a) Bestimmen Sie α damit jede Funktion δσ(x) normiert ist gem¨ass Z

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Moderne Theoretische Physik I SS 2021

Prof. Dr. J¨org Schmalian Blatt 1

Vanessa Gall, Dr. Roland Willa Abgabe 23.04.2021

1. Dirac Delta Distribution

Wir betrachten die Funktionenschar δσ(x) =αe^−x2/σ2 und wollen zeigen, dass diese im Limes σ → 0 der Diracschen Distribution δ(x) entspricht. Letztere ist normiert und liefert die Werte ∞ f¨ur x= 0 und null anderenfalls (x6= 0).

a) Bestimmen Sie α damit jede Funktion δ_σ(x) normiert ist gem¨ass Z ∞

−∞

dx δ_σ(x) = 1. (1)

b) Zeigen Sie, dass f¨ur jedes festex der Grenzwert lim

σ→0δσ(x) =δ(x) erf¨ullt ist.

c) Leiten Sie mithilfe des Grenzverhaltens (f ist eine glatte Funktion) Z ∞

−∞

dx δσ(x)f(x)→ Z ∞

−∞

dx δ(x)f(x) = f(0) (2) ein entsprechendes Verhalten f¨ur R∞

−∞dx δ⁰_σ(x)f(x) her. K¨onnen Sie das Ergebnis weiter verallgemeinern?

d) Beweisen Sie die Beziehung Z ∞

−∞

dx δ[f(x)] =X

i

1

|f⁰(x_i)| (3) wobei x_i die einfachen Nullstellen der Funktion f(x) sind.

L¨osungsskizze:

a) Das Integral ¨uber die Gaussverteilung liefert Z ∞

−∞

dx αe^−x2/σ2 =ασ√

π (4)

und somit ist die Normierung gegeben f¨urα⁻¹ =σ√ π.

b) Als Erstes stellen wir fest, dass die Normierungsbedingung durch die Wahl von α⁻¹ =σ√

π erf¨ullt ist. Dann ist eine Fallunterscheidung notwendig: F¨urx= 0 gilt δ_σ(0) = 1/√

πσ → ∞. Anderenfalls ist der Limes immer durch das exponentielle Verhalten dominiert und wir finden δ_σ(x) = (1/√

πσ)e^−x2/σ2 →0. Dies kann man gut zeigen durch

e^x =X

n

xⁿ

n! ≥1 +x⇔e^−x ≤ 1

1 +x (5)

⇒0≤ lim

σ→0

e^−x2/σ2

σ ≤ lim

σ→0

σ

σ²+x² = 0, (6)

falls x 6= 0. Damit beschreibt die Funktionenschar δ_σ(x) im Grenzfall σ → 0 die Dirac Delta Distribution.

c) Mittels partieller Integration findet man sofort Z ∞

−∞

dx δ⁰_σ(x)f(x) =

δ_σ(x)f(x)∞

−∞− Z ∞

−∞

dx δ_σ(x)f⁰(x)→ −f⁰(0). (7) Eine etwas weniger elegante aber dennoch instruktive Herleitung basiert auf der Beobachtung, dass δ_σ⁰(x) = (−2x/σ²)δ_σ(x). Da δ_σ(x) besonders die Werte um x= 0 hervorhebt, l¨asst sich f(x) als Taylorreihe schreiben. Dadurch gilt

Z ∞

−∞

dx δ⁰_σ(x)f(x)≈ Z ∞

−∞

dx(−2x/σ²)δ_σ(x)[f(0) +f⁰(0)x] (8) Der erste Term in der eckigen Klammer liefert einen ungeraden Integranden (das Integral verschwindet somit). Der zweite Term ist gerade und liefert

Z ∞

−∞

dx δ⁰_σ(x)f(x)≈ ∂

∂σ Z ∞

−∞

dx−f⁰(0)

√π e^−x2/σ2 =−f⁰(0). (9) Hier wurde der Limes dadurch umgangen, dass die Taylorentwicklung nach dem linearen Term abgebrochen wurde. Eine Verallgemeinerung dieser Rechnung liefert die Identit¨at

Z ∞

−∞

dx δ⁽ⁿ⁾(x)f(x) = (−1)ⁿf⁽ⁿ⁾(0) (10) wobei f⁽ⁿ⁾ die nte Ableitung der Funktion darstellt.

d) Da dieδDistribution laut unserer Definition null ist, wenn ihr Argument nicht null ist, k¨onnen wir uns auf eine Region der L¨ange 2 > 0 um die jeweilige Nullstelle herum beschr¨anken. In dieser Region ist die Funktion gut durch ihre lineare Taylor- Entwicklung beschrieben, i.e. f(x) = (x−x_i)f⁰(x_i), also

Z ∞

−∞

dx δ[f(x)] =X

i

Z xi+

xi−

dx δ[f(x)] =X

i

Z xi+

xi−

dx δ[(x−xi)f⁰(xi)] (11) als n¨achstes verwenden wir die Substitutiony= (x−x_i)f⁰(x_i) und erhalten

X

i

Z xi+

xi−

dx δ[(x−x_i)f⁰(x_i)] =X

i

Z f⁰(xi)

−f⁰(xi)

dy

f⁰(x_i)δ(y) (12)

=X

i

sign[f⁰(x_i)]

f⁰(x_i) =X

i

1

|f⁰(x_i)|, (13) wobei wir verwendet haben, dass je nach Vorzeichen vonf⁰(x_i) das Intervall richtig oder falsch herum durchlaufen wird.

2. Spektraldichte in einer Box

Betrachten Sie ein elektromagnetisches Feld in einer kubischen Box mit Volumen V = L³. Eine einfache Absch¨atzung f¨ur die Anzahl freier elektromagnetischer Moden erh¨alt man durch Forderung periodischer Randbedingungen an das Vektorpotential (ω_k=c|k|)

A(r, t) =X

k

Ake^{i(k·r−ωkt)}. (14)

a) Zeigen Sie, dass diese Bedingung zu einer Quantisierung derk-Zust¨ande f¨uhrt und bestimmen Sie diese. Konkret, zeigen Sie, dass gilt k= (2π/L)n mit n∈Z³. b) Nutzen Sie die Quantisierungsbedingung aus a) um einen Ausdruck f¨ur die Anzahl

ModendN im Intervall [k, k+dk] herzuleiten (es gilt k=|k|). Beachten Sie dabei, dass das Vektorpotential transversal zum k-Vektor liegt, d.h.,A·k= 0.

c) Berechnen Sie die spektrale Energiedichte u(ω) {u(ω)dω ist die Energie pro Volu- men im Intervall [ω, ω+dω]} im thermischen Gleichgewicht. Verwenden Sie dazu das klassische ¨Aquipartitionsprinzip was besagt, dass jede Mode die Energie kBT beisteuert. Erkl¨aren Sie, warum das Ergebnis problematisch ist.

d) Das Plancksche Strahlungsgesetz

u(ω) = ηω³ π²c³

1

e^ηω/kBT −1 (15)

umgeht das oben erw¨ahnte Problem. Bestimmen Sie das Verhalten dieses Strah- lungsgesetztes bei kleinen und grossen Frequenzen. Geben Sie die Einheiten von η an und interpretieren Sie die Gr¨osse ηω.

L¨osungsskizze:

a) Periodische Randbedingungen in x-Richtung liefert die Einschr¨ankung

A[(0, y, z), t] =A[(L, y, z), t]. (16) F¨ur eine bestimmtek-Mode gilt somit

A_ke^{i(kyy+kzz−ωkt)} =A_ke^{i(kxL+kyy+kzz−ωkt)} (17) also e^ikxL= 1, oderk_x = 2πn_x/Lmitn_x ∈Z. Verf¨ahrt man ebenso f¨ur die anderen beiden Raumrichtungen findet sich leicht auch k_y,z = 2πn_y,z/L mit n_y,z ∈ Z. Insgesamt ist der k-Raum quantisiert wobei jede k-Wert ein kubisches Volumen (2π/L)³ beansprucht.

b) Das Intervall [k, k + dk] beschreibt eine Kugelschale im k-Raum mit Volumen 4πk²dk. In dieses Volumen passendN = 2(4πk²dk)/[(2π/L)³] Moden (der Faktor 2 ber¨ucksichtigt zwei transversale Moden pro k-Wert), also

dN = V k²dk

π² (18)

Eine alternative Herleitung basiert auf der Idee, dass N Moden im k-Raum auf- gef¨ullt werden m¨ussen, wobei energetisch niedrigere Moden zuerst zu besetzen sind.

Daraus ergibt sich Z

dN =N = 2 X

k,|k|<k_N

1 = 2(L/2π)³ Z

dk4πk² (19)

c) Im thermischen Gleichgewicht tr¨agt jede klassische Mode eine EnergiekBT. Aus- serdem nutzen wir die Dispersionsrelation ω_k =c|k|. Daraus schliessen wir, dass

u(ω)dω =kBT dN/V = 2kBT(L/2π)³(4πk²dk)/V = kBT

π²c³ω²dω. (20) Somit ist u(ω) =kBT ω²/π²c³. Diese Energiedichte ist nicht beschr¨ankt und f¨uhrt zu einer UV-Katastrophe (Divergenz bei grossen Frequenzen).

d) Bei niedrigen Frequenzen liefert eine Taylorentwicklung in ω, das klassische Er- gebnis

u_kl(ω) = kBT ω²/π²c³. (21) Bei hohen Frequenzen findet man stattdessen

u(ω) = (ηω³/π²c³)e^−ηω/kBT = (ηω/kBT)e^−ηω/kBTukl(ω). (22) Hierbei erh¨alt ηω die Bedeutung einer Energie. Somit ist η dimensionell gesehen eine Wirkung. Die exponentielle Unterdr¨uckung der Modenbeitr¨age f¨ur Frequenzen ω kBT /ηdeuten auf eine thermische Aktivierung eines diskreten Spektrums hin.

3. Erwartungswerte im Potentialtopf

Ein Teilchen sei in dem Intervall [−L/2−L/2] durch unendlich hohe Barrieren gefangen, d.h.V(x) = 0 f¨ur|x|< L/2, anderenfalls istV(x) =∞. Ausgehend von dernten L¨osung ψ_n der Schr¨odingergleichung (Vorlesungsskript Kapitel 1.4), definiert

hAiˆ _n= Z ∞

−∞

dx ψ^∗_n(x) ˆAψ_n(x) (23) den Erwartungswert eines Operators ˆA. Mithilfe der Ortsraumdarstellung ˆx = x und ˆ

p=−i~∂_x f¨ur Ort und Impuls,

a) bestimmen Sie die Erwartungswerte hˆxi_n,hxˆ²i_n b) bestimmen Sie die Erwartungswerte hpiˆ_n,hpˆ²i_n

c) bestimmen Sie die Einheiten und die n-Abh¨angigkeit des Produkts p

hˆx²i_nhpˆ²i_n L¨osungsskizze:

Die Eigenfunktionen der Schr¨odingergleichung sind Wellenfunktionen der Form ψ_n(x) =

(p2/Lcos(k_nx), f¨urn ungerade

p2/Lsin(k_nx), f¨urn gerade , (24) und wurden in der Vorlesung hergeleitet. Hierbei istk_n=nπ/Lundx∈[−L/2−L/2].

Im Folgenden ist die Fallunterscheidung immer f¨ur n ungerade (oben)/gerade (unten).

a) F¨ur den Ortsoperator gilt hˆxi_n=

Z L/2

−L/2

dx ψ_n^∗(x)xψ_n(x) = 2 L

Z L/2

−L/2

dx x

(cos(k_nx)²

sin(k_nx)² = 0 (25) da der Integrand eine antisymmetrische Funktion ist. Es bietet sich an, trigonome- trische Funktionen ¨uber ihre Exponentialdarstellung umzuschreiben. Man findet

cos(k_nx)² =e^iknx+e^−iknx 2

2

= 1

4(e^2iknx+e^−2iknx+ 2) = 1

2[1 + cos(2k_nx)]

(26) sin(k_nx)² =e^iknx−e^−iknx

2i

2

=−1

4(e^2iknx+e^−2iknx−2) = 1

2[1−cos(2k_nx)].

