Mathematik selbstständig erarbeiten: Klasse 8

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Inhaltsverzeichnis

Vorwort . . . 4

1. Terme, Gleichungen und Ungleichungen . . 5

Einfache Terme . . . 5

Terme mit Klammern . . . 6

Auflösen von Klammern . . . 7

Minuszeichen vor der Klammer . . . 8

Ausklammern . . . 9

Binomische Formeln (1. Binom) . . . 11

Binomische Formeln (2. und 3. Binom) . . . 12

Binomische Formeln anwenden . . . 13

Gleichungen mit Klammern . . . 15

Gleichungen mit Minusklammern und Binomen . . . 16

Ungleichungen . . . 17

Wie viel sind die Schüler gewandert? . . . 19

2. Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . 21

Einfache Zufallsversuche . . . 21

Absolute und relative Häufigkeit . . . 22

Säulendiagramm . . . 23

Zufallsversuch mit Würfeln (1) . . . 24

Zufallsversuch mit Würfeln (2) . . . 25

Mehrstufige Zufallsversuche (Ziehen mit Zurücklegen) . . . 27

Mehrstufige Zufallsversuche (Ziehen ohne Zurücklegen) . . . 29

3. Prozentrechnung . . . 31

Anteile in Prozent angeben . . . 31

Anteil, Prozent und grafische Darstellung zuordnen . . . 32

Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz . . . . 33

Den Prozentsatz mithilfe des Dreisatzes berechnen . . . 34

Den Prozentsatz mithilfe der Formel berechnen . . . 36

Den Grundwert mithilfe des Dreisatzes berechnen . . . 37

Den Grundwert mithilfe der Formel berechnen 38 Den Prozentwert mithilfe des Dreisatzes berechnen . . . 39

Den Prozentwert mithilfe der Formel berechnen . . . 41

Vermehrter Grundwert . . . 42

Verminderter Grundwert . . . 43

4. Zinsrechnung . . . 45

Grundbegriffe der Zinsrechnung . . . 45

Berechnung des Kapitals . . . 46

Berechnung des Zinssatzes . . . 47

Berechnung des Jahreszinses . . . 48

Berechnung des Zinssatzes mit Zeitfaktor . . . 49

Berechnung des Kapitals mit Zeitfaktor . . . 51

Berechnung der Verzinsungszeit . . . 52

5. Flächeninhalt und Rauminhalt . . . 54

Eigenschaften von Prismen . . . 54

Schrägbilder und Netze von Prismen . . . 55

Oberfläche und Volumen von Würfel und Quader . . . 56

Volumen von zusammengesetzten Körpern . . 57

Oberfläche von Prismen mit dreieckiger Grundfläche . . . 59

Volumen von Prismen mit dreieckiger Grund- fläche . . . 60

Mantelfläche und Oberfläche von Prismen mit Grundfläche eines Parallelogramms . . . 61

Volumen von Prismen mit Grundfläche eines Parallelogramms . . . 63

Mantelfläche und Oberfläche von Prismen mit Grundfläche eines Trapezes . . . 64

Volumen von Prismen mit Grundfläche eines Trapezes . . . 65

6. Lineare Funktionen . . . 67

Proportionale Zuordnungen (Wiederholung) . 67 Bestimmung des Achsenabschnitts . . . 68

Bestimmung der Steigung . . . 69

Funktionsgleichung y = mx + b . . . 70

Funktionen als Graphen darstellen . . . 72 Sonderfälle linearer Funktionen . . . 73

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Vorwort

Das Schönste, was entdeckendes Lernen im Unterricht bewirken kann, sind mathematische Aha-Erlebnisse. Das plötzliche Begreifen von etwas, was kurz vorher noch gedanklich undurchdringbar erschien, ruft in den Schülern¹ nicht nur Stolz auf die eigene Leistung hervor, sondern bildet darüber hinaus eine wichtige Grundlage für das Ver- trauen in den eigenen Verstand und in die eigene Urteilsfähigkeit.

„Die schönste Mathematik ist die selbst entdeckte“. – Diese Aussage von Prof. Dr. Henn (TU Dortmund) kann auch als Leitsatz für Autorin und Herausgeber der vorliegenden Veröffentlichung gelten. Wir möchten ihn gerne noch präzisieren durch „Die beim Schüler wirkungsvollste Mathematik ist die selbst entdeckte“, denn Inhalte, die den Schülern einfach nur „eingetrichtert“ wurden, haben eine kurze Halbwertzeit und sind schon sehr bald nicht mehr abrufbar. Der amerikanische Psychologe Burrhus Frederic Skinner schreibt dazu: „Bildung ist das, was überlebte, wenn das Gelernte vergessen wurde“. Auch im Hinblick auf einen kompetenzorientierten Mathematikunterricht und auf eine sinnvolle und gewinnbringende Lebensvorbereitung ist selbst entdeckendes Lernen unabdingbar, denn die Schüler entwickeln dabei selbst Strategien, erproben und verwerfen sie und suchen neue Lösungswege – Fähigkeiten, die in Alltag und Berufsleben gefordert sind.

Wie geht man als Mathematiklehrer jedoch damit um, wenn ein Schüler nicht weiß, wie er an ein neues Problem herangehen soll oder wenn seine Strategie so gar nicht zum Erfolg führen will? Jeder von uns kennt dies aus seiner tagtäglichen Arbeit. Wir haben im Unterricht hierzu sehr gute Erfahrungen mit dem sinnvollen Einsatz von Tippkarten gemacht.

Der Aufbau der Unterrichtshilfe ist klar und einfach:

Zu jeder Aufgabenkarte gibt es eine, zwei oder mehr Tippkarten, die gestaffelte Hinweise zur Lösung der Aufgaben geben. Sie bieten Differenzierungsmöglichkeiten sowohl auf der quantitativen Ebene als auch auf der Erschließungsebene (handelnd, bildlich oder symbolisch). Die Schüler wählen individuell aus, wie viele Tippkarten sie benötigen, um zur Lösung zu gelangen – jeder arbeitet dabei in seinem eigenen Tempo.

Zu jeder Aufgabe gibt es jeweils eine Lösungskarte zur Selbstkontrolle.

Das übersichtliche Layout der Karten garantiert ein optimales Zurechtfinden:

Aufgabenkarte

1 Tippkarte 1 2 Tippkarte 2 3 Tippkarte 3 usw.

Lösungskarte

Die Karten werden (idealerweise vergrößert) kopiert und ggf. laminiert; so können die Schüler ihre Lösung mit Folienstift darauf notieren. Die Tippkarten werden an einem fest vereinbarten Ort im Klassenzimmer abgelegt oder befinden sich in der Hand des Lehrers, der sie dann entsprechend einzeln ausgibt.

Folgende Hauptthemen mit allen wesentlichen Unterthemen der Klasse 8 werden abgedeckt:

▪ Terme, Gleichungen und Ungleichungen

▪ Wahrscheinlichkeitsrechnung

▪ Prozentrechnung

▪ Zinsrechnung

▪ Flächeninhalt und Rauminhalt

▪ Lineare Funktionen

Viel Erfolg beim Einsatz der Materialien wünschen Herausgeber und Autorin

1 Aufgrund der besseren Lesbarkeit ist in diesem Buch mit Schüler auch immer Schülerin gemeint, ebenso verhält es sich mit Lehrer

und Lehrerin etc.

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Lena Braun: Lerninhalte selbstständig erarbeiten Mathematik 8 © Auer Verlag – AAP Lehrerfachverlage GmbH, Donauwörth

Terme, Gleichungen und Ungleichungen

E

INFACHE

T

ERME Eine Ferienwohnung in Spanien kostet 45 € pro Tag. Hinzu kommt eine Gebühr von einmalig 25 € für die Reinigung am Ende des Aufenthalts. Berechne jeweils den Preis für einen Aufenthalt von 7, 10, 14 und 20 Tagen. Stelle eine Tabelle auf.

E

INFACHE

T

ERME Terme sind Rechenausdrücke, die aus Zahlen, Variablen, Klammern und Operationszeichen bestehen können. Wie muss der Term für die Berechnung des Aufenthalts lauten? Kreuze an: x¦25 + 45 x¦45 + 25 x + 45¦25 x + 25¦45

E

INFACHE

T

ERME Setzt man für die Variablen Zahlen ein, kann man den Wert des Terms berechnen. Ergänze die Tabelle: xx¦45 + 25 77¦45 + 25 = … 10 14 20

E

INFACHE

T

ERME x x¦45 + 25 7 7¦45 + 25 = 340 1010¦45 + 25 = 475 1414¦45 + 25 = 655 2020¦45 + 25 = 925 Ein Aufenthalt von 7 Tagen einschließlich der Endreinigung kostet 340 €, 10 Tage kosten 475 €, 14 Tage kosten 655 € und 20 Tage kosten 925 €.

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T

ERMEMIT

K

LAMMERN Der Term 2¦(15 + 3x + 2) besteht aus Zahlen, einer Variable, einer Klammer und Rechenoperationen. Was darfst du rechnen, was nicht? Vereinfache den Term und beachte auch die Reihenfolge.

T

ERMEMIT

K

LAMMERN Streiche Rechenanweisungen, die man hier nicht durchführen darf: Addiere 15 und 3x. Multipliziere 2 mit 15, um die Klammer aufzulösen. Multipliziere 2 mit 15 und 2 mit 3x, um die Klammer aufzulösen. Multipliziere 2 mit 3x, um die Klammer aufzulösen. Die 15 bleibt dabei unverändert. Zuerst rechnet man Punkt vor Strich und dann in der Klammer. Zuerst rechnet man in der Klammer und dann Punkt vor Strich. Addiere 15 und 2.

T

ERMEMIT

K

LAMMERN Im Folgenden siehst du die richtige Vereinfachung des Terms: 2¦(15 + 3x + 2) = 2¦(17 + 3x) = 34 + 6x Überprüfe damit, ob du auf der 1. Tippkarte die richtigen Aussagen stehen gelassen hast.

T

ERMEMIT

K

LAMMERN Ich vereinfache den Term, indem ich Zahlen mit Zahlen addiere und Variable mit Variablen addiere. Ich darf keine Zahlen und Variablen zusammenfassen. Jedoch darf ich Zahlen und Variablen multiplizieren. Zuerst rechne ich in der Klammer und dann Punkt vor Strich. Ich addiere 15 und 2. Dann multipliziere ich 2 mit 15 und 2 mit 3x, um die Klammer aufzulösen.

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A

UFLÖSENVON

K

LAMMERN Löse die Klammern auf und vereinfache den Term. ((x + 3)¦(y + 5))¦2 + (5 – 3)

A

UFLÖSENVON

K

LAMMERN In der Aufgabe sind viele Klammern enthalten. Um den Term zu vereinfachen, musst du diese auflösen. Überlege, welche Rechenregeln du dafür anwenden kannst. Kreuze an: Strichrechnung vor Punktrechnung Punktrechnung vor Strichrechnung Klammer vor Punktrechnung Punktrechnung vor Klammer

A

UFLÖSENVON

K

LAMMERN Wenn du die Kreuze auf der 1. Tippkarte richtig gesetzt hast, müsstest du folgende Regeln angekreuzt haben: Punktrechnung vor StrichrechnungKlammer vor Punktrechnung Kreise nun nach diesen Regeln die Zahlen und Variablen ein, die du zusammenfassen musst:

((x + 3) ¦ (y + 5)) ¦ 2 + (5 – 3)

A

UFLÖSENVON

K

LAMMERN

((x + 3) ¦ (y + 5)) ¦ 2 + (5 – 3)

ErgebnisErgebnis¦ 2 +

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G

LEICHUNGENMIT

M

INUSKLAMMERNUND

B

INOMEN Um die Gleichung zu lösen, musst du zuerst die Klammern auflösen. Achte besonders auf die Binome und auf das Minus vor der Klammer! Wende zuerst die entsprechende Binomische Formel an: – ( ) = – 3 – ( )

G

LEICHUNGENMIT

M

INUSKLAMMERNUND

B

INOMEN Nachdem du die Binome aufgelöst hast, kannst du die Klammern auflösen. In der Aufgabe „Minuszeichen vor der Klammer“ (S. 8 f.) siehst du, dass das Minus die Vorzeichen in der Klammer umdreht und man dann die Klammer weglässt. Folgendes Beispiel soll dir helfen: = – (5 – 3 + x) = – (5 + 3 – x

G

LEICHUNGENMIT

M

INUSKLAMMERNUND

B

INOMEN – (x + 8)2 = – 3 – (x + 5)2 • Erste Binomische Formel anwenden: – (x2 + 2 ¦ x ¦ 8 + 64) = – 3 – (x2 + 2 ¦ x ¦ 5 + 25 ) • Zusammenfassen: – (x2 + 16 ¦ x + 64) = – 3 – (x2 + 10 ¦ x + 25) • Klammer auflösen (Minus vor der Klammer beachten): – x2 – 16x – 64 = – 3 – x2 – 10x – 25 • Äquivalenzumformung: – x2 – 16x – 64 = – 28 – x2 – 10x + x2, + 10x, + 64 – 6x = 36 : (– 6) – 6 x = – 6

U

NGLEICHUNGEN Löse die Ungleichung: – 4 – 8d ≥ 20 Führe auch die Probe durch.

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U

NGLEICHUNGEN Eine Ungleichung hat im Gegensatz zu einer Gleichung kein Gleichheitszeichen, sondern ein Relationszeichen. Relationszeichen: > größer < kleiner ≥ größer gleich ≤ kleiner gleich Ein Relationszeichen kannst du beim Lösen der Ungleichung wie ein Gleichheitszei- chen behandeln.

U

NGLEICHUNGEN Die Lösung der Ungleichung besteht aus mehreren Zahlen.

– 4 – 8 d ≥ 20

??? Bei dieser Aufgabe musst du alle Zahlen suchen, die du für d einsetzen kannst, sodass der Term größer oder gleich 20 ist. Folgendes Beispiel soll dir helfen: 3x ≥ 12 : 3 3x ≥ 4 Lösung: alle Zahlen, die größer oder gleich 4 sind

U

NGLEICHUNGEN Löse die Gleichung nach d auf. Gehe dabei vor wie bei einer normalen Gleichung. Alle Regeln der Äquivalenzumformung darfst du auch bei Ungleichungen anwenden. Überprüfe dein Ergebnis, indem du drei Lösungen einsetzt. Was fällt dir auf?

U

NGLEICHUNGEN – 4 – 8d ≥ 20 – 4 – 8d ≥ 20 + 4 – 4 – 8d ≥ 24 : (– 8) – 4 – 8d ≥ – 3 Probe: – 4 – 8 ¦ – 3 ≥ 20 20 ≥ 20 ➔ wahre Aussage Probe: – 4 – 8 ¦ – 2 ≥ 20 12≥ 20 ➔ falsche Aussage Wie lautet nun die Lösung der Ungleichung?

2122 2324 Demnach wären die Lösungen der Ungleichung alle Zahlen, die größer sind als – 3, also – 2, – 1, 0, 1 usw. und die – 3. Regel: Teilt man durch negative Zahlen oder multipliziert mit ihnen, dreht sich das Relationszeichen um.