

Bleibt!

1x v 1x v

1x w

1x x S3

Gesamtkosten: Aktualisierung T

(T

)

1. Geschickte Zuordnung

2. Gesamtz¨ahlweise: Pro Knoten alle Kanten einer Zelle 3. P

Zelle ^Z(Kanten Z) × (Knoten Z)

g1

x w v v

S

gk g3

g2 Schnittpunkt!

Neu!

Bleibt!

1x v 1x v

1x w

1x x S3

1x x

Gesamtkosten: Aktualisierung T

(T

)

1. Geschickte Zuordnung

2. Gesamtz¨ahlweise: Pro Knoten alle Kanten einer Zelle 3. P

Zelle ^Z(Kanten Z) × (Knoten Z)

g1

x w v v

S

gk g3

g2 Schnittpunkt!

Neu!

Bleibt!

1x v 1x v

1x w

1x x S3

1x x

Andere Z¨ ahlweise, bessere Zuordnung!

X Zelle ^Z

(Kanten Z) × (Knoten Z) ≤

2 X

Gerade ^g





X

g schneidet ^Z

(Kanten Z)





g

Komplexit¨ at Zone einer Geraden g

g

Komplexit¨ at Zone einer Geraden g





X

g schneidet ^Z

(Kanten Z)





g

Komplexit¨ at Zone einer Geraden g





X

g schneidet ^Z

(Kanten Z)





n-mal diese Kosten, jede Gerade

g

Zone(l) in O(n)

Zone(l) in O(n)

• n nicht-senkrechte Geraden, Horizontale l

Zone(l) in O(n)

• n nicht-senkrechte Geraden, Horizontale l

• Def. 1.3: Zone(l) := {Kanten der Zelle Z|Z ∩ l 6= ∅}

Zone(l) in O(n)

• n nicht-senkrechte Geraden, Horizontale l

• Def. 1.3: Zone(l) := {Kanten der Zelle Z|Z ∩ l 6= ∅}

• Theorem 1.4: Komplexit¨at von Zone(l) liegt in O(n)

Zone(l) in O(n)

• n nicht-senkrechte Geraden, Horizontale l

• Def. 1.3: Zone(l) := {Kanten der Zelle Z|Z ∩ l 6= ∅}

• Theorem 1.4: Komplexit¨at von Zone(l) liegt in O(n)

1 l

2 3 4

5 6

7 8

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

l

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Linke Kanten einer Zelle! l

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Linke Kanten einer Zelle! l

l Ind. Anf.

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Linke Kanten einer Zelle! l

l Ind. Anf.

<= 5 x (1) Linke Kanten

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Linke Kanten einer Zelle! l

l Ind. Anf.

<= 5 x (1) Linke Kanten

l Fall 1) Einfacher Schnitt

Ind. Schluss (neue Gerade ganz rechts)

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Linke Kanten einer Zelle! l

l Ind. Anf.

<= 5 x (1) Linke Kanten

l Fall 1) Einfacher Schnitt

Ind. Schluss (neue Gerade ganz rechts)

l neu (am weitesten rechts)

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Linke Kanten einer Zelle! l

l Ind. Anf.

<= 5 x (1) Linke Kanten

l Fall 1) Einfacher Schnitt

Ind. Schluss (neue Gerade ganz rechts)

l neu (am weitesten rechts)

w v

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Linke Kanten einer Zelle! l

l Ind. Anf.

<= 5 x (1) Linke Kanten

l Fall 1) Einfacher Schnitt

Ind. Schluss (neue Gerade ganz rechts)

l neu (am weitesten rechts)

w

v +1

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Linke Kanten einer Zelle! l

l Ind. Anf.

<= 5 x (1) Linke Kanten

l Fall 1) Einfacher Schnitt

Ind. Schluss (neue Gerade ganz rechts)

l neu (am weitesten rechts)

w

v +1

+1

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Linke Kanten einer Zelle! l

l Ind. Anf.

