O p ti m a l C o n tr o l • B e tr a c h te t w ir d f o lg e n d e r S p e z ia lf a ll: x

(1)

10.07.2009| Optimierung in dynamischer Umgebung| 184

L in e a re s S y s te m m it q u a d ra ti s c h e n K o s te n

O p ti m a l C o n tr o l • B e tr a c h te t w ir d f o lg e n d e r S p e z ia lf a ll: x

k+1

= A

k

x

k

+ B

k

u

k

+ w

k

, k = 0 ,. .. ,N -1 m it d e n q u a d ra ti s c h e n K o s te n • x

k

u n d u

k

s in d V e k to re n d e r D im e n s io n e n n u n d m • A

k

, B

k

, Q

k

, R

k

s in d M a tr iz e n m it p a s s e n d e n D im e n s io n e n • Q

k

p o s it iv s e m id e fi n it s y m m e tr is c h • R

k

p o s it iv d e fi n it s y m m e tr is c h w

k

s e ie n u n a b h ä n g ig z u fä lli g • w

k

h a b e D u rc h s c h n it ts w e rt 0

      + + ∑

− = −=

1 0 1,...,0

) (

N kkkT kkkT kNNT N Nkw

u R u x Q x x Q x E

k

(2)

E in fü h r u n g , B e is p ie le x

k+1

= A

k

x

k

+ B

k

u

k

+ w

k

L

k

w

k

x

k

u

k

L in e a re r F e e d b a c k -C o n tr o lle r fü r lin e a r- q u a d ra ti s c h e s S y s te m

(3)

L in e a re s S y s te m m it q u a d ra ti s c h e n K o s te n

O p ti m a l C o n tr o l P o p u lä re F o rm u lie ru n g v o n S te u e ru n g s p ro b le m e n . 1 . d ie K o s te n fu n k ti o n J

k

(x

k

) is t q u a d ra ti s c h u n d d ie o p ti m a le E in s te llu n g e n d e r K o n tr o llv a ri a b le n u

k

b e k o m m t m a n d u rc h A n w e n d u n g e in e r lin e a re n F u n k ti o n a u f d e n Z u s ta n d x

k

. 2 . P ro b le m , g e e ig n e te S te u e ru n g z u f in d e n i s t d a m it i n P ( q u a d ra ti s c h e Z e it ) a b e r: P a p a d im it ri o u : R n o n p o s it iv e -d e fi n it e = > P ro b le m w ir d P S P A C E -h a rd H e rl e it u n g z u 1 .: A n w e n d e n d e s D P -A lg o ri th m u s l ie fe rt : { } ) ( min ) (

, ) (

1kkkkkkkkT kkkT k wukk

NNT NNN

w u B x A J u R u x Q x E x J

x Q x x J

kk

+ + + + = =

+

(4)

L in e a re s S y s te m m it q u a d ra ti s c h e n K o s te n

O p ti m a l C o n tr o l E in s e tz e n v o n h in te n e rg ib t: in s b e s o n d e re f ü r k = N -1 : D u rc h A u s m u lt ip liz ie re n d e s u n te re n T e rm s u n d E lim in a ti o n d e s T e rm s E {w

T N-1

Q

N

(A

N-1

x

N-1

+ B

N-1

u

N-1

)} , d a E {w

N-1

}= 0 , e rg ib t s ic h :

{ } ) ( min ) (

, ) (

1kkkkkkkkT kkkT k wukk

NNT NNN

w u B x A J u R u x Q x E x J

x Q x x J

kk

+ + + + = =

+

( ) ( ) ^{ } ^{ } ^

 

 

 + + + +

+ + =

−−−−−−−−−−

−−−−−− −− −− 1111111111

111111 11 11

min ) (

NNNNNNT NNNNN

NNT NNNT N wuNN

w u B x A Q w u B x A

u R u x Q x E x J

NN

} {

2 min ) (

11111111

111 11111 1 −−−−−−−−

−−−−−−−−

−−− −−−−−

+ +



 

   

 + + + =

− NNT NNNNNNT NT N

NNNT NT NNNNT NT N

NNT N uNNT NNN

w Q w E x A x A Q A x

u B Q A x u B Q B u

u R u x Q x x J

N

(5)

L in e a re s S y s te m m it q u a d ra ti s c h e n K o s te n

O p ti m a l C o n tr o l D u rc h B ild e n d e r to ta le n A b le it u n g n a c h u

N-1

, u n d d u rc h s e tz e n d e r A b le it u n g z u N u ll e rg ib t s ic h : D ie M a tr ix , d ie v o n l in k s a n u

N-1

a n m u lt ip liz ie rt w ir d , is t p o s it iv e d e fi n it ( u n d s o m it ) in v e rt ie rb a r) , w e il R

