Ein- und Ausschaltvorgang an einer Induktivität
R L
A
U
0L 0
R
U U
U = +
( ) [ ( ) ]
dt LdI U
t I dt L U d
t I
R⋅ = 0 − ⋅ = 0 −
Differenzieren nach t ergibt folgende Differentialgleichung:
dt 0 dI L R dt
I d
2
2
+ =
Mit dem Lösungsansatz
( )
− τ
= t
exp I
t
I 0
für diese homogene Gleichung findet man für die Zeitkonstante τ
R
= L
τ
Als spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung
( )
dtLdI U
t I
R⋅ = 0 −
erhält man
R I = U0
Die allgemeine Lösung erhält man als Summe aus der Lösung der homogenen und inhomogenen Gleichung:
( ) R
U exp t
I t
I
0 +
0
− τ
=
Einschaltvorgang
Anfangsbedingung: I
(
t = 0)
= 0Mit der oberen Bedingung erhält man
R U0
0 =−
I und
( )
− τ
−
= t
exp R 1
t U
I 0
− τ
−
= t
exp 1
U UR 0
− τ
= t
exp U
U
L 0Beispiel:
Eine Spule mit N = 100 Windungen, d = 1cm und lS = 10 cm enthält einen Eisenkern mit µr = 1000. Diese Spule mit einem Widerstand von 1Ω werde mit einer Spannungsquelle von 5V verbunden..
Wir berechnen zunächst die Induktivität L mittels
l S L N
S 2 r 0
µ µ
=
zu L = 9,9 mH. Die Zeitkonstante ergibt sich damit mittels
R
= L τ
zu τ = 9,9 ms.
Einschaltvorgang an einer Induktivität ( L = 9,9 mH ; R = 1 Ohm )
0 1 2 3 4 5 6
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
t/s
I/A
0 1 2 3 4 5 6
U/V
Spulenstrom Spannungsabfall an L
Ausschaltvorgang
Anfangsbedingung:
( )
R 0 U
t
I = = 0
Mit Hilfe der homogenen Lösung (Spannung U0 abgeschaltet)
( )
− τ
= t
exp I
t
I 0
ergibt sich:
( )
− τ
= t
R exp t U
I 0
Die Spannung an L verhält sich folgendermaßen:
