10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10 Bedingte Wahrscheinlichkeit 04

(1)

CC BY-SA: www.strobl-f.de/grund10g.pdf

10. Klasse TOP 10 Mathematik 10 Gesamtes Grundwissen mit ¨ Ubungen G

Grundwissen Mathematik 10. Klasse: Die 10 wichtigsten Themen auf jeweils einer Seite!

Zum Wiederholen kann man die ¨Ubungen des Kompakt- ¨Uberblicks verwenden.

10/1 Pi, Kugel, Kreisteile, Bogenmaß G U¨ L 10/2 Trigonometrische Funktionen G U¨ L 10/3 Exponential- und Logarithmusfunktion G U¨ L 10/4 Bedingte Wahrscheinlichkeit G U¨ L

10/5 Polynomdivision G U¨ L

10/6 Polynomgleichungen, Polynom-Nullstellen G U¨ L

10/7 Vorzeichenbereiche G U¨ L

10/8 Parameter G U¨ L

10/9 Eigenschaften von Funktionsgraphen G U¨ L 10/10 Uberblick: Funktionen und Gleichungen¨ G U¨ L 10/K Kompakt- Überblick zum Grundwissen G U¨ L G=Grundwissen, Ü= Übungen, L=Lösungen

(2)

CCBY-SA:www.strobl-f.de/grund101.pdf

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10 Pi, Kugel, Kreisteile, Bogenmaß 01

Pi

π ist eine irrationale Zahl (d. h. nicht als Bruch darstellbar; die Dezimaldarstellung bricht somit nicht ab und besitzt keine Periode). Daher ist nur näherungsweiseπ ≈3,14(für Über- schlagsrechnungen π ≈ 3). Näherungswerte können z. B. dadurch gewonnen werden, dass Kreisumfangu= 2rπ oder KreisflächeA=r²πdurch Vielecke angenähert werden.

Kugelmit Radiusr

VolumenV = ⁴₃πr³, Oberfl¨acheO = 4πr².

Tipp: Bei Berechnungen Einheitenkontrolle: Fl¨achen m¨ussen sich wegen

”r²“ in der Einheit m², dm², cm², . . . ergeben, Volumina wegen

”r³“ in m³, dm³=Liter, cm³, . . .

Kreissektormit Winkelϕ

FlächeAund Bogenlängebsind Bruchteil ₃₆₀^ϕ◦ (bzw. _2π^ϕ, wennϕim Bogen- maß, siehe unten) von Kreisfläche bzw. Kreisumfang:

A= ₃₆₀^ϕ◦ ·r²π(bzw.A= _2π^ϕ ·r²π = ^ϕr₂²), b= ₃₆₀^ϕ◦ ·2rπ(bzw.b = _2π^ϕ ·2rπ =rϕ)

&%

'$

PP

b

Bogenmaß

Erkl¨arung: Winkel k¨onnen gemessen werden im Gradmaß (Vollwinkel = 360^◦) oder im Bo- genmaß (Vollwinkel =2π).

Letzteres hat seinen Namen daher, die Bogenl¨ange, die der Winkel aus einem Kreis mit Radius 1 ausschneidet, als Maß f¨ur den Winkel zu verwenden.

Wegen des Kreisumfangs2rπ = 2π(f¨urr = 1) ist dementsprechend¹ 360^◦ = 2π

&%

'$

ϕb

1

Beispiele f¨ur Umrechnungen:

Gradmaß→Bogenmaß:17^◦ ist ₃₆₀¹⁷ des Vollwinkels, also17^◦ = ₃₆₀¹⁷ ·2π.

Bogenmaß→Gradmaß: ^π₃ ist

π 3

2π = 1

6 des Vollwinkels, also ^π₃ = 60^◦. Merke auswendig: ^π₂ = 90^◦.

Taschenrechner und Gradmaß/Bogenmaß:

Bei Verwendung der trigonometrischen Funktionen sin, cos, tan ist der Taschenrechner zu- vor je nach Bedarf auf Gradmaß oder Bogenmaß einzustellen (siehe Bedienungsanleitung des Taschenrechners, bei manchen z. B. mit den Tasten MODE 4/MODE 5 oder durch wie- derholtes Dr¨ucken einer DRG-Taste). Im Display des Taschenrechners wird dies meist durch RAD beim Bogenmaß und DEG (oder nichts) beim Gradmaß angezeigt.

Beispiel: Im Gradmaß istsin 45^◦ = ¹₂√

2≈0,71, im Bogenmaßsin^π₄ = ¹₂√

2≈0,71.

Wann Bogenmaß, wann Gradmaß?

Dies h¨angt nat¨urlich von der Situation und der Aufgabenstellung ab. Sofern nichts anderes verlangt ist, kann man sich an folgenden Anhaltspunkten orientieren:

Gradmaß Bogenmaß

Geometrische Berechnungen an Dreiecken, Beim Zeichnen von Funktionsgraphen, wenn das^◦-Zeichen vorkommt, wennπvorkommt,

wenn griechische Buchstaben zur Bezeich- wenn Variablen wiexodertvorkommen, nung von Winkeln vorkommen (z. B.α,ϕ). in Physik bei Formeln zur Kreisbewegung und zu Schwingungen, z. B.y=asinωt.

