Mathematik selbstständig erarbeiten: Klasse 7

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3 Inhaltsverzeichnis

Vorwort ... 4

1. Zuordnungen ... 5

Umgang mit Zuordnungen – Werte ablesen ... 5

Graph einer proportionalen Zuordnung ... 6

Proportionale Zuordnungen erkennen ... 7

Mit proportionalen Zuordnungen rechnen ... 8

Preise vergleichen – Zweisatz ... 10

Dreisatz bei proportionalen Zuordnungen ... 11

Dreisatz bei antiproportionalen Zuordnungen 12

Proportional oder antiproportional? ... 14

2. Prozent- und Zinsrechnung ... 16

Prozente erkennen I ... 16

Prozente erkennen II ... 17

Prozente darstellen ... 18

Umwandeln von Brüchen in Prozent ... 19

Prozentwert berechnen ... 20

Grundwert berechnen ... 22

Prozentsatz berechnen ... 23

Sachaufgabe Prozentrechnung I ... 25

Sachaufgabe Prozentrechnung II ... 26

Diagramme ... 27

Kreisdiagramme zeichnen ... 28

Einfache Zinsrechnung I ... 30

Einfache Zinsrechnung II ... 31

3. Rationale Zahlen ... 33

Vergleichen von rationalen Zahlen ... 33

Rationale Zahlen im Koordinatensystem ... 34

Addition I ... 35

Addition II ... 37

Subtraktion I ... 38

Subtraktion II ... 39

Terme vereinfachen ... 40

Multiplikation bei verschiedenen Vorzeichen .. 42

Multiplikation bei gleichen Vorzeichen ... 43

Division ... 44

4. Terme und Gleichungen ... 46

Terme aufstellen ... 46

Terme aufstellen und berechnen ... 47

Lösen einfacher Gleichungen ... 48

Vereinfachen und Lösen von Gleichungen ... 49

Zahlenrätsel lösen ... 50

Gleichungen aufstellen und lösen ... 52

5. Winkel und Dreiecke ... 54

Winkel an einer Geradenkreuzung – Nebenwinkel ... 54

Winkel an einer Geradenkreuzung – Scheitelwinkel ... 55

Winkel an einer Geradenkreuzung – Stufenwinkel ... 56

Winkel an einer Geradenkreuzung – Wechselwinkel ... 57

Winkelsumme im Dreieck ... 58

Kongruenzsatz I ... 59

Kongruenzsatz II ... 61

Mittelsenkrechte ... 62

Winkelhalbierende ... 63

6. Wahrscheinlichkeitsrechnung ... 65

Relative Häufi gkeit ... 65

Wahrscheinlichkeit ... 66

Anwendung von relativer Häufi gkeit und Wahrscheinlichkeit ... 67

Zweistufi ge Zufallseperimente und Baumdiagramm ... 68

Pfadregel ... 70

Summenregel ... 71

Anwendung von Pfad- und Summenregel ... 72

Gegenereignis bestimmen ... 73

Quellenverzeichnis ... 75

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A. Cakar / S. Schwarzbach: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 7 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth

5Zuordnungen

UMGANGMIT ZUORDNUNGEN – WERTEABLESEN Wanderung der Familie Kunert Entfernung vom

Parkplatz in km

10:00 10:3011:00

11:3012:00 12:3013:00

13:3014:0014:3015:00 Uhrzeit 4

2 8 6 12 10

a) Wie viel km ist die Familie um 10.30 Uhr vom Parkplatz entfernt?

b) Um wie viel Uhr ist die Familie 8 km vom Parkplatz entfernt?

c) Begründe, warum es sich um eine Zuordnung handelt, und gib an, was einander zugeordnet wird.

UMGANGMIT ZUORDNUNGEN – WERTEABLESEN

Ist ein Wert aus dem Ausgangsbereich (x-Achse) vorgegeben, musst du den zugeordneten Punkt auf der y-Achse ablesen und umgekehrt.

Das Ablesen am Graphen funktioniert wie im Koordinatensystem:

Die einander zugeordneten Größen kannst du also wie die Koordinaten eines Punktes auffassen und ablesen.

