1 4.4 Spezielle Relativitätstheorie

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4.4 Spezielle Relativitätstheorie

L ich t v o n ein em en tf er n ten Ster n

Albert Einstein (1879-1955)

Hendrik A. Lorentz (1853-1928)

Henry Poincaré (1854-1912)

Ausgangspunkt: Experimente von Michelson und Morley Lichtgeschwindigkeit ist von der Relativgeschwindigkeit unabhängig und in allen Bezugssystemen gleich

Galilei-Transformation → Lorentz-Transformation mit dem Lorentz-Faktor g

 

 ^{t vx / c}

²



t z z

y y

vt x x



 

 

 



 

g g

t t

z z

y y

vt x x

 

 

 



 

 

²

¹

²

1 /

1 1 g 

 

 

c v

Für kleine Geschwindigkeiten geht die Lorentz-Transformation in die Galilei-Transformation über

t c x ct

x   '  

Konsequenzen der Lorentz-Transformation:

- Lichtgeschwindigkeit c als Grenzgeschwindigkeit - Gleichzeitigkeit hängt vom Bezugssystem ab - Lorentz-Kontraktion und Zeit-Dilatation - Transformation von Geschwindigkeiten - Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse - Masse-Energie-Äquivalenz

Relevanz der speziellen Relativitätstheorie?

z.B. zweite kosmische Geschwindigkeit 11,2 km/s

10 2

2

5

10 0 , 7 2 1

1 1 1

1

10 7 , km/s 3 300000

km/s 2 , 11













 









  g



nützlich: Taylor-Entwicklung einer Wurzel

sehr kleine Abweichung, aber manchmal trotzdem

relevant (z.B. GPS). Teilchen in Beschleunigern oder

in der kosmischen Strahlung bewegen sich mit v ≈ c,

ebenso weit entfernte Himmelsobjekte

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Minkowski-Diagramm

Abszisse = Ort in Lichtjahren Ordinate = Zeit in Jahren.

Ein Lichtstrahl entspricht einer 45-Grad-Linie Die Orte bewegter Objekte mit v<c werden durch steilere Linien dargestellt (sog. "Weltlinien")

Gleichzeitigkeit

Zwei Lichtblitze, die gleichzeitig von der Quelle Q ausgesandt werden, kommen an zwei gleich weit

entfernten Punkten A und B gleichzeitig an. Aus der Sicht eines bewegten Beobachters ist dies aber nicht

der Fall (rechts: B später als A)

Ereignisse, die im bewegten System gleichzeitig sind, können durch eine Linie verbunden werden, die zur Verbindungslinie der beiden roten Punkte parallel ist, so auch die x'-Achse, für die t'=0 gilt. Die t'-Achse, für die x'=0 gilt, ergibt sich aus der Weltline des Ursprungs des bewegten Koordinatensystems.

 ^{maximal 45}

⁰



tan  

c

 v

Längenkontraktion

Die Länge eines Stabes ist der gleichzeitig gemessene Abstand seiner Enden. OQ ist die Länge eines Stabes im ruhenden System, der darin ruht und im bewegten System verkürzt ist (OQ'). OP' ist die Länge eines gleich langen Stabes im bewegten System, der darin ruht und im ruhenden System verkürzt ist (OP). Diese Längenkontraktion muss symmetrisch sein:

2

1 '

' ' '

' OQ

OP OQ OQ f OP OP

OQ OQ

f OP













Lorentz-Kontraktion:

Längenkontraktion um Faktor

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Zeitdilatation

Zwei Uhren begegnen sich bei O und werden synchronisiert.

Eine bestimmte Zeit später sendet jede einen Lichtblitz aus.

Jeder Beobachter (der ruhende und der bewegte) empfängt den Lichtblitz des anderen um eine bestimmte Zeit später.

Das Verhältnis zwischen Aussenden des eigenen und Empfangen des anderen Lichtblitzes kann für beide nur gleich sein,

wenn die Zeit im bewegten System um einen Faktor g gedehnt ist (Zeit-Dilatation).

Beispiel: Myonen entstehen aufgrund der kosmischen Strahlung in der oberen Erdatmosphäre in ca. 20 km Höhe). Ihre Lebensdauer (nach der ein Anteil 1/e zerfallen ist) beträgt 2,2 ms.

m 660 s

10 2 , s 2 10 m 3 z.B.

6

8

 





















 























c s

e

_e

Selbst wenn die Myonen fast mit Lichtgeschwindigkeit fliegen, sind nach 20 km ca. 15 Zerfallszeiten vergangen, d.h. nur ein Anteil von 10 ^-13 sollte noch übrig sein.

Man beobachtet sie aber am Erdboden in großer Zahl. Im Ruhesystem der Erde ist

ihre Lebensdauer durch Zeitdilatation verlängert. Aus der Sicht der Myonen ist

die Flugstrecke Lorentz-kontrahiert.

Transformation von Geschwindigkeiten

   

 

 

2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

2

/ 1 1

' ' 1

' ' 1

1 ' '

/ ' '

; '

' ' '

' '

;

c v u

v u c

v c

v u c v

v u u

v c u

v v u u

c u v v

dt u dx c v v

dt u dx

c vx t t vt

x x

dt dt dt dx dt

u dx dt

u dx

x x x

x x

x x

x

x x

x

x x



 







 





 

 



  

 

 

  



 



 



  

 

 



 



















g

g g

g

g g

 ^{1 /}

²

 ^{; '}  ^{1 /}

²



' u v c

u u c

v u u u

x z z

x y

y

 

 

g ohne Rechnung: g

Relativistische Massenzunahme

Zwei identische Raketen starten von einer Startbasis in einem Inertialsystem mit entgegen gleichem Schub.

Der gemeinsame Schwerpunkt bleibt in Ruhe. Nach dem Beschleunigungsvorgang ist für Rakete 1 die Geschwindigkeit des gemeinsamen Schwerpunkts u, die Geschwindigkeit von Rakete 2 aber nicht 2u, sondern (vgl. Transformation von Geschwindigkeiten mit v = -u)

2 2 2

/ 1

2 c u u u

 

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Energie kinetische

e Ruheenergi

8 3 2

1

8 3 2

1 1

2 0 2

4 0 2

0 2

0 2

4 4 2 0

2 0 2 0

2 0































 



E

E c m c

v m v

m c

m c m E

c m v c

m v m

c v m m



kin

 Massen-Energie-Äquivalenz

Die Taylor-Entwicklung zeigt, dass die Massenzunahme einem Zuwachs an kinetischer Energie entspricht:

Relativistischer Impuls

Impuls = relativistische Masse ∙ Geschwindigkeit

2 2 4 2 0

2 2 2

2 2 4 0

2 2 0

2

2 2 2 0 2 2 2 0 4 2 0 2 2

4 2 2 0

2 0 2 0

1 1

1 damit und

1

c p c m E

c c v

v c m

c m v

c v m c v m c m c

v c E m

v m c v

v v m

m p





 



 



 

 







 





   

 g

"Relativistischer Energiesatz"