Prof. Dr. Thomas Hoch
9. Aufgabenblatt zur Elektrodynamik
9.1 Lange Spule, Teil 1
In dieser Aufgabe geht es darum, das Magnetfeld einer langen geraden Spule mit N kreisför- migen Windungen zu berechnen. Die Wicklung bestehe aus leitendem Draht, der von einem Strom der Stärke I durchflossen wird (s. Abb. links). In der Abbildung rechts ist ein Quer- schnitt durch die Spule dargestellt. Die kleinen Kreise stellen die Stromrichtung nach oben bzw. unten dar. Die Länge der Spule seiL, der RadiusR. Außerdem seiL Rund L/N R.
B L
2R
Berechnen Sie mit Hilfe des Ampèreschen Gesetzes das Magnetfeld B in der Spule. Gehen Sie dazu von folgenden näherungsweise erfüllten Annahmen aus: Das Magnetfeld in der Spule zeigt in Richtung der Spulenachse. Seitlich neben der Spule ist das Magnetfeld0. Die Spule soll so viele Windungen haben, dass man davon ausgehen kann, dass der Strom gleichmäßig über die Länge der Spule verteilt ist. Hinweis: Verwenden Sie als Integrationsweg beim Ampèreschen Gesetz ein Rechteck wie das gepunktete in der Abbildung.
9.2 Lange Spule, Teil 2
In Teil 1 der Aufgabe haben wir das Magnetfeld in der Spule in Abhängigkeit vom Strom berechnet. Hier soll nun die Induktivität der Spule berechnet werden. Dazu kann man davon ausgehen, dass der Strom I von der Zeit abhängt und sich mit der Rate I˙ ändert. Dadurch ändert sich auch das Magnetfeld B in der Spule und damit auch der magnetische Fluss Φ. Nach dem Faradayschen Induktionsgesetz wird entlang des Randes einer Fläche eine SpannungU induziert:
U = Z
∂AE·dr =−1 c
d dt
Z
AB·da=−1 cΦ˙
Diese Spannung ergibt sich für einen Umlauf um den Rand. Läuft man mehrmals herum, so muss die Spannung entsprechend multipliziert werden. Dies ist gerade bei der Spule der Fall.
Der leitende Draht läuft N-mal um den Fluss herum.
Berechnen Sie in Abhängigkeit von I˙ die zeitlich Ableitung von Φ und hieraus die in der Spule induzierte Spannung. Daraus ergibt sich dann die Iduktivität. Überlegen Sie auch, was sich ändert, wenn in SI-Einheiten gerechnet wird.
16
9.3 Torusförmige Spule
Eine torusförmige Spule, wie links in der Abbildung dargestellt, hat gegenüber einer gera- den Spule den Vorteil, dass kein Magnetfeld nach außen tritt. Auch es möglich – eine enge Wicklung vorausgesetzt – das Magnetfeld im Inneren exakt zu berechnen.
z R1 R2
2r
B
Rechts in der Abbildung ist ein horizontaler Schnitt durch den Torus dargestellt. Daraus sind auch die Abmessungen zu entnehmen. Der Durchmesser der Wicklung und auch die Höhe des Torus ist danach2r =R2−R1. Die Anzahl der Wicklungen sei N und der Strom durch einen Draht I.
b) Berechnen Sie mit dem Ampèreschen Gesetz das Magnetfeld in der Spule und außerhalb der Spule. Aus Symmetriegründen zeigt das Magnetfeld immer ineφ-Richtung und sein Betrag hängt nur von Abstand ρ von der z-Achse ab.
a)Berechnen Sie den magnetischen Fluss durch die Spule. Hieraus können Sie wie in Aufgabe 9.2 die Induktivität der Torusspule berechnen.
17