Hier sind die entsprechenden Markierungen eingezeichnet, die dir bei der Lösung der Aufgaben a) und b) helfen:

Wanderung der Familie Kunert Entfernung vom

Parkplatz in km

10:00 10:3011:00

11:3012:00 12:3013:00

13:3014:0014:3015:00 Uhrzeit 4

2 8 6 12 10

Zu c): Ein Beispiel soll dir helfen, zu erklären, was eine Zuordnung ist:

Zuordnung Uhrzeit  Temperatur 10 Uhr  23 °C 12 Uhr  24 °C 14 Uhr  26 °C 16 Uhr  23 °C

Jeder Uhrzeit kann nur genau ein Temperaturwert zugeordnet werden – um 12 Uhr kann es ja nicht 24 °C und gleichzeitig 25 °C warm sein.

Notiere in einem allgemeinen Satz, was man unter einer Zuordnung versteht.

1

2 3

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6

Zuordnungen

a) Um 10.30 Uhr ist die Familie 2 km vom Parkplatz entfernt.

b) Um 12.30 Uhr und um 14.30 Uhr ist die Familie 8 km entfernt.

c) Es handelt sich um eine Zuordnung, da jeder Uhrzeit genau eine Entfernung vom Parkplatz zugeordnet ist.

Die Zuordnung heißt:

Uhrzeit  Entfernung

Bei einer Zuordnung wird jedem Wert aus dem Ausgangsbereich genau ein Wert aus dem zugeordneten Bereich zugewiesen.

GRAPHEINERPROPORTIONALEN ZUORDNUNG

300 g Erdbeeren kosten 1,50 €. Die folgende Wertetabelle gibt dir die Preise für verschiedene Gewichte an:

Gewicht in g 0 100 200 300 400 500

Preis in € 0 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50

a) Zeichne den Graphen der Zuordnung.

b) Es handelt sich hierbei um eine proportionale Zuordnung.

Beschreibe, wie der Graph einer solchen Zuordnung aussieht.

Zu a): So zeichnet man einen Graphen:

Koordinatensystem zeichnen 앫

geeignete Einteilung für die Achsen überlegen 앫

alle bekannten Wertepaare (x, y) eintragen 앫

Punkte verbinden, wenn auch Zwischenwerte möglich sind 앫

Zu a): Als Hilfe ist ein Koordinatensystem mit geeigneter Achseneinteilung vorgegeben.

2,50

100 200 300 400 500 Gewicht in g x Preis in €

0,50 1,00 1,50 2,00 y

1 2

Trage die Werte- paare (x, y) ein.

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Prozent- und Zinsrechnung

PROZENTEERKENNEN I

Welcher Anteil der Fläche ist schwarz, grau und weiß gefärbt? Gib die Anteile jeweils auch in Prozent (%) an.

PROZENTEERKENNEN I

Was bedeuten Prozentangaben im Alltag?

100 % Baumwolle 30 % Fett i.Tr. 3,5 % Fett

PROZENTEERKENNEN I

Der Begriff Prozent kommt aus dem Lateinischen und bedeutet „von Hundert“.

35 % bedeutet beispielsweise, dass 35 von 100 Schülern gut in Mathe sind.

PROZENTEERKENNEN I

Prozente lassen sich als Hundertstelbrüche und Dezimalbrüche darstellen:

1 % = ₁₀₀¹ = 0,01 50 % = ₁₀₀⁵⁰ = ¹₂ = 0,5

7 % = ⁷

100 = 0,07 100 % = ¹⁰⁰ 100 = 1 1

2 3

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17Prozent- und Zinsrechnung

PROZENTEERKENNEN I

schwarz: ₁₀₀⁴⁰ = 40 % = ²₅

grau: ₁₀₀²³ = 23 %

weiß: ₁₀₀³⁷ = 37 %

PROZENTEERKENNEN II

Welcher Anteil der Fläche ist schwarz, grau und weiß gefärbt? Gib die Anteile jeweils auch in Prozent (%) an.

PROZENTEERKENNEN II

Ein Beispiel soll dir helfen. Betrachte die Kuchenbleche und ergänze die Werte.

20 Stücke 10 Stücke __ Stücke

Ⳏ 100 % Ⳏ ___ % Ⳏ ___ %

PROZENTEERKENNEN II

Wenn du nicht weiterkommst, überlege, wie viel Prozent 1 Kuchenstück ausmacht.

Es ist nur noch 1 von 20 Kuchenstücken übrig geblieben, also ₂₀¹.

1 20= ₁₀₀^?