(27) Nun k¨onnen wir schreiben

hˆx²i_n= 2 L

Z L/2

−L/2

dx x²

(cos(k_nx)² sin(k_nx)² = 2

L Z L/2

−L/2

dx x²

([1 + cos(2k_nx)]/2

[1−cos(2k_nx)]/2 . (28) Wir m¨ussen also zwei Arten von Integralen berechnen:

Z L/2

−L/2

dx x² = x³

3 L/2

−L/2

= L³

12 (29)

und Z L/2

−L/2

dx x²cos(2k_nx) = −1 4

∂²

∂k_n² Z L/2

−L/2

dx cos(2k_nx) = −1 4

∂²

∂k_n²

sin(2knx) 2k_n

L/2

−L/2

(30)

=−1 4

∂²

∂k_n²

sin(k_nL)

k_n =−sin(k_nL)

2k_n³ +Lcos(k_nL)

2k²_n + L²sin(k_nL) 4k_n

(31)

= Lcos(nπ)

2k²_n = (−1)ⁿ L

2k²_n. (32)

Am Ende kann sin(k_nL) = sin(nπ) = 0 und cos(nπ) = (−1)ⁿ verwendet werden.

Wir erhalten

hˆx²i_n= 1 L

((−1)^{n L}_2k2 n + ^L₁₂³

−(−1)^{n L}_2k2

n +^L₁₂³ = L² 12 − 1

2k_n² = L² 12

1− 6 n²π²

(33) b) F¨ur den Impulsoperator gilt

hpiˆ_n =−i~ Z L/2

−L/2

dx ψ_n^∗(x) ∂

∂xψ_n(x) =−i~2 L

Z L/2

−L/2

dx

(−cos(k_nx)k_nsin(k_nx) sin(k_nx)k_ncos(k_nx) = 0.

(34) da der Integrand eine antysymmetrische Funktion in xist.

hˆp²i_n= Z L/2

−L/2

dx ψ_n^∗(x)ˆp²ψ_n(x) =−~² Z L/2

−L/2

dx ψ^∗_n(x) ∂²

∂x²ψ_n(x) (35)

=−~²2 L

Z L/2

−L/2

dx

(−k²_ncos(knx)²

−k²_nsin(knx)² (36)

Hierf¨ur finden wir Z L/2

−L/2

dx

(cos(k_nx)² sin(k_nx)² = 1

2 Z L/2

−L/2

dx[1±cos(2k_nx)] = 1 2

L± sin(k_nL) k_n

= L 2, (37) wo wir wieder verwendet haben, dass sin(k_nL) = sin(nπ) = 0 und somit

hpˆ²i_n =~² 2 Lk²_nL

2 =~²k_n² (38)

c) Die Standardabweichung ∆x(n) = (hˆx²i_n)^1/2 der Ortsgr¨osse ist f¨ur grosse Werte von n n¨aherungsweise konstant ∆x(n) ≈ ∆x(∞) = L/√

12 und ist im Grund- zustand etwas (aber nicht wesentlich) kleiner, n¨amlich ∆x(1) ≈ 0.63∆x(∞). Im Kontrast dazu ist die Standardabweichung des Impulses ∆p(n) = (hpˆ²i_n)^1/2 eine linear anwachsende Funktion von n, ∆p(n) = (~nπ/L)n. Damit ist das Produkt der Standardabweichungen (oder Unsch¨arfen) ∆x(n)∆p(n) = [hˆx²i_nhˆp²i_n]^1/2 = [^(~nπ)₁₂ ²(1−_n2⁶π²)]^1/2 eine monoton anwachsende Funktion vonnmit nat¨urlichen Ein- heiten~, d.h., einer Wirkung. Den kleinsten Wert aus dem Produkt der Unsch¨arfen findet man im Grundzustand. Dort gilt

∆x(1)∆p(1) =~

p(π²−6)/12≈0.5678~ (39)