Aufgabe 1 (schriftlich): homogen geladene Kugel Die Dichte ρ(~r) einer homogen geladenen Ku- gel mit Ladung Q und Radius R, deren Ku- gelmittelpunkt sich im Ursprung des Koordi- natensystem befindet, ist gegeben durch:

Physik II – Integrierter Kurs

Ubungsblatt Nr. 7, SoSe 13 ¨

Abgabe am 03.06.2013 in der Vorlesung Besprechung am 05.06.2013 in der ¨ Ubung Prof. L. Schmidt-Mende, Prof. M. Fuchs, Dr. D. Hinzke

Aufgabe 1 (schriftlich): homogen geladene Kugel Die Dichte ρ(~r) einer homogen geladenen Ku- gel mit Ladung Q und Radius R, deren Ku- gelmittelpunkt sich im Ursprung des Koordi- natensystem befindet, ist gegeben durch:

ρ(~r) =

ρ

f¨ur r ≤ R 0 sonst

R

r’

r

a) Berechnen Sie das elektrische Feld E(~r) mit Hilfe des Gaußschen Gesetzes. ~

(2 Punkte) b) Berechnen Sie das skalare Potential φ(~r). Nehmen Sie an, dass das Potential an der

Kugeloberfl¨ache stetig ist. (2 Punkte)

c) Skizzieren Sie den radialen Verlauf des skalaren Potentials sowie die radiale Abh¨an- gigkeit der elektrischen Feldst¨arke der homogen Kugel. (1 Punkt) d) Zeigen Sie, dass das Potential φ(~r) L¨osung der Poisson-Gleichung, ∆φ = −ρ/ǫ

, ist.

ǫ

ist die elektrische Feldkonstante. (1 Punkt)

Hinweis: Der Laplace Operator in Polarkoordinaten ist gegeben durch:

∆ = 1 r

∂

∂r

r

∂

∂r

+ 1

r

sin θ

∂

∂θ

sin θ ∂

∂θ

+ 1

r

sin

θ

∂

∂ϕ

Aufgabe 2 (schriftlich): Dipol/Quadrupol Auf den vier Eckpunkten eines Quadrates be- finden sich die Punktladungen q

, q

, q

und q

. Diese Ladungsverteilung soll neutral sein.

Berechnen Sie f¨ ur diese Konfiguration das Di- polmoment

~ p := R

V

d

rρ(~r) ~r und das Quadrupolmoment

Q

:= R

V

d

r(3x

x

− δ

r

)ρ(~r),

q3

q4 a q2

y

q1 x

wobei i, j die kartesischen Koordinaten indizieren. Q

sind die Komponenten des Quadru- poltensors Q. Zeigen Sie, dass sich die Ladungen so w¨ahlen lassen, dass

a) das Dipolmoment verschwindet.

b) das Quadrupolmoment verschwindet.

K¨onnen auch gleichzeitig Dipol- und Quadropolmoment verschwinden? (4 Punkte)

Hinweis:

i) Das Kronecker-Delta δ

ist wie folgt definiert δ

:=

1 f¨ ur i = j 0 f¨ ur i 6= j .

ii) Verwenden Sie f¨ ur Ihre Rechnungen die diskrete Ladungsverteilungen ρ(~r), ρ(~r) =

N

X

i=1

q

δ(~r − ~r

),

wobei N die Anzahl der Punktladungen und δ(~r − ~r

) die sogenannte Dirac- oder Delta-Funktion ist (nicht zu verwechseln mit dem Kronecker-Delta δ

). Nutzen Sie bei Ihren Berechnungen die folgende Eigenschaft der Dirac-Funktion aus:

Z

−∞

f (t)δ(t − t

)dt = t

.

Aufgabe 3 (m¨ undlich) : Linienladungsdichte

Wir betrachten eine homogene Ladungsverteilung auf einer Linie der L¨ange l mit der Lini- enladungsdichte λ = Q/l. Zeigen Sie, dass man die Ladungsdichte in Zylinderkoordinaten (q, ϕ, z) schreiben kann als

λ π

δ(q)

q = ρ(q, ϕ, z).

Berechnen Sie dazu die Gesamtladung der Linie in Zylinderkoordinaten, und zeigen Sie, dass diese Q ist.

Hinweis:

Verwenden Sie bei Ihren Berechnungen die Eigenschaft der Dirac-Funktion:

Z

0

δ(t)dt = 1

2 .