1 2

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35Rationale Zahlen

RATIONALE ZAHLENIM KOORDINATENSYSTEM

So sieht die Erweiterung des Koordinatensystems aus:

4

3 2 1

–1 –2

1 –1 –2

–3 2 3 4 5

y

x A (3|4)

Die erste Koordinate gibt an, ob du nach rechts (+) oder links (–) gehen musst. Die zweite Koordinate gibt an, ob du nach oben (+) oder unten (–) gehen musst.

B(–3 | 4) heißt also: auf der x-Achse 3 nach links, auf der y-Achse 4 nach oben.

4 3 2 1

–1 –2

1 –1

–2

–3 2 3 4 5

y

x A

B

D

C

ADDITION I

Berechne (–12) + (+15) =

3 4

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38

Rationale Zahlen

ADDITION II

(–8) + (–5) = –8 – 5 = –13

–8 –5

0

SUBTRAKTION I

Berechne (+25) – (+32) =

SUBTRAKTION I

Diese Sachsituation zu unserer Aufgabe soll dir weiterhelfen:

Punktestand Silvana:

1. Runde: 25 P.

2. Runde:

Wie viele Punkte hat Silvana nach der zweiten Runde?

SUBTRAKTION I

32 Pluspunkte abziehen heißt also, dass ich 32 Minuspunkte zu meinen 25 Punkten hinzubekomme. Das bedeutet, dass du 32 Minuspunkte auf deine Liste bekommst.

1

Oh, für die zweite Runde bekomme ich jetzt 32 Plus- punkte abgezogen.

2

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52

Terme und Gleichungen

GLEICHUNGENAUFSTELLENUNDLÖSEN

Marie kauft beim Bäcker 1 Brot für 1,90 € und 5 Mufﬁ ns. Sie bezahlt insgesamt 6,40 €.

Wie viel kostet 1 Mufﬁ n?

Kannst du jetzt die Gleichung aufstellen?

+ 6,40 €

So kannst du dir die Gleichung besser vorstellen:

m m m m m 1,90 €

6,40 €

Die Gleichung lautet: 5m + 1,90 = 6,40.

Wenn du die Gleichung nicht direkt lösen kannst, dann berechne zuerst, wie viel 5 Mufﬁ ns zusammen kosten.

1

1,90 €

2 3

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53Terme und Gleichungen

5m + 1,90 = 6,40 | – 1,90 5m = 4,50 | : 5

m = 0,90

1 Mufﬁ n kostet 0,90 €.

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60

Winkel und Dreiecke

KONGRUENZSATZ I

Fertige eine Skizze an, damit du dir das Dreieck besser vorstellen kannst. Erinnere dich daran, nach welchem Prinzip die Seiten und die Winkel in einem Dreieck be- nannt werden.

C

A B

Vervollständige die Skizze und markiere, was gegeben ist.

KONGRUENZSATZ I

Hier siehst du die Skizze zu deiner Aufgabe. Überlege, mit welcher Größe du deine Konstruktion am besten beginnst.

C

␤

␥

A c

b a

B

␣

KONGRUENZSATZ I

Reihenfolge für die Konstruktion:

a) Zeichne Seite a.

b) Trage den Winkel ␤ an B ab.

KONGRUENZSATZ I

40°

85°

A B

C

1 2

3

␤

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73Wahrscheinlichkeitsrechnung

ANWENDUNGVON PFAD- UND SUMMENREGEL

Der angekreuzte Pfad ist günstig. Welcher noch? Kreuze alle günstigen Pfade an.

Du hast 3 günstige Ergebnisse.

Verwende die Pfadregel, um die Wahrscheinlichkeit für jedes günstige Ergebnis zu bestimmen (z. B. 2-mal Buch = 0,5 · 0,5).

Verwende anschließend die Summenregel, um die günstigen Ergebnisse zum ge- suchten Ereignis zusammenzufassen.

p (2-mal Buch oder 2-mal CD oder 2-mal Stift) = ...

0,5

0,5 0,2 0,3 0,5 0,2 0,3 0,5 0,2 0,3 0,2

0,3

p (2 gleiche Symbole) = 0,5 · 0,5 + 0,2 · 0,2 + 0,3 · 0,3 = 0,38 = 38 %

GEGENEREIGNISBESTIMMEN

Kai zieht aus einem Kartenspiel mit 32 Karten verdeckt eine Karte. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die gezogene Karte kein Bube ist.

3 4