N-1

p o s it iv d e fi n it i s t u n d B

T N-1

Q

N

B

N-1

p o s it iv s e m id e fi n it i s t. M in im ie ru n g d e s K o n tr o llv e k to rs e rg ib t: W e n n w ir d ie s e n A u s d ru c k i n J

N-1

e in s e tz e n , e rh a lt e n w ir

¹

111111

) (

−−−−−−−

− = +

NNNT NNNNT NN

x A Q B u B Q B R

1111 1111

) ( *

−−−− −−−−

+ − =

NNNT NNNT NNN

x A Q B B Q B R u

1111 111111

1111111

) ) ( (

}, { ) (

−−−− −−−−−−

−−−−−−−

+ + − = + =

NNNT NNNNT NNNNT NN

NNT NNNT NNN

Q A Q B R B Q B B Q Q A K

wobei w Q w E x K x x J

(6)

L in e a re s S y s te m m it q u a d ra ti s c h e n K o s te n

O p ti m a l C o n tr o l K

N-1

is t p o s it iv s e m id e fi n it u n d s y m m e tr is c h - K

N-1

w ir d a u s s y m m e tr is c h e n M a tr iz e n z u s a m m e n g e s e tz t u n d - x

T

K

N-1

x = m in [x

T

Q x + u

T

R u + ( A

N-1

x + B

N-1

u )

T

Q

N

(A

N-1

x + B

N-1

u )] Q

N-1

, R

N-1

u n d Q

N

s in d p o s . s e m id e f. a ls o i s t d ie r e c h te S e it e n ic h t n e g a ti v . - a ls o i s t a u c h J

N-1

p o s it iv s e m id e fi n it d u rc h m e h rf a c h e s i n d u k ti v e s E in s e tz e n e rh ä lt m a n μ*

k

(x

k

) = L

k

x

k

m it L

k

= - (B

T k

K

k+1

B

k

+ R

k

)

-1

B

T k

K

k+1

A

k

u n d m it K

N

= Q

N

u n d K

k

= A

T k

(K

k+1

-K

k+1

B

k

(B

T k

K

k+1

B

k

+ R

k

)

-1

B

T k

K

k+1

)A

k

+ Q

k

u n d ∑

⁻ =+

+ =

1 0100000

} { ) (

N kkkT kT

w K w E x K x x J

D is k re te R ic c a ti G le ic h u n g

(7)

2 -s tu fi g e P ro g ra m m e , B e is p ie l

S to c h a s ti c P r o g r a m m in g

Farmer –Problem -500 ha Land -mindestens 200t Weizen und 240t Mais werden fürs Vieh benötigt. -Verkaufspreis von Weizen/Mais = 170/150 Euro/t, für nicht benötigtes Getreide -Einkaufspreis von Weizen/Mais = 238/210 Euro/t -Verkaufspreis von Zuckerrüben: 36 Euro/t unter 6000t; 10 Euro ab mehr als 6000t (wegen Agrarregeln in der EU) -Planzkosten Weizen/Mais/Zuckerrüben = 150/230/260 Euro/ha -Ertrag in t/ha für Weizen/Mais/Zuckerrüben = 2.5/3/20 x 1= Land für Weizen; x 2= Land für Mais; x 3= Land für Zuckerrüben; w 1= verkaufter Weizen in Tonnen; w 2= verkaufter Mais in Tonnen; w 3= verkaufte Zuckerüben zu gutem Preis; w 4= verkaufte Zuckerüben zu schlechtem Preis; y 1= Tonnen gekaufter Weizen; y 2= Tonnen gekaufter Mais

(8)

2 -s tu fi g e P ro g ra m m e , B e is p ie l

S to c h a s ti c P r o g r a m m in g m in 1 5 0 x

1

+ 2 3 0 x

2

+ 2 6 0 x

3

+ 2 3 8 y

1

– 1 7 0 w

1

+ 2 1 0 y

2

– 1 5 0 w

2

-3 6 w

3

-1 0 w

4

s .t . x

1

+ x

2

+ x

3

≤ 5 0 0 2 .5 x

1

+ y

1

– w

1

≥ 2 0 0 3 x

2

+ y

2

– w

2

≥ 2 4 0 w

3

+ w

4

≤ 2 0 x

3

w

3

≤ 6 0 0 0 x

1

,x

2

,x

3

,y

1

,y

2

,w

1

,w

2

,w

3

,w

4

≥ 0

(9)

2 -s tu fi g e P ro g ra m m e , B e is p ie l

S to c h a s ti c P r o g r a m m in g

Unser Farmer ist verunsichert: Ertrag hängt doch sehr vom Wetter ab. Annahme, der Ertrag je ha erhöht / erniedrigt sich um 20%:

6000-100Verkauf in Tonnen ---Einkauf in Tonnen

6000240300Ertrag in Tonnen

30080120Anzahl ha

ZuckerrübenMaisWeizenPflanzenart

G e w in n b e i o p ti m a le r L ö s u n g : 1 1 8 .6 0 0 E u ro

6000-350Verkauf in T. ---Einkauf in T.