<= 5 x (1) Linke Kanten

l Fall 1) Einfacher Schnitt

Ind. Schluss (neue Gerade ganz rechts)

l neu (am weitesten rechts)

w

v +1

+1

+1

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Linke Kanten einer Zelle! l

l Ind. Anf.

<= 5 x (1) Linke Kanten

l Fall 1) Einfacher Schnitt

Ind. Schluss (neue Gerade ganz rechts)

l neu (am weitesten rechts)

w

v +1

+1

+1

<= 5 x (n-1) + 3 Linke Kanten

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Linke Kanten einer Zelle! l

l Ind. Anf.

<= 5 x (1) Linke Kanten

l Fall 1) Einfacher Schnitt

Ind. Schluss (neue Gerade ganz rechts)

l neu (am weitesten rechts)

w

v +1

+1

+1

<= 5 x (n-1) + 3 Linke Kanten

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Ind. Schluss (WC)

l Fall 2) Schnitt mit einer Kante

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Ind. Schluss (WC)

l Fall 2) Schnitt mit einer Kante

l neu (am weitesten rechts)

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Ind. Schluss (WC)

l Fall 2) Schnitt mit einer Kante

l neu (am weitesten rechts) v

w

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Ind. Schluss (WC)

l Fall 2) Schnitt mit einer Kante

l neu (am weitesten rechts) v

w

+1

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Ind. Schluss (WC)

l Fall 2) Schnitt mit einer Kante

l neu (am weitesten rechts) v

w

+1

+1

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Ind. Schluss (WC)

l Fall 2) Schnitt mit einer Kante

l neu (am weitesten rechts) v

w

+1

+1

+1

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Ind. Schluss (WC)

l Fall 2) Schnitt mit einer Kante

l neu (am weitesten rechts) v

w

+1

+1

+1 +2

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Ind. Schluss (WC)

l Fall 2) Schnitt mit einer Kante

l neu (am weitesten rechts) v

w

+1

+1

+1 +2

<= 5 x (n-1) + 5 Linke Kanten

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Ind. Schluss (WC)

l Fall 2) Schnitt mit einer Kante

l neu (am weitesten rechts) v

w

+1

+1

+1 +2

<= 5 x (n-1) + 5 Linke Kanten

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

l Fall 3) Schnitt mit mahr als einer Kante

Ind. Schluss (WC)

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

l Fall 3) Schnitt mit mahr als einer Kante

Ind. Schluss (WC)

l neu (am weitesten rechts)

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

l Fall 3) Schnitt mit mahr als einer Kante

Ind. Schluss (WC)

l neu (am weitesten rechts) v

w

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

l Fall 3) Schnitt mit mahr als einer Kante

Ind. Schluss (WC)

l neu (am weitesten rechts) v

w

+1

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

l Fall 3) Schnitt mit mahr als einer Kante

Ind. Schluss (WC)

l neu (am weitesten rechts) v

w

+1

+1

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

l Fall 3) Schnitt mit mahr als einer Kante

Ind. Schluss (WC)

l neu (am weitesten rechts) v

w

+1

+1

+2

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

l Fall 3) Schnitt mit mahr als einer Kante

Ind. Schluss (WC)

l neu (am weitesten rechts) v

w

+1

+1

+2

<= 5 x (n-1) + 4 Linke Kanten

Induktiv linke Kanten z¨ ahlen

l Fall 3) Schnitt mit mahr als einer Kante

Ind. Schluss (WC)

l neu (am weitesten rechts) v

w

+1

+1

+2

<= 5 x (n-1) + 4 Linke Kanten

Insgesamt nicht mehr als 5n linke Kanten!

Algorithmus Bearbeitungsreihenfolge

Algorithmus Bearbeitungsreihenfolge

• Init.: Nachbarliste, Kandidatenliste, Horizontb¨aume:

Algorithmus Bearbeitungsreihenfolge

• Init.: Nachbarliste, Kandidatenliste, Horizontb¨aume: O(n²)

Algorithmus Bearbeitungsreihenfolge

• Init.: Nachbarliste, Kandidatenliste, Horizontb¨aume: O(n²)

• Kandidaten ausw¨ahlen, Liste aktualisieren (Horizontbaum):

Algorithmus Bearbeitungsreihenfolge

• Init.: Nachbarliste, Kandidatenliste, Horizontb¨aume: O(n²)

• Kandidaten ausw¨ahlen, Liste aktualisieren (Horizontbaum): O(1)

Algorithmus Bearbeitungsreihenfolge

• Init.: Nachbarliste, Kandidatenliste, Horizontb¨aume: O(n²)

• Kandidaten ausw¨ahlen, Liste aktualisieren (Horizontbaum): O(1)

• Horizontb¨aume aktualisieren:

Algorithmus Bearbeitungsreihenfolge

• Init.: Nachbarliste, Kandidatenliste, Horizontb¨aume: O(n²)

• Kandidaten ausw¨ahlen, Liste aktualisieren (Horizontbaum): O(1)

• Horizontb¨aume aktualisieren: O(n²)

Algorithmus Bearbeitungsreihenfolge

• Init.: Nachbarliste, Kandidatenliste, Horizontb¨aume: O(n²)

• Kandidaten ausw¨ahlen, Liste aktualisieren (Horizontbaum): O(1)

• Horizontb¨aume aktualisieren: O(n²)

• Reihenfolge des ¨Uberschreitens: Bearbeitungsreihenfolge,

Algorithmus Bearbeitungsreihenfolge

• Init.: Nachbarliste, Kandidatenliste, Horizontb¨aume: O(n²)

• Kandidaten ausw¨ahlen, Liste aktualisieren (Horizontbaum): O(1)

• Horizontb¨aume aktualisieren: O(n²)

• Reihenfolge des ¨Uberschreitens: Bearbeitungsreihenfolge, O(n²)

Zusammenfassung Gesamtalgorithmus

• Horizontb¨aume aktualisieren: O(n²)

• Topol. Sweep: O(n²)

• Bearbeitungsreihenfolge: O(n²)

• Sweep Sichtbarkeitsgraph: O(n²)

• Theorem 1.5:: Sichtbarkeitsgraph von n Liniensegmenten in O(n²) berechenbar. Speicherbedarf O(n)

K¨ urzeste Pfade in gewichteten Graph (Dijkstra, 1959)

Gegeben: Graph G = (V, E) zusammenh¨angend, |V | = n, Kantengewichtung g : E −→ R^≥0, Knoten s, t ∈ V .

Gesucht: Kantenfolge von s nach t mit minimalem Gesamtgewicht.

Solange A 6= ∅:

• Entnehme A ein p mit minimalen d(p).

• W := W ∪ {p}.

• F¨ur alle direkten Nachbarn q von p in W ^C: – d(q) := min

n

d(q), d(p) + g(p, q) o – Wenn q /∈ A dann A := A ∪ {q}.

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W,

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W, Ausl¨aufer A

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W, Ausl¨aufer A

• Priority-Queue f¨ur A mit |A| ∈ O(n)

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W, Ausl¨aufer A

• Priority-Queue f¨ur A mit |A| ∈ O(n)

• DS f¨ur A:

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W, Ausl¨aufer A

• Priority-Queue f¨ur A mit |A| ∈ O(n)

• DS f¨ur A:

1. Entnahme Min: n − mal

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W, Ausl¨aufer A

• Priority-Queue f¨ur A mit |A| ∈ O(n)

• DS f¨ur A:

1. Entnahme Min: n − mal 2. Entferne Min: n − mal

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W, Ausl¨aufer A

• Priority-Queue f¨ur A mit |A| ∈ O(n)

• DS f¨ur A:

1. Entnahme Min: n − mal 2. Entferne Min: n − mal

3. Anpassen Schl¨ussel: m − mal

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W, Ausl¨aufer A

• Priority-Queue f¨ur A mit |A| ∈ O(n)

• DS f¨ur A:

1. Entnahme Min: n − mal 2. Entferne Min: n − mal

3. Anpassen Schl¨ussel: m − mal

• Beste Wahl: Fibbonacci Heaps

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W, Ausl¨aufer A

• Priority-Queue f¨ur A mit |A| ∈ O(n)

• DS f¨ur A:

1. Entnahme Min: n − mal 2. Entferne Min: n − mal

3. Anpassen Schl¨ussel: m − mal

• Beste Wahl: Fibbonacci Heaps

• 1) in O(1),

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W, Ausl¨aufer A

• Priority-Queue f¨ur A mit |A| ∈ O(n)

• DS f¨ur A:

1. Entnahme Min: n − mal 2. Entferne Min: n − mal

3. Anpassen Schl¨ussel: m − mal

• Beste Wahl: Fibbonacci Heaps

• 1) in O(1), 2) in O(log n),

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W, Ausl¨aufer A

• Priority-Queue f¨ur A mit |A| ∈ O(n)

• DS f¨ur A:

1. Entnahme Min: n − mal 2. Entferne Min: n − mal

3. Anpassen Schl¨ussel: m − mal

• Beste Wahl: Fibbonacci Heaps

• 1) in O(1), 2) in O(log n), 3) in O(1)

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W, Ausl¨aufer A

• Priority-Queue f¨ur A mit |A| ∈ O(n)

• DS f¨ur A:

1. Entnahme Min: n − mal 2. Entferne Min: n − mal

3. Anpassen Schl¨ussel: m − mal

• Beste Wahl: Fibbonacci Heaps

• 1) in O(1), 2) in O(log n), 3) in O(1)

• Laufzeit: O(n log n + m),

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W, Ausl¨aufer A

• Priority-Queue f¨ur A mit |A| ∈ O(n)

• DS f¨ur A:

1. Entnahme Min: n − mal 2. Entferne Min: n − mal

3. Anpassen Schl¨ussel: m − mal

• Beste Wahl: Fibbonacci Heaps

• 1) in O(1), 2) in O(log n), 3) in O(1)

• Laufzeit: O(n log n + m), Optimal?

Dijkstra auf (V, E ), |E | = m ∈ O(n

), |V | = n)

• Welle W, Ausl¨aufer A

• Priority-Queue f¨ur A mit |A| ∈ O(n)

• DS f¨ur A:

1. Entnahme Min: n − mal 2. Entferne Min: n − mal

3. Anpassen Schl¨ussel: m − mal

• Beste Wahl: Fibbonacci Heaps

• 1) in O(1), 2) in O(log n), 3) in O(1)

• Laufzeit: O(n log n + m), Optimal?

• Andere DS, z.B. Baum: O((n + m) log n), 3) in O(log n)

Ergebnis!!

Ergebnis!!

Theorem: K¨urzester Weg in polygonaler Szene P mit |P| = n von s nach t kann in Zeit O(n²) berechnet werden.

Ergebnis!!

Theorem: K¨urzester Weg in polygonaler Szene P mit |P| = n von s nach t kann in Zeit O(n²) berechnet werden.

Beweis:

Ergebnis!!

Theorem: K¨urzester Weg in polygonaler Szene P mit |P| = n von s nach t kann in Zeit O(n²) berechnet werden.

Beweis: Sichtbarbeitsgraph O(n²), Dijkstra: O(n log n + n²) ∈ O(n²)

Untere Schranke!

Untere Schranke!

• Sortieren reduzieren auf k¨urzesten Weg berechnen!

Untere Schranke!

• Sortieren reduzieren auf k¨urzesten Weg berechnen!

• x₁, x₂, . . . , x_n in O(n) auf polygonale Szene

Untere Schranke!

• Sortieren reduzieren auf k¨urzesten Weg berechnen!

• x₁, x₂, . . . , x_n in O(n) auf polygonale Szene

• Ω(n log n)

x3x2 x1 x5 x4

Untere Schranke!

• Sortieren reduzieren auf k¨urzesten Weg berechnen!

• x₁, x₂, . . . , x_n in O(n) auf polygonale Szene

• Ω(n log n)

x3x2 x1 x5 x4

(xi,√ xi)

Untere Schranke!

• Sortieren reduzieren auf k¨urzesten Weg berechnen!

• x₁, x₂, . . . , x_n in O(n) auf polygonale Szene

• Ω(n log n)

x3x2 x1 x5 x4

(xi,√ xi)

Untere Schranke!

• Sortieren reduzieren auf k¨urzesten Weg berechnen!

• x₁, x₂, . . . , x_n in O(n) auf polygonale Szene

• Ω(n log n)

x3x2 x1 x5 x4

(xi,√ xi)

s

Untere Schranke!

• Sortieren reduzieren auf k¨urzesten Weg berechnen!

• x₁, x₂, . . . , x_n in O(n) auf polygonale Szene

• Ω(n log n)

x3x2 x1 x5 x4

(xi,√ xi)

s t

Untere Schranke!

• Sortieren reduzieren auf k¨urzesten Weg berechnen!

• x₁, x₂, . . . , x_n in O(n) auf polygonale Szene

• Ω(n log n)

x3x2 x1 x5 x4

(xi,√ xi)

s t

L = (x3, x2, x1, x5, x4)

Untere Schranke!

• Sortieren reduzieren auf k¨urzesten Weg berechnen!

• x₁, x₂, . . . , x_n in O(n) auf polygonale Szene

• Ω(n log n)

x3x2 x1 x5 x4

(xi,√ xi)

s t

L = (x3, x2, x1, x5, x4)

Andere Ans¨ atze

Andere Ans¨ atze

1. Sichtbarkeitsgraph, output-sensitiv: O(n log n + k)

Andere Ans¨ atze

1. Sichtbarkeitsgraph, output-sensitiv: O(n log n + k) 2. Shortest Path Map Verfahren

Andere Ans¨ atze

1. Sichtbarkeitsgraph, output-sensitiv: O(n log n + k) 2. Shortest Path Map Verfahren

• Locus approach:

Andere Ans¨ atze

1. Sichtbarkeitsgraph, output-sensitiv: O(n log n + k) 2. Shortest Path Map Verfahren

• Locus approach: Klassen gleicher Antwort!

Andere Ans¨ atze

1. Sichtbarkeitsgraph, output-sensitiv: O(n log n + k) 2. Shortest Path Map Verfahren

• Locus approach: Klassen gleicher Antwort!

• Fester Startpunkt s

Andere Ans¨ atze

1. Sichtbarkeitsgraph, output-sensitiv: O(n log n + k) 2. Shortest Path Map Verfahren

• Locus approach: Klassen gleicher Antwort!

• Fester Startpunkt s

• Ebene einteilen: Zellen kombinatorisch gleich k¨urzeste Wege

Andere Ans¨ atze

1. Sichtbarkeitsgraph, output-sensitiv: O(n log n + k) 2. Shortest Path Map Verfahren

• Locus approach: Klassen gleicher Antwort!

• Fester Startpunkt s

• Ebene einteilen: Zellen kombinatorisch gleich k¨urzeste Wege

• Zelle ist Klasse mit gleicher Antwort

Shortest Path Map Theorem 1.9

Shortest Path Map Theorem 1.9

• Bisektoren: Hyperbelst¨ucke, Geraden

Shortest Path Map Theorem 1.9

• Bisektoren: Hyperbelst¨ucke, Geraden

• Berechnung: Continous Dijkstra,

Shortest Path Map Theorem 1.9

• Bisektoren: Hyperbelst¨ucke, Geraden

• Berechnung: Continous Dijkstra, Simultan wachsende Kreise

Shortest Path Map Theorem 1.9

• Bisektoren: Hyperbelst¨ucke, Geraden

• Berechnung: Continous Dijkstra, Simultan wachsende Kreise

• Laufzeit: Ber. O(n log n),

Shortest Path Map Theorem 1.9

• Bisektoren: Hyperbelst¨ucke, Geraden

• Berechnung: Continous Dijkstra, Simultan wachsende Kreise

• Laufzeit: Ber. O(n log n), Query O(log n)/O(log n + k)

Shortest Path Map Theorem 1.9

• Bisektoren: Hyperbelst¨ucke, Geraden

• Berechnung: Continous Dijkstra, Simultan wachsende Kreise

• Laufzeit: Ber. O(n log n), Query O(log n)/O(log n + k)

s

Shortest Path Map Theorem 1.9

• Bisektoren: Hyperbelst¨ucke, Geraden

• Berechnung: Continous Dijkstra, Simultan wachsende Kreise

• Laufzeit: Ber. O(n log n), Query O(log n)/O(log n + k)

s

Shortest Path Map Theorem 1.9

• Bisektoren: Hyperbelst¨ucke, Geraden

• Berechnung: Continous Dijkstra, Simultan wachsende Kreise

• Laufzeit: Ber. O(n log n), Query O(log n)/O(log n + k)

s t1

Shortest Path Map Theorem 1.9

• Bisektoren: Hyperbelst¨ucke, Geraden

• Berechnung: Continous Dijkstra, Simultan wachsende Kreise

• Laufzeit: Ber. O(n log n), Query O(log n)/O(log n + k)

s t2

Shortest Path Map Theorem 1.9

• Bisektoren: Hyperbelst¨ucke, Geraden

• Berechnung: Continous Dijkstra, Simultan wachsende Kreise

• Laufzeit: Ber. O(n log n), Query O(log n)/O(log n + k)

t3 s

Shortest Path Map Theorem 1.9

• Bisektoren: Hyperbelst¨ucke, Geraden

• Berechnung: Continous Dijkstra, Simultan wachsende Kreise

• Laufzeit: Ber. O(n log n), Query O(log n)/O(log n + k)

s

t4

Shortest Path Map Theorem 1.9

• Bisektoren: Hyperbelst¨ucke, Geraden

• Berechnung: Continous Dijkstra, Simultan wachsende Kreise

• Laufzeit: Ber. O(n log n), Query O(log n)/O(log n + k)

s

t5

Shortest Path in einfachen Polygonen

Shortest Path in einfachen Polygonen

• Einfaches Polygon P,

Shortest Path in einfachen Polygonen

• Einfaches Polygon P, DS: Seq. Knoten/Kanten, CCW-order

p[1]

p[2]

p[0]

Shortest Path in einfachen Polygonen

• Einfaches Polygon P, DS: Seq. Knoten/Kanten, CCW-order

• Start A

p[1]

p[2]

p[0] A

Shortest Path in einfachen Polygonen

• Einfaches Polygon P, DS: Seq. Knoten/Kanten, CCW-order

• Start A und Ziel B

p[1]

p[2]

p[0] A

B

Shortest Path in einfachen Polygonen

• Einfaches Polygon P, DS: Seq. Knoten/Kanten, CCW-order

• Start A und Ziel B

• Berechne k¨urzesten Weg von A nach B innerhalb P

p[1]

p[2]

p[0] A

B

Shortest Path in einfachen Polygonen

• Einfaches Polygon P, DS: Seq. Knoten/Kanten, CCW-order

• Start A und Ziel B

• Berechne k¨urzesten Weg von A nach B innerhalb P

• Polygonale Kette mit Knoten aus P

p[1]

p[2]

p[0] A

B

Shortest Path in einfachen Polygonen

• Einfaches Polygon P, DS: Seq. Knoten/Kanten, CCW-order

• Start A und Ziel B

• Berechne k¨urzesten Weg von A nach B innerhalb P

• Polygonale Kette mit Knoten aus P/L¨ange des Pfades

p[1]

p[2]

p[0] A

B

Length: 42

Shortest Path in einfachen Polygonen

• Einfaches Polygon P, DS: Seq. Knoten/Kanten, CCW-order

• Start A und Ziel B

• Berechne k¨urzesten Weg von A nach B innerhalb P

• Polygonale Kette mit Knoten aus P/L¨ange des Pfades

• Algorithmus: Ω(n), |P| = n

p[1]

p[2]

p[0] A

B

Length: 42

Einfache, effiziente L¨ osung (Lee/Preparata)

Einfache, effiziente L¨ osung (Lee/Preparata)

A B

Einfache, effiziente L¨ osung (Lee/Preparata)

• Triangulation von P: Graph T, DS: DCEL, Adjacency list

A B

Einfache, effiziente L¨ osung (Lee/Preparata)

• Triangulation von P: Graph T, DS: DCEL, Adjacency list

• Dualer Graph: D(T) (Tree),

A B

Einfache, effiziente L¨ osung (Lee/Preparata)

• Triangulation von P: Graph T, DS: DCEL, Adjacency list

• Dualer Graph: D(T) (Tree), Depth First Search (DFS) on D(T)

A B

Einfache, effiziente L¨ osung (Lee/Preparata)

• Triangulation von P: Graph T, DS: DCEL, Adjacency list

• Dualer Graph: D(T) (Tree), Depth First Search (DFS) on D(T)

• Subpolygon P ⁰, Kette von Dreiecken/Diagonalen

A B

A B

Einfache, effiziente L¨ osung (Lee/Preparata)

• Triangulation von P: Graph T, DS: DCEL, Adjacency list

• Dualer Graph: D(T) (Tree), Depth First Search (DFS) on D(T)

• Subpolygon P ⁰, Kette von Dreiecken/Diagonalen

A B

Shortest Path in P

Shortest Path in P

A B

Shortest Path in P

• Kette von of Dreiecken/Diagonalen (Data structure)

A B

Shortest Path in P

• Kette von of Dreiecken/Diagonalen (Data structure)

• Induktiv: Shortest paths zu den Endpunkten der Diagonalen

A B

Shortest Path in P

• Kette von of Dreiecken/Diagonalen (Data structure)

• Induktiv: Shortest paths zu den Endpunkten der Diagonalen

• Ind. Anf,

r₁

l₁

d₁

A B

Shortest Path in P

• Kette von of Dreiecken/Diagonalen (Data structure)

• Induktiv: Shortest paths zu den Endpunkten der Diagonalen

• Ind. Anf, Ind. Schritt,

d₁₀ l₁₀

A B

Shortest Path in P

• Kette von of Dreiecken/Diagonalen (Data structure)

• Induktiv: Shortest paths zu den Endpunkten der Diagonalen

• Ind. Anf, Ind. Schritt,

d₁₁ l₁₁

r₁₁

A B

Shortest Path in P

• Kette von of Dreiecken/Diagonalen (Data structure)

• Induktiv: Shortest paths zu den Endpunkten der Diagonalen

• Ind. Anf, Ind. Schritt, Letzte Diagonale⇒ Ergebnis,

d₁₆

A B

Shortest Path in P

• Kette von of Dreiecken/Diagonalen (Data structure)

• Induktiv: Shortest paths zu den Endpunkten der Diagonalen

• Ind. Anf, Ind. Schritt, Letzte Diagonale⇒ Ergebnis, Laufzeit?

d₁₆

A B

Zusammenfassung: Alg. 1.4

Zusammenfassung: Alg. 1.4

• Triangulation von P:

Zusammenfassung: Alg. 1.4

• Triangulation von P: O(n) Zeit und Platz

Zusammenfassung: Alg. 1.4

• Triangulation von P: O(n) Zeit und Platz

• Dualer Graph der Triangulation:

Zusammenfassung: Alg. 1.4

• Triangulation von P: O(n) Zeit und Platz

• Dualer Graph der Triangulation: O(n) Zeit und Platz

Zusammenfassung: Alg. 1.4

• Triangulation von P: O(n) Zeit und Platz

• Dualer Graph der Triangulation: O(n) Zeit und Platz

• DFS auf Dualen Graphen:

Zusammenfassung: Alg. 1.4

• Triangulation von P: O(n) Zeit und Platz

• Dualer Graph der Triangulation: O(n) Zeit und Platz

• DFS auf Dualen Graphen: O(n) Zeit

Zusammenfassung: Alg. 1.4

• Triangulation von P: O(n) Zeit und Platz

• Dualer Graph der Triangulation: O(n) Zeit und Platz

• DFS auf Dualen Graphen: O(n) Zeit

• Berechne P⁰:

Zusammenfassung: Alg. 1.4

• Triangulation von P: O(n) Zeit und Platz

• Dualer Graph der Triangulation: O(n) Zeit und Platz

• DFS auf Dualen Graphen: O(n) Zeit

• Berechne P⁰: O(n) Zeit und Platz

Zusammenfassung: Alg. 1.4

• Triangulation von P: O(n) Zeit und Platz

• Dualer Graph der Triangulation: O(n) Zeit und Platz

• DFS auf Dualen Graphen: O(n) Zeit

• Berechne P⁰: O(n) Zeit und Platz

• Berechne Shortest Path zu End-Diagonale, induktiv:

Zusammenfassung: Alg. 1.4

• Triangulation von P: O(n) Zeit und Platz

• Dualer Graph der Triangulation: O(n) Zeit und Platz

• DFS auf Dualen Graphen: O(n) Zeit

• Berechne P⁰: O(n) Zeit und Platz

• Berechne Shortest Path zu End-Diagonale, induktiv: O(n)??

Zusammenfassung: Alg. 1.4

• Triangulation von P: O(n) Zeit und Platz

• Dualer Graph der Triangulation: O(n) Zeit und Platz

• DFS auf Dualen Graphen: O(n) Zeit

• Berechne P⁰: O(n) Zeit und Platz

• Berechne Shortest Path zu End-Diagonale, induktiv: O(n)??

• Shortest Path von A nach B innerhalb P in O(n) Zeit und Platz!

Zusammenfassung: Alg. 1.4

• Triangulation von P: O(n) Zeit und Platz

• Dualer Graph der Triangulation: O(n) Zeit und Platz

• DFS auf Dualen Graphen: O(n) Zeit

• Berechne P⁰: O(n) Zeit und Platz

• Berechne Shortest Path zu End-Diagonale, induktiv: O(n)??

• Shortest Path von A nach B innerhalb P in O(n) Zeit und Platz!

optimal!!

Zusammenfassung: Alg. 1.4

• Triangulation von P: O(n) Zeit und Platz

• Dualer Graph der Triangulation: O(n) Zeit und Platz

• DFS auf Dualen Graphen: O(n) Zeit

• Berechne P⁰: O(n) Zeit und Platz

• Berechne Shortest Path zu End-Diagonale, induktiv: O(n)??

• Shortest Path von A nach B innerhalb P in O(n) Zeit und Platz!

optimal!!

• Theorem 1.11

Verbleibt: Indukiver Schritt!

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest!

r[2]

l[4]

l[5]

r[4]

s

r[3]

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest! N¨achster Trichter!

r[1]

s

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Verbleibt: Indukiver Schritt!

• Trichter Situation! DS: Zwei Ketten/Shortest Path!

• N¨achste Diagonale! Tangententest! N¨achster Trichter!

• Insgesamt, nicht mehr O(n) Tests!!

r[1]

s

v_r

l[1]

d_i

A _l[3]

l[2]

d_i+1

Rand von P

Zusammenfassung: Lee/Preparata: Shortest Path innerhalb P

• Triangulation von P: O(n) Zeit und Platz

• Dualer Graph der Triangulation: O(n) Zeit und Platz

• DFS im Dualen Graphen: O(n) Zeit

• Berechnung P⁰: O(n) Zeit und Platz

• Berechnung Shortest Path f¨ur End-Diagonale, induktiv: O(n)

• Shortest Path von A nach B in P in O(n) Zeit und Platz

• Optimal f¨ur einzelne Anfrage!!

• Theorem 1.11