1In diesen Grundwissens- und Übungsblättern wird die Kennzeichnung, ob es sich um eine Angabe im Grad- oder Bogenmaß handelt, durch die Einheit^◦(Grad) beim Gradmaß bzw. durch einen reinen Zahlenwert beim Bogenmaß vorgenommen. Das Gleichheitszeichen ist somit wie ein Umrechnungsfaktor für Einheiten zu verstehen:1^◦= ₃₆₀¹ ·2π≈0,0175.

(3)

BY-SA:www.strobl-f.de/grund102.pdf

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10 Trigonometrische Funktionen 02

sin, cos, tan am rechtwinkligen Dreieck→grund98.pdf Sinus, Kosinus am Einheitskreis(= Kreis mit Radiusr = 1)

- 6

1 1

sinϕ

r

I II

III IV

ϕ 0 cos|{z}ϕ

r

P₁

P₂

P₃

Beispiele (zum Winkel im Bogenmaß→grund101.pdf):

sin(^2π₃ ) = sin 120^◦ = ¹₂√

3(PunktP1 in der Abbildung) cos(^2π₃ ) = cos 120^◦ =−¹₂

sinπ= sin 180^◦ = 0(PunktP₂in der Abbildung) cosπ= cos 180^◦ =−1

sin(−^π₄) = sin(−45^◦) = sin(315^◦) =−¹₂√

2(PunktP₃) cos(−^π₄) = cos(−45^◦) = cos(315^◦) = ¹₂√

2 Ferner ergeben sich die Vorzeichen in den einzelnen Quadranten I–IV :

ϕ 0^◦ = 0 I 90^◦ = ^π₂ II 180^◦ =π III 270^◦ = ^3π₂ IV 360^◦ = 2π

cosϕ 1 + 0 − −1 − 0 + periodisch

sinϕ 0 + 1 + 0 − −1 − von vorne

Ordnet man dem Winkel ϕ den jeweiligen Wert sinϕ bzw. cosϕ zu, so erh¨alt man sin- bzw. cos-Funktion; dabei wird meist der Winkel im Bogenmaß verwendet und nun mit x bezeichnet.

Graphen sin

- 6

x y

π 2π

2

1

−1

cos

- 6

x y

π 2π

2

1

−1

Merke: Der cos-Graph geht im Koordinatensystem durch den Punkt (0|1), der sin-Graph steigend durch den Punkt(0|0).

sin und cos sind2π-periodisch.

Verschiebung, Streckung der Graphen/Einfluss von Parametern→grund108.pdf, ueb102.pdf Eine grobe Skizze der Funktionsgraphen ist auch nützlich zum Lösen trigonometrischer Gleichungenin Hinblick darauf, dass es mehr als die vom Taschenrechner (TR) angezeigten Lösungen gibt. Beispiel:5 sinx−3 = 0.

Nach Umformen folgt:5 sinx= 3, alsosinx= 0,6.

Nach Dr¨ucken von SHIFT-sin zeigt der TR im Bo- genmaßx₁ ≈ 0,64als erste L¨osung (TR auf RAD

→grund101.pdf) bzw. im Gradmaßϕ₁ ≈37^◦ (TR auf DEG).

- 6

ϕx y

2π 360^◦

π

902^◦

1

−1 0,6

x₁ x₂ x₃

Aus der Zeichnung sieht man weitere L¨osungen, n¨amlichx₂ =π−x₁ ≈2,50, und alles2π- periodisch, alsox₃ =x₁+2π≈6,93,x₁+4π,x₁+6π, . . . , allgemeinx₁+2kπ≈0,64+2kπ mit ganzer Zahl k ∈ ZZ, und x₂ + 2kπ ≈ 2,50 + 2kπ, k ∈ ZZ. Im Gradmaß ergibt sich entsprechendϕ₁+k·360^◦ ≈37^◦+k·360^◦undϕ₂+k·360^◦ ≈143^◦+k·360^◦,k ∈ZZ.

Dreiecksberechnungen im allgemeinen Dreieck(im Lehrplan nicht verbindlich) Je nach gegebenen Größen wählt man einen der folgenden Sätze:

Sinussatz:

a

b = sinα sinβ

(Die Seitenl¨angen verhalten sich wie die Sinuswerte der gegen¨uberliegenden Winkel)

Kosinussatz:

a² =b²+c²−2bccosα (”verallgemeinerter Pythagoras“)

T T

TT

α β

γ

c

b a

Beispiel→ueb102.pdf

(4)

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10 Exponential- und Logarithmusfunktion 03

Exponentialfunktionenf(x) = b·a^x mit Wachstumsfaktora >0und Anfangswertb >0.

y= 2^x

6

-x y

0 1

1

y= 10^−x = (₁₀¹)^x

6

-x y

0 1

1

Definitionsbereich:D= IR Wertebereich:W = IR⁺=]0;∞[

Im Fall a > 1 steigt die Kurve streng mo- noton (und zwar bei genügend großen x- Werten beliebig steil; steiler als bei linearem oder quadr. Wachstum); fürx→ −∞nähert sie sich derx-Achse (Asymptote).

F¨urx= 0erh¨alt manf(0) = b·a⁰ =b·1 =b.

Anwendungsbeispiele:

• Zins und Zinseszins: Ein GuthabenK steigt jedes Jahr um 5 %, d. h. mit Faktor 1,05.

NachxJahren liegt dann das GuthabenK·1,05^x vor (exponentiell steigend).

• Radioaktiver Zerfall: Der Vorrat an noch nicht zerfallenen Atomkernen f¨allt in einer gewissen Zeit jeweils auf die H¨alfte. Nach x solchen Zeitabschnitten liegt dann nur noch(¹₂)^x = 2^−xvon der Anfangsmenge vor (exponentiell fallend).

• W¨ahrend beim exponentiellen Wachstum die Werte jede Zeiteinheit mit dem gleichen Faktoramultipliziert werden, wird beim linearen Wachstum jede Zeiteinheit die gleiche Zahl m addiert. So ergeben sich z. B. aus 100 Euro bei linearer Zunahme und j¨ahrlichm = 20Euro nach 25 Jahren 100 + 25·20Euro = 600 Euro, dagegen bei exponentieller Zunahme um 20 % sogar100·1,20²⁵Euro≈9540Euro.

Logarithmusfunktionenf(x) = log_axzur Basisa >0

sind Umkehrfunktionen der Exponentialfunktion, und zwar ist der Loga- rithmus zur Basisadie Umkehrung zur Exponentialfunktion mit Basisa.

Somitlog_aa^x =xunda^log^a^x =xsowielog_a1 = 0,log_aa= 1.

x a^... ^-

log_a. . . a^x

- 6

y

0 x

1

y= log₂x

DefinitionsbereichD= IR⁺ =]0;∞[

WertebereichW = IR

Am Taschenrechner (TR) steht mit der log-Taste die Logarithmusfunktion zur Basis 10 zur Verf¨ugung, also die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion mit der Gleichungy= 10^x.

Rechenregeln: log(ab) = loga+ logb log(^a_b) = loga−logb log(a^r) = rloga log_ca=^log_log^b^a

bc (Basiswechsel→Formelsammlung/Merkhilfe; z. B.log₂20 =^log_log¹⁰²⁰

102

TR≈4,3) Exponentialgleichungen

sind Gleichungen, in denen die L¨osungsvariablexim Exponenten auftritt. Exponentialglei- chungen l¨ost man durch beidseitiges logarithmieren.

Beispiel:

Die Weltbev¨olkerung betrug 1990 ca. 5264 Millionen, 2006 ca. 6538 Millionen.

Modelliert man dies als exponentielles Wachstum mit Anfangswert b = 5264 · 10⁶, also f(x) = b · a^x, so ist (16 Jahre später) f(16) = 6538· 10⁶ = 5264 · 10⁶ · a¹⁶, also a= ¹⁶^q⁶⁵³⁸₅₂₆₄ ≈1,24¹⁶¹ ≈1,0136, d. h. das jähliche Wachstum beträgt ca. 1,36 %.

Danach Bev¨olkerungszahl im Jahr 2050:f(60) = 5264·10⁶·1,0136⁶⁰≈12·10⁹.

Wann wird sich bei diesem Modell die Bevölkerungszahl im Vergleich zum Jahr 1990 ver- doppelt haben? Antwort: Gesucht istxmitf(x) = 2·5264·10⁶, also die Lösung der Expo- nentialgleichung2 = 1,0136^x. Anwendung vonlog auf beiden Seiten:log 2 = log 1,0136^x; gemäß Rechenregel folgtlog 2 =x·log 1,0136, alsox= _{log 1,0136}^{log 2} ≈51, also im Jahre 2041.

(5)

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10 Bedingte Wahrscheinlichkeit 04

Absolute und relative H¨aufigkeit und weiteres Beispiel zur Vierfeldertafel→grund65.pdf Mehrstufige Zufallsexperimente, Pfadregeln, Baumdiagramm→grund97.pdf

Formel von Bayes

Wahrscheinlichkeit vonAunter der BedingungB:P_B(A) = P(A∩B) P(B) Beispiel

Ein Bauunternehmer bezieht zum Terrassen-Pflastern 400 Steinplatten, und zwar zu ⁴₅ Stein- platten I. Wahl (Anteil beschädigter Platten 5 %) und zu¹₅ Platten II. Wahl (Anteil beschädig- ter Platten 15 %). Aus der Gesamt-Lieferung wird zufällig eine Platte herausgegriffen.

Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt eine besch¨adigte Platte aus der Lieferung I. Wahl? Oder anders formuliert: Mit welcher Wahrscheinlichkeit handelt es sich unter der Bedingung, dass die Platte besch¨adigt ist, um eine Platte aus der I.-Wahl-Lieferung?

4-Felder-Tafel

Bei einer Aufteilung der Gesamtzahl nach mehreren Merkmalen kann man eine 4-Felder- Tafel erstellen, wobei die Zeilen bzw. Spalten jeweils mit Merkmal/nicht-Merkmal beschrif- tet werden und die Zahlen in jeder Zeile bzw. Spalte jeweils addiert werden (bzw. umgekehrt fehlende Felder auf diese Weise erg¨anzt werden).

In obigem Beispiel seien W₁:

”Die zufällig gezogene Platte ist aus der I.-Wahl-Lieferung“ und B:”Die zufällig gezogene Platte ist beschädigt“.

4-Felder-Tafel mit absoluten H¨aufigkeiten

B B

W1 16 304 320 W₁ 12 68 80 28 372 400

4-Felder-Tafel mit Wahrscheinlichkeiten

B B

W₁ 0,04 0,76 0,80 W1 0,03 0,17 0,20 0,07 0,93 100 % = 1

(Fett gedruckte Felder werden zuerst ausgef¨ullt (z. B.320 = ⁴₅ von 400; im FeldW₁∩B: 5 % von320 = 16 bzw. 5 % von⁴₅ = 0,05·0,80 = 0,04), f¨ur den Rest entsprechende Zeilen- bzw. Spaltensummen betrachtet.)

Lösung der obigen Frage mit absoluten Häufigkeiten: Hat man eine der 28 beschädigten Platten vor sich, von denen 16 aus der Lieferung I. Wahl stammen, so erkennt man:

P_B(W₁) = ¹⁶₂₈ = ⁴₇ ≈57%.

L¨osung der obigen Frage mit Wahrscheinlichkeiten und der Formel von Bayes:

P_B(W₁) = ^P^(W_P_(B)¹^∩B) = ^0,04_0,07 = ⁴₇ ≈57%.

Baumdiagramm

@

@@

B

PW₁(B) = 0,05

B

0,95

0,04 0,76

W₁ W₁

H H

HHH

4 5

1 5

@

@@

B

0,15

B

0,85 =PW₂(B)

0,03 0,17

Bei den Beschriftungen der ¨Aste der 2. Stufe Bbzw.Bhandelt es sich um bedingte Wahr- scheinlichkeiten, z. B. Wahrscheinlichkeit f¨ur

”besch¨adigt“ unter der Bedingung

”I. Wahl“:

PW₁(B) = 0,05usw.

Die unter den Pfaden stehenden Wahrschein- lichkeiten werden durch Anwendung der Pfad- regeln (→ grund97.pdf) berechnet (Multi- plikation der Wahrscheinlichkeiten an den Asten):¨ P(W1 ∩B) = P(W1)·PW₁(B) =

4

5 ·0,05 = 0,04usw.

F¨ur das aus den PfadenW1−B undW1−B zusammengesetzte EreignisB gilt:

P(B) = 0,04 + 0,03 = 0,07.

Mit der Formel von Bayes berechnet man die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit:

PB(W1) = ^P^(W_P_(B)¹^∩B) = ^0,04_0,07 = ⁴₇ ≈57%.

(6)

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10

Polynomdivision 05

Beispiel 1:

(x³−6x²+ 9x−2)

| {z }

Dividend

: (x−2)

| {z }

Divisor

Die Polynome werden — wenn nicht schon geschehen — nach fallenden Potenzen geordnet.

Man beginnt mit der Division der h¨ochsten Potenzen von Dividend und Divisor, hier also x³ :x. Das Ergebnis (hierx²) schreibt man rechts vom Gleichheitszeichen an; dieses Ergeb- nis multipliziert man mit dem Divisor (hier alsox² ·(x−2) = x³ −2x²) und notiert dies unter dem Dividenden.

Bis jetzt steht also da: (x³−6x²+ 9x−2) : (x−2) =x². . . x³−2x²

Da jetzt subtrahiert werden muss (hier

−(x³ − 2x²) = −x³ + 2x²), ist es zweckmäßig, die Vorzeichen durch darüberschreiben zu ändern und dann zu rechnen:

(x³−6x²+ 9x−2) : (x−2) =x². . .

−x³+ 2x² ↓

↓ ↓

Man rechnet

−6x²+2x²=−4x² ↓

↓ ↓n¨achste Stelle herunterholen

−4x²+ 9x Das Verfahren wird nun fortgesetzt

(h¨ochste Potenzen dividieren:

−4x² : x = −4x anschreiben, dann mit Divisor multiplizieren:−4x·x =

−4x² und −4x ·(−2) = +8x notie- ren), dann steht da:

(x³−6x²+ 9x−2) : (x−2) = x²−4x . . .

−x³+ 2x²

−4x²+ 9x

−4x²+ 8x Wieder werden die Vorzeichen ge-

ändert, die entsprechende Rechnung durchgeführt (hier 9x − 8x = x), die nächste Stelle heruntergeholt und abermals das ganze Verfahren durch- geführt, bis dasteht:

(x³−6x²+ 9x−2) : (x−2) =x²−4x+ 1

−x³ + 2x²

−4x²+ 9x + 4x²−8x

x−2

−x+2 0 Bleibt Rest0, so ist die Polynomdivision ist aufgegangen.

Beispiel 2: Division mit Rest

(Den Vorzeichenwechsel m¨oge der Leser mit Farbstift in den jeweils unterstrichenen Zeilen selbst vornehmen)

(2x⁵+ 6x⁴−x³+ 4x² −70) : (x+ 3) = 2x⁴−x²+ 7x−21− 7 x+ 3 2x⁵+ 6x⁴ ↓ ↓ -

0 −x³+ 4x² Man denke sich0·x

−x³−3x² . 7x² 7x²+ 21x

−21x−70

−21x−63

−7

3

(7)

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10 Polynomgleichungen, Polynom-Nullstellen 06

Beispiel einer (Polynom-)Gleichung h¨oheren (hier vierten) Grades:x⁴+ 9x²−2x= 6x³ 1. Schritt: Gleichung nach 0 aufl¨osen: x⁴−6x³+ 9x²−2x= 0 2. Schritt: Falls die Konstante fehlt,xausklammern: x(x³−6x²+ 9x−2) = 0 Das Produkt ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist, also: x₁ = 0oder . . .

3. Schritt: x³−6x² + 9x−2 = 0

L¨osung

”erraten“ (siehe unten): x2 = 2

Polynomdivision durch

”xminus L¨osung“: (x³−6x²+ 9x−2) : (x−2) =x²−4x+ 1

(→grund105.pdf; die Polynomdivision muss aufgehen, andernfalls hat man beim Raten der L¨osung oder bei der Polynomdivision einen Fehler gemacht).

Also istx³−6x²+ 9x−2 = (x−2)(x²−4x+ 1), und dieser Ausdruck ist 0, wennx2 = 2oderx²−4x+ 1 = 0ist.

Das Verfahren (L¨osung erraten, Polynomdivision) wird so lange durchgef¨uhrt, bis sich eine quadratische Gleichung ergibt.

4. Schritt: L¨ose die quadratische Gleichung: x² −4x+ 1 = 0 x_3/4 = 2±√

4−1 = 2±√ 3 Die L¨osungen sind also: x₁ = 0,x₂ = 2,x₃ = 2 +√

3,x₄ = 2−√ 3 Eine Gleichungn-ten Grades (hier 4. Grades) kann bis zunL¨osungen haben.

Faktorzerlegung: x⁴−6x³+ 9x²−2x=x(x−2)(x−(2 +√

3))(x−(2−√ 3)) (Koeffizienten der h¨ochsten Potenz ausklammern [Beispiel siehe unten]; Faktoren

”xminus L¨osung“; hier sieht man nochmals, dass das Produkt 0 ist, wenn einer der Faktoren 0 ist).

Spezialf¨alle

• Mehrfache L¨osungen sind entsprechend zu kennzeichnen. Beispiel:

−3x³−12x²+ 33x−18 = 0, d. h. −3(x³+ 4x²−11x+ 6) = 0 (∗) x₁ = 1. Polynomdivision(x³+ 4x²−11x+ 6) : (x−1) =x²+ 5x−6.

x_2/3 =−2,5±√

6,25 + 6, alsox₂ = 1,x₃ =−6. Somit

x_1/2 = 1 doppelte L¨osung, x₃ =−6 einfache L¨osung, Faktorzerlegung−3x³−12x²+ 33x−18 =−3(x−1)²(x+ 6).

• Bleibt im 3. Schritt eine quadratische Gleichung ohne L¨osung, so ist keine weitere Faktorzerlegung m¨oglich. Beispiel:x³−2x²+x−2 = (x−2)(x²+ 1)

Zum Erraten einer L¨osung

Kandidaten sind die Teiler der Konstanten. In (∗) kommen also±1,±2,±3,±6in Frage.

(Denn: Beim umgekehrten Ausmultiplizieren der Faktorzerlegung erkennt man, dass die Konstante das Produkt der L¨osungen ist).

In speziellen Situationen (z. B. Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen, Hinweise im Text einer Prüfungsaufga- be, biquadratische Gleichung→grund910.pdf) kann es vorkommen, dass eine Lösung schon bekannt ist oder andere Lösungsverfahren günstiger sind.

Bei der Berechnung vonNullstellen von Polynomenf(x), also bei der L¨osung der Gleichungf(x) = 0, gibt die Vielfachheit der Nullstellen wesentliche Auskunft ¨uber die Art der Nullstelle (einfache Nullstelle:

x-Achse wird geschnitten; doppelte Nullstelle: x-Achse wird ber¨uhrt;

dreifache Nullstelle: Graph schmiegt sich an die x-Achse an mit Vor- zeichenwechsel; siehe auch grund107.pdf).

Umgekehrt gelingt es mit der Faktorzerlegung, Funktionsterme zu Po- lynomen mit vorgegebenen Nullstellen zu finden. Ist z. B. der neben- stehende Graph mit den Nullstellen −5, −1 und 4 gegeben, so kann

6 y

2 2

−5 s -x

Y(0|−0,5)

Y

ein Funktionsterm der Bauart f(x) = a(x+ 5)(x + 1)³(x−4)² vermutet werden (durch Einsetzen des Punktes(0| −0,5)findet man danna=−₁₆₀¹ ).

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10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10

Vorzeichenbereiche 07

Beispiel:f(x) = 0,5x⁴ −x³ −4x² = 0,5x²(x²−2x−8)

Zun¨achst bestimmt man die Nullstellen²(und Definitionsl¨ucken, falls vorhanden):

f(x) = 0, hier0,5x⁴−x³−4x² = 0ergibt:

x_1/2 = 0(doppelt),x3 =−2(einfach),x4 = 4(einfach)

Diese zeichnet man auf derx-Achse eines Koordinatensystems ein (falls die Funktion Defi- nitionsl¨ucken hat, muss man diese ebenfalls einzeichnen): -

−2 0 4

Dadurch ergeben sich im Beispiel vier Bereiche:]− ∞;−2[,]−2; 0[,]0; 4[und]4;∞[.

Man ¨uberlegt sich nun f¨ur jeden der Bereiche das Vorzeichen von f(x)in diesem Bereich.

Hierzu gibt es mehrere M¨oglichkeiten:

• ”Einsetz-Methode“:³ Eine Zahl, die im jeweiligen Bereich liegt, wird inf(x)eingesetzt. In unserem Beispiel:

In]− ∞;−2[liegt z. B.−3; Einsetzen inf(x)liefert:

f(−3) = 0,5·(−3)⁴−(−3)³−4(−3)² = 40,5−(−27)−4·9 = 31,5positiv!

In]−2; 0[liegt z. B.−1; Einsetzen:f(−1) =−2,5negativ!

Ebenso: In]0; 4[: negativ; in]4;∞[positiv.

• ”Linearfaktor-Vorzeichen-Methode“: Man schreibt die Polynome in der Linearfaktor- zerlegung (

”x minus Nullstelle“). Damit schreibt (oder ¨uberlegt) man f¨ur jeden Be- reich, welches Vorzeichen der jeweilige Linearfaktor dort hat. In unserem Beispiel:

f(x) = 0,5x²(x+ 2)(x−4). Dabei sind 0,5 und x² in jedem der Bereiche positiv;

x+ 2ist negativ f¨urx <−2und positiv f¨urx >−2usw.:

−2 0 4 -

0,5x² + + + +

x+ 2 − + + +

x−4 − − − +

Nach den ¨ublichen Regeln (z. B.

”minus mal minus ist plus“) ¨uberlegt man sich nun das Vorzeichen vonf(x) = 0,5x²(x+ 2)(x−4)in jedem Bereich:

−2 0 4 -

f(x) + − − +

Dabei erkennt man: Bei einfachen Nullstellen wechseltf(x)das Vorzeichen, bei gera- den Nullstellen (wegen des Quadrats) dagegen liegt kein Vorzeichenwechsel vor.

• Mit etwas Erfahrung bestimmt man das Vorzeichen nur in einem Bereich⁴ und durch Betrachtung der Vielfachheit der Nullstelle (einfach oder doppelt . . . , d. h. mit oder ohne Vorzeichenwechsel) die Vorzeichen in den angrenzenden Bereichen.

In unserem Beispiel kann man ferner auch so argumentieren:0,5x² ist stets positiv. Der verbleibende Faktor x² −2x−8 ist eine nach oben ge¨offnete Parabel, ist also zuerst im Positiven, dann im Negativen, dann im Positiven.

−2 4

+

− +

2Siehe auch Polynomgleichungen, Polynom-Nullstellen grund106.pdf

3Diese Methode ist allerdings mathematisch nicht ganz exakt, da man ja nur einzelne Stellen betrachtet und Beispiele in der Mathematik bekanntlich nicht gelten. Die nachfolgend beschriebene Linearfaktor-Vorzeichen- Methode zeigt jedoch, dass die Vorzeichen nur bei den Nullstellen wechseln k¨onnen und rechtfertigt damit diese Einsetz-Vorgehensweise.

4Durch Betrachtung bequemer Funktionswerte. In unserem Beispiel etwa sieht man f¨ur sehr großexdas + (limx→ ∞); bequem ist auch 1 einzusetzen; bei anderen Funktionstermen auch die 0.

(9)

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10

Parameter 08

Beispiel:fk(x) = kx²−12x+ 20

Bei Funktionen mit Parameter ist zu unterscheiden zwischen der Variablen xund dem Pa- rameter (hierk), der f¨ur eine Zahl steht. Je nachdem, welchen Wert man f¨ur den Parameter einsetzt, hat man einen anderen Funktionsgraphen mit anderen Eigenschaften:

Ist z. B.k = 1, so hat man den Funktionstermf₁(x) = x²−12x+20mit den zwei Nullstellen x_1/2 = ^12±

√144−4·1·20

2·1 = ^12±8₂ = 6±4;

ist z. B. k = 1,8, so hat man f_1,8(x) = 1,8x² −12x+ 20 mit der doppelten Nullstelle x_1/2 = ^12±

√144−4·1,8·20

2·1,8 = ^12±0_3,6 = ¹⁰₃;

ist z. B.k = 2, so hat manf₂(x) = 2x²−12x+ 20ohne Nullstellen (denn es w¨arex_1/2 =

12±√

144−4·2·20

2·2 = ^12±

√−20 4 pppppppppppppppppppp

?);

ist z. B.k = 0, so hat man mitf₀(x) =−12x+ 20keine Parabel, sondern eine Gerade;

ist z. B. k < 0, so hat man eine nach unten ge¨offnete Parabel, die stets zwei Nullstellen x_1/2 = ^12±

√144−4·k·20

2·k hat (denn wegenk < 0ist stets144−4·k·20≥0);

durch allgemeine Rechnung mit dem Parameter k erhält man die jeweils interessierenden Eigenschaften (also hier z. B., dass zwei Nullstellen für Diskriminante144−4·k·20≥0, d. h. fürk ≤ _4·20¹⁴⁴ = 1,8vorliegen);

allen Funktionenf_kgemeinsam ist in diesem Beispiel der Punkt(0|20)(denn bei Einsetzen vonx= 0infk(x)erh¨alt man stets deny-Wert 20).

Spezielle Parameter-Wirkungen: Verschiebungen und Streckungen

(weiteres Beispiel:→ueb102.pdf, Aufgabe 2)

Allgemeine Form mit Verschiebe- und Streckungsparameter, aus- gehend von einer Funktionf:

h(x) =a·f(b·(x+c)) +d Man unterscheide dabei den

”außen“ stehenden Faktor a und Summandend, die den Graphen iny-Richung ver¨andern, und den

”innen“ beixstehenden Faktorbund Summandenc.

+d bewirkt, dass alle y-Werte um d gr¨oßer werden, d. h. der Funktionsgraph wird umdnach oben verschoben (bzw. bei negativemdnach unten).

·a bewirkt, dass die y-Werte mita multipliziert werden, d. h.

der Funktionsgraph wird iny-Richtung um den Faktorage- streckt (bzw. bei|a|<1gestaucht), bei negativemazus¨atzlich an derx-Achse gespiegelt.

·b bewirkt, dass man f¨ur x jetzt das ¹_b-fache einsetzen muss, um das gleiche Ergebnis zu erhalten wie ohne diesen Fak- tor, d. h. der Graph wird in x-Richtung um den Faktor ¹_b gestaucht, bei negativem b zus¨atzlich an der y-Achse gespiegelt.

+c bewirkt, dass f¨ur x jetzt um c weniger eingesetzt werden muss, um das gleiche Ergebnis zu erhalten wie ohne diesen Summanden, d. h. der Graph wird inx-Richtung umcnach links verschoben (bzw. bei negativemcnach rechts).

In Zweifelsf¨allen fertigt man am besten eine kleine Wertetabelle.

Beispiel:f(x) =x³−x 6 y

-x 1 0 1

f

6 y

-x 1 0 1

f h1

r r 6

h1(x) =f(x) + 2 =x³−x+ 2 6

y

-x 1 0 1

f h₂

rrr ?

? h2(x) = 2·f(x) = 2(x³−x)

6 y

-x 1 0 1

f h3

r r r--

h₃(x) =f(2x) = (2x)³−2x 6

y

-x 1 0 1

f h4

r r

h4(x) =f(x+ 2) =

= (x+ 2)³−(x+ 2)

(10)

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10 Eigenschaften von Funktionsgraphen 09

Definitionsbereich(maximaler):

Kritisch sind: Br¨uche: Nenner gleich 0 setzen, liefert Definitionsl¨ucken;

Wurzeln: Radikand≥0setzen, liefert Definitionsbereich.

Beispiel:f(x) = ^x⁴_10x^−8x2−10²⁺¹⁶. Nenner10x²−10 = 0liefertx_1/2 =±1, alsoD= IR\{−1; 1}.

Grenzwerte im Unendlichen(d. h bei sehr großenx-Werten):

Vielen Funktionstermen sieht man das Verhalten für x → ±∞ direkt an: So ist bei Poly- nomen die höchste Potenz (und deren Koeffizient) bestimmend, Exponentialfunktionen mit Basisa >1wachsen fürx→+∞ins Unendliche, Exponentialfunktionen mit Basisa <1 nähern sich derx-Achse und Brüche mit unendlich großem Nenner gehen gegen 0.

Beispiele:

F¨urh₁(x) = x⁴−8x²+ 16gilt (wegen

”x⁴“) lim

x→−∞h₁(x)→+∞und lim

x→+∞h₁(x)→+∞.

F¨urh₂(x) =−0,1x³+ 16gilt (wegen

”−x³“) lim

x→−∞h₂(x)→+∞und lim

x→+∞h₂(x)→ −∞.

F¨urh₃(x) = 1,04^x−3gilt lim

x→−∞h₃(x) =−3und lim

x→+∞h₃(x)→+∞.

F¨urh4(x) = −_x−1⁴ gilt lim

x→−∞h4(x) = 0und lim

x→+∞h4(x) = 0.

Bei Bruchfunktionen bietet sich an, mit der h¨ochsten Potenz des Nenners zu k¨urzen.

Beispiele:

•f(x) = ^x⁴_10x^−8x2−10²⁺¹⁶. Mitx² k¨urzen, d. h. Z¨ahler und Nenner durchx²dividieren:

f(x) = x²−8 + ¹⁶_x2

10− ¹⁰_x2

. Hier erkennt man nun, dass bei Einsetzen sehr großerx-Werte _x¹⁶2 und

10

x² gegen 0 gehen, so dass am verbleibenden Term das Verhalten f¨ur sehr große x-Werte bequem sichtbar ist: lim

x→±∞f(x) = lim

x→±∞

x²−8

10 → ∞.

• lim

x→±∞

4x−1

5x+3 = lim

x→±∞

4−¹_x

5+³_x = ⁴₅. • lim

x→±∞

4x−1

5x³+3 = lim

x→±∞

4 x2− ¹

x3

5+ ³

x3

= 0.

Symmetrie(spezielle): Punktsymmetrie zum Ursprung, fallsf(−x) =−f(x) Achsensymmetrie zury-Achse, fallsf(−x) = f(x) Beispiele:

f(x) = ^x⁴_10x^−8x2−10²⁺¹⁶ist achsensymmetrisch zury-Achse, denn

f(−x) = ^(−x)_10(−x)⁴^−8(−x)2−10²⁺¹⁶ = ^x⁴_10x^−8x2−10²⁺¹⁶ =f(x).

h5(x) = ^x_x³2^−4x+1 ist punktsymmetrisch zum Ursprung, denn

h₅(−x) = ^(−x)_(−x)³^−4(−x)2+1 = ^−x_x2³+1^+4x = ^−(x_x2³+1^−4x) =−^x_x³2^−4x+1 =−h₅(x).

Falls Symmetrie vorliegt, erleichtert dies sp¨ater oft die Arbeit, z. B. beim Berechnen von Funktionswerten.

Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:

Schnittpunkt einer Funktionf mit dery-Achse: Berechnung vonf(0).

Schnittpunkte mit derx-Achse (Nullstellen): L¨osung der Gleichungf(x) = 0;

Beispiel:f(x) = ^x⁴_10x^−8x2−10²⁺¹⁶:

Nullstellen:f(x) = 0:^x⁴_10x^−8x2−10²⁺¹⁶ = 0;x⁴−8x²+16 = 0; binomische Formeln:(x²−4)² = 0;

[(x+2)(x−2)]² = 0;x_1/2 =−2(doppelt),x_3/4 = 2(doppelt). SomitN_1/2(−2|0),N_3/4(2|0).

Schnitt mity-Achse:f(0) = ⁰⁴_10·0^−8·02−10²⁺¹⁶ = ₋₁₀¹⁶ =−1,6, alsoY(0| −1,6).

F ¨ur eine Skizze des Funktionsgraphen liefern diese Eigen- schaften wertvolle Anhaltspunkte

Beispiel:f(x) = ^x⁴_10x^−8x2−10²⁺¹⁶

Der Skizze kann entnommen werden:f fällt fürx∈]− ∞;−2[, steigt dann in]−2;−1[und]−1; 0[, fällt in]0; 1[und]1; 2[und steigt dann wieder in]2;∞[.

-x 6

y

0 1

1

f

(11)

10. Klasse TOP 10 Grundwissen 10 Uberblick: Funktionen und Gleichungen ¨ 10

Manchmal sind zus¨atzliche Umformungen (z. B. Klammern ausmultiplizieren, Terme zusammenfassen, ausklammern, Variablen mit Hilfe weiterer Gleichungen durch andere ersetzen) oder Substitutionen (bei mehrfa- chem Vorkommen eines Rechenausdrucks) erforderlich. Weitere Gleichungen→grund910.pdf. Beim Zeich- nen von Funktionsgraphen hilft eine Wertetabelle. Ferner ber¨ucksichtige man, dass bei Funktionen der Bauart h(x) +eeine Verschiebung umenach oben, beih(x+d)eine Verschiebung umdnach links, beia·h(x)eine Streckung iny-Richtung und beih(b·x)eine Stauchung inx-Richtung vorliegt.

Funktionsterm Funktionsgraph zugehörige Gl.f(x) = c Lösung der Gleichung f(x), Beispiel Lösungsverfahren Beispiel

f(x) = 2x−1 Lineare

Funktion

-x 6

y

0 1

1

−1

2x−1 = 0

Lineare Gleichung x-Glieder auf eine Seite

2x= 1 x= ¹₂

f(x) =

x²+ 2x−8 = (x+ 1)²−9 Quadratische Funktion

-x 6 y

0 2

−9

−4

r p p p pppp pppp

p x²+ 2x−8 = 0

Quadratische Gleichung Alles auf eine Seite, Mitternachtsformel x_1/2 = ^−b±

√b²−4ac 2a

x_1/2 = ^−2±

√4−4·1·(−8) 2·1

x₁ =−4,x₂ = 2

Spezialfall:

f(x) =−3x²+ 6 Reinquadr. Funktion

Zury-Achse symmetr.

Parabel

-

6 −3x²+ 6 = 0

Reinquadratische Gleichung Nachx²aufl¨osen, 0–2 Lsgen

−3x²=−6 x²= 2 x1/2=±√

2 Spezialfall:

f(x) = ¹₂x²−3x Qu. Fkt. ohne Konst.

Parabel durch den Ur-

sprung(0|0) -

6

1

2x²−3x= 0

Qu. Gl. ohne Konstante xausklammern (nur bei= 0)

1

2x(x−6) = 0 x₁= 0;x₂= 6

f(x) = 2x−1 x−3 Gebrochen- rationale Funktion

-x 6

y

0 3

q q2

2x−1 x−3 = 1 Bruchgleichung Mit HN multiplizieren

D= IR\{3}

2x−1 = 1·(x−3) x=−2

f(x) = x⁴

Potenzfunktion ⁶

-x y

0 1

1 q

q x⁴ = 2

Reine Potenzgleichung Umkehroperation

”hoch 4↔hoch ¹₄“

x=±√⁴

2≈ ±1,19

f(x) =

1

10(x⁴−12x²+16x) Polynomfunktion (ganzrationale Funktion)

-x 6 y

−4 0 2

2

x⁴−12x² + 16x= 0 Gl. h¨oheren Grades Alles auf eine Seite (=

0),xausklammern, falls keine Konstante,

L¨osung

”raten“, Poly- nomdivision

x(x³−12x+ 16) = 0 x1= 0,x2= 2

”erraten“

(x³−12x+ 16) : (x−2)

=x²+ 2x−8 x3 = 2(doppelt), x₄ =−4

f(x) = 2^x Exponential- funktion

-x 6 y

0 1

2 q

2^x = 0,1

Exponentialgleichung Beide Seiten logarithmieren

log 2^x = log 0,1 x·log 2 = log 0,1 x= ^{log 0,1}_{log 2} ≈ −3,32

f(x) = 2 sinx Trigonometrische Funktion

-x 6

y 2

−π π 2π

q −2 q

2 sinx=−1

Trigonometr. Gleichung Taschenrechner

(SHIFT-sin⁻¹; f¨ur weitere Lsgen Graphen betrachten!)

sinx=−0,5 x=−^π₆ oder x=−π+ ^π₆ =−^5π₆ Weitere L¨osungen 2π- periodisch