6000240550Ertrag in T.

25066.67183.33Anzahl ha

ZuckerrMaisWeizenPflanzenart 6000--Verkauf in T. -180-Einkauf in T.

600060200Ertrag in T.

37525100Anzahl ha

Zuckerr.MaisWeizenPflanzenart max. Gewinn bei +20%: 167.667 Euromax. Gewinn bei -20%: 59.950 Euro

(10)

2 -s tu fi g e P ro g ra m m e , B e is p ie l

S to c h a s ti c P r o g r a m m in g

Unser Farmer würde gerne flexibel reagieren können. Entscheidungen für das Land (x 1,x 2,x 3) müssen sofort gefällt werden, aber die anderen Entscheidungen hängen von den Erträgen je ha ab. Bilde 3 Szenarios mit index 1,2,3. Jedes Szenario habe Eintrittswahrscheinlichkeit 1/3. min 150x 1+ 230x 2+ 260x 3 –1/3*(170w 11-238y 11+150w 21-210y 21+36w 31+10w 41) Szenario 1 –1/3*(170w 12-238y 12+150w 22-210y 22+36w 32+10w 42) Szenario 2 –1/3*(170w 13-238y 13+150w 23-210y 23+36w 33+10w 43) Szenario 3 s.t. x 1+ x 2+ x 3≤500, 3x 1+ y 11–w 11≥200, 3.6x 2+ y 21–w 21≥240, w 31+ w 41≤24x 3, w 31≤6000, 2.5x 1+ y 12–w 12≥200 3x 2+ y 22–w 22≥240, w 32+ w 42≤20x 3, w 32≤6000, 2x 1+ y 13–w 13≥200, 2.4x 2+ y 23–w 23≥240, w 33+ w 43≤16x 3, w 33≤6000, x, y, w ≥0

(11)

2 -s tu fi g e P ro g ra m m e , B e is p ie l

S to c h a s ti c P r o g r a m m in g

s=3 (-20%)

s=2

s=1 (+20%)

1. Stufe 5000 5000 -

240 - -

425 225 -

Ertrag in Tonnen Verkauf in Tonnen Einkauf in Tonnen 4000 4000 -

192 - 48

340 140 -

Ertrag in Tonnen Verkauf in Tonnen Einkauf in Tonnen

6000 6000 -

288 48 -

510 310 -

Ertrag in Tonnen Verkauf in Tonnen Einkauf in Tonnen

25080170Anzahl ha

ZuckerrübenMaisWeizenPflanzenart

E rw a rt e te r G e w in n b e i o p ti m a le r L ö s u n g : 1 0 8 .3 9 0 E u ro D u rc h s c h n it tl ic h e r G e w in n d e r o p ti m a le n E in z e llö s u n g e n : 1 1 5 .4 0 6 E u ro D if fe re n z = 7 0 1 6 E u ro i s t „e rw a rt e te r W e rt v o n p e rf e k te r In fo rm a ti o n “

(12)

m e h rs tu fi g e P ro g ra m m e , fo rm a l

S to c h a s ti c P r o g r a m m in g [ ] [ ] H t x x

h x W x T

h x W t s

x c E x c E x c z

tt

HHHHHHH

HHH H

,..., 2 , 0 ) ( ; 0

), ( ) ( ) ( ) (

), ( ) ( ) (

, . .

... ) ( ) ( min ... ) ( ) ( min min

1

111

222211

111

22211 2

= ≥ ≥ = + = + =

+ + + =

−−−

ω ω ω ω ω

ω ω ω

ω ω ω ω

ξξ

M

(13)

m e h rs tu fi g e P ro g ra m m e , fo rm a l

S to c h a s ti c P r o g r a m m in g c

1

V e k to r in ℚ

^{n 1}

, h

1

Ve kt or in ℚ

m 1

, ξ

t

(ω ) = (c

t

(ω ),h

t

(ω ),T

1t-1

(ω ),. .., T

mtt-1

(ω )) is t e in Z uf al ls ve kt or , d ef in ie rt au f ( Ω ,Σ

t

,P ), f ü r a lle t = 2, ... ,H . D ab ei is t Σ

t

⊆ Σ

t+1

. W

t

is t e in e fe st e M at rix u nd s pi eg el t d en fe st en R ec ou rs e w id er .

{}{3} {1,2,3}

{2} {}{3}

{1} {1,3} {2,3} {1,2} {1,2,3}

{1,2}

Σ

t

Σ

t+1

E n ts c h e id u n g e n x h ä n g e n v o n d e r H is to ri e b is z u m Z e it p u n k t t a b , d ie H is to ri e b e z e ic h n e n w ir m it ω

t

Ω = {1 ,2 