(c) keine Funktion, da nicht jedes Buch verfilmt wird

Vorkurs Mathematik im WiSe 2020/2021 (Variante A)

Dr. Regula Krapf Lösungen Übungsblatt 6

Aufgabe 1. Welche der folgenden Zuordnungen definieren Funktionen? Welche der Funktio- nen sind injektiv?

(a) Autor7→Buch (b) Buch7→Erstautor¹

(c) Buch7→erste Verfilmung (d) Film7→Drehbuch

Lösung.

(a) keine Funktion, da ein Autor auch mehrere Bücher verfassen kann.

(b) Funktion, da jedes Buch genau einen Erstautor besitzt; aber nicht injektiv, da mehrere Bü- cher denselben Erstautor haben können.

(c) keine Funktion, da nicht jedes Buch verfilmt wird.

(d) injektive Funktion; jeder Film besitzt genau ein Drehbuch, und zwei verschiedene Filme haben verschiedene Drehbücher.

Aufgabe 2. Geben Sie Beispiele für Funktionen vonRnachRan, die (a) injektiv, aber nicht surjektiv,

(b) surjektiv, aber nicht injektiv,

(c) bijektiv, aber ungleich der Identität (d.h. nicht die Funktionx7→x), (d) weder surjektiv noch injektiv sind.

Lösung. Es gibt viele richtige Lösungen, wir geben jeweils ein Beispiel an.

(a) f(x) =e^x

(b) f(x) =x(x+ 1)(x−1) =x³−x (surjektiv, da die Funktion fürx→ ∞gegen∞strebt und für x→ −∞gegen−∞, nicht injektiv, daf(0) =f(1))

(c) f(x) =x+ 1 (bzw. jede nicht-konstante Gerade) (d) f(x) =x², f(x) =|x|

Aufgabe 3. Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Injektivität, Surjektivität und Bi- jektkivität.

(a) f :N→N,n7→n+ 3 (b) g:Z→Z,n7→n+ 3

(c) h:R→R,x7→x²+x−56 (d) k:Z×N\ {0} →Q: (a, b)7→^a

b. Lösung.

(a) f ist injektiv: Seienn, m∈Nmitf(n) =f(m), alson+ 3 =m+ 3. Durch Subtrahieren von 3 auf beiden Seiten folgtn=m.

1bei mehreren Autoren derjenige, der an erster Stelle steht.

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f ist nicht surjektiv: Es gibt keinn∈Nmitn+ 3 =f(n) = 0.

(b) gist injektiv: wie (a).

gist surjektiv: Seim∈N. Wir setzenn=m−3. Dann giltg(n) = (m−3) + 3 =m.

Daginjektiv und surjektiv ist, istgauch bijektiv.

(c) hist nicht injektiv: Mit der pq-Formel erhält man die Nullstellen x₁ =−8 undx₂ = 7 vonh. Damit gilth(−8) = 0 =h(7), aber−8,7.

hist nicht surjektiv: kist eine Parabel mit Scheitelpunkt (−¹

2,−²²⁵

4 ) und somit gilth(x)≥

−²²⁵

4 für allex∈R. Insbesondere gibt es keinx∈Rmith(x) =−57.

(d) kist nicht injektiv: Es giltk(1,2) =¹₂=²₄=k(2,4), aber (1,2),(2,4).

kist surjektiv: folgt direkt aus der Definition vonQ.

Aufgabe 4. Seif :R→Reine Funktion. Überlegen Sie sich, wie man aus dem Funktionsgra- phen vonf den Funktionsgraphen vong◦f undf ◦g für

(a) g(x) =−x (b) g(x) =x−1

(c) g(x) = 2x (d) g(x) =|x|

zeichnet. Sie können sich dies an einem konkreten Beispiel, z.B. f(x) =e^x oderf(x) = sin(x) überlegen und danng◦f resp.f ◦g im Koordinatensystem skizzieren. Sie dürfen dazu auch mit Geogebra experimentieren (https://www.geogebra.org/classic).

Lösung.

(a) • g◦f: Spiegelung an derx-Achse

• f ◦g: Spiegelung an dery-Achse

(b) • g◦f: Verschiebung nach oben um 1 Einheit

• f ◦g: Verschiebung nach links um 1 Einheit (c) • g◦f: vertikale Streckung um den Faktor 2

• f ◦g: horizontale Streckung um den Faktor 2

(d) • g◦f: Spiegelung aller negativen Werte an derx-Achse

• f ◦g: Spiegelung der des Funktionsgraphen fürx≥0 an dery-Achse.

Teilaufgabe (a) lässt sich anhand folgendem Beispiel illustrieren (die anderen lassen sich ähn- lich erkennen, dafür eignet sich aber bspw.f(x) = sin(x) besser):

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Aufgabe 5. Bestimmen Sie einen maximalen DefinitionsbereichMund WertebereichN, sodass die Funktionf gegeben durch

f(x) =

√ 4−x² bijektiv ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion.

Lösung. Die Funktion ist nur definiert für 4−x²≥0⇐⇒x²≤4⇐⇒ −2≤x≤2. Da aberx7→x² nur fürx∈R^≥0(respx∈R^≤0) injektiv ist, wählen wirM={x∈R|0≤x≤2}= [0,2]. Es gilt für x∈M

0≤4−x²≤4⇐⇒0≤f(x)≤2.

Wir wählen alsoN =M. Es gilt füry∈N undx∈M f(x) =y⇐⇒

√

4−x²=y

⇐⇒4−x²=y²

⇐⇒4−y²=x²

⇐⇒

q

4−y²=x.

(Die Umformungen sind Äquivalenzumformungen, da x und y zwischen 0 und 2 liegen). Es gilt alsof⁻¹(y) =p

4−y²=f(y). Insbesondere giltf⁻¹=f.