Martens: Übungen in der Betriebswirtschaftslehre, #08 Übung „Betriebliche Entscheidungslehre“

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Ng., 02.10.2005 wopsa.de Seite 1 / 4 Projekt: VWA

Thema: SS 2005

Empfänger:

Absender: Dittmar Nagel

Anlage-Datum: 22.07.2005 Status-Datum: 02.10.2005

Martens: Übungen in der Betriebswirtschaftslehre, #08 Übung „Betriebliche Entscheidungslehre“

18.07.2005

Angebot an einen Entscheidungsträger:

Wahl zwischen Lotterie L=(100;0,5;16)

und sicherem Ergebnis e_s=58

• Fall 1: Risikoaversion des ET

Æ Nutzenfunktion U(e)= e

Frage: Wie hoch ist der Präferenzwert für beide Alternativen?

Präferenzwert Lotterie =Φ(Lotterie)

∑

=

×

=

n

1 j

j ij) P e ( U

5 , 0

"

16 . "

E . d . B 5 , 0

"

100 "

s Ergebnisse des

Bewertung × + ×

=

5 , 0 16 5 , 0

100× + ×

= 2 5+

=

=7 Präferenzwert sicheres Ergebnis

= 58 6 ,

=7

Æ Das sichere Ergebnis hat mit 7,6 also für diesen Entscheidungsträger einen höheren Nutzen als die Lotterie mit 7!

Æ Der ET zieht bei gleichem Erwartungswert das sicherere Ergebnis der Lotterie vor.

Der Nutzen des Erwartungswerts ist größer als der Nutzenerwartungswert.

) (

Uµ >

∑

= n

1 j

j ij)*P e (

U (7,6 > 7)

• Das Sicherheitsäquivalent („SÄ“) ist dasjenige sichere Ergebnis, das der ET als zur Lotterie gleichwertig einschätzt.

Æ Der Nutzen des SÄ und der Nutzenerwartungswert einer Lotterie sind gleich.

) e (

U _SÄ =

∑

= n

1 j

j ij)*P e ( U

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Ng., 02.10.2005 wopsa.de Seite 2 / 4 U(100)=10

U(16)=4

A

B''

B'

_RP>0

µ= 58

100 16

e U(e)

4 10

D C

1. Strecke halbieren

=> C

2. führt weiter zum SÄ

=> D U(e) = SQR(e)

e[SÄ] = 49 U( )=U(58)=7,6µ

E(U(e[ij]))=7=U(e[SÄ])=U(49)

• Bestimmung des SÄ im Beispiel: der Nutzen des SÄ muß 7 sein, ergo gilt:

7 ) e ( U _SÄ =

7 e_SÄ =

49 e_SÄ=

Das SÄ eines risikoscheuen ET ist kleiner als der Erwartungswert der Lotterie eSÄ < µ (49 < 58 )

Bei Risikoscheu ist die Risikoprämie („RP“) positiv 0

RP ) e

(µ− _SÄ = > (58−49=9>0)

Grafische Darstellung

• Fall 2: Risikofreude des ET

Æ progressiv steigende Nutzenfunktion U(e)=e² (konvex gekrümmt) Frage: Wie hoch ist der Präferenzwert für beide Alternativen dann?

Präferenzwert Lotterie =Φ(Lotterie) 5 , 0 16 5 , 0

100²× + ²×

=

=5128 Präferenzwert sicheres Ergebnis

582

= µ2

=

=3364

Æ Die Lotterie hat mit 5128 also für diesen Entscheidungsträger einen höheren Nutzen als das sichere Ergebnis mit 3364!

Æ Das findet sich in der Realität sehr selten („Glücksspielermentalität“)!

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Ng., 02.10.2005 wopsa.de Seite 3 / 4 Æ ET zieht bei gleichem Erwartungswert die Lotterie dem sicheren Ergebnis vor.

Der Nutzen des Erwartungswerts ist kleiner als der Nutzenerwartungswert.

) (

Uµ <

∑

=

×

n

1 j

j ij) P e (

U (3364 < 5128)

• Bestimmung des SÄ im Beispiel: der Nutzen des SÄ muß 5128 sein, ergo gilt:

5128 e_SÄ²=

6 , 71 e_SÄ=

Typische Situationen für Risikofreude: das SÄ des risikofreudigen ET ist größer als der Erwartungswert der Lotterie

eSÄ > µ

Die Risikoprämie muß negativ sein.

0 e

RP=µ− _SÄ< (58−71,6=−13,6)

• Fall 3: Risikoneutralität des ET

Æ Nutzenfunktion ist Gerade U(e)=3+2e

Frage: Wie hoch ist der Präferenzwert für beide Alternativen?

Präferenzwert Lotterie =Φ(Lotterie) 5 , 0 35 5 , 0 203× + ×

=

=119 Präferenzwert sicheres Ergebnis

58 2 3+ ×

=

=119

Nach der γ-Regel (Erwartungswert-Regel) wird das Risiko nicht berücksichtigt und man kommt ohne Rechnen zum gleichen Ergebnis

) (

Uµ <

∑

=

×

n

1 j

j ij) P e ( U 0 e RP=µ− _SÄ=

• Typische Situationen für Risikoneutralität: RP = 0 und das SÄ des risikoneutralen ET ist gleich dem Erwartungswert der Lotterie

Übungsaufgabe

(ehem. Klausuraufgabe)

• Ein ET A handele nach der Risikofunktion RNF=U(e)= e Ein ET B handele nach

e ) 40 e ( U

RNF= =

Es werde beiden eine Lotterie angeboten, bei der mit jeweils gleicher Wahrscheinlichkeit Erlöse von 16 und 4 realisierbar seien.

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Ng., 02.10.2005 wopsa.de Seite 4 / 4

0,0 5,0 10,0 15,0 20,0 25,0 30,0 35,0 40,0 45,0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

e

U(e)

A B

• Aufgabe 1: Berechnung der Nutzenerwartungswerte der Lotterie für beide ET (4 Pkte.) ET A: NEW =0,5 16+0,5 4=3

ET B: NEW

4 540 , 16 0 540 ,

0 +

= 5 25 ,

1 +

= 25 ,

=6

• Aufgabe 2: Berechnung der SÄ der Lotterie für beide ET (4 Pkte.) ET A: e_SÄ =3

9 e_SÄ=

ET B: 6,25

e 40

SÄ

= 4 , 6 e_SÄ=

• Aufgabe 3: a) Berechnung der von beiden ET geforderten Risikoprämien (6 Pkte.) b) Bewertung der zugrundeliegenden Risikoeinstellung (isoliert)

c) Bewertung der zugrundeliegenden Risikoeinstellung im direkten Vergleich a) ET A: µ=SÄ+RP wobei: µ=0,5×16+0,5×4=10

SÄ RP=µ−

9 10 RP= −

1 RP= ET B: RP=10−6,4

6 , 3 RP=

b) ET A: ET ist risikoscheu, RP > 0

ET B: ET ist risikoscheu, RP > 0

c) Empfindlichkeit (Risikoscheu) von B ist größer, da RP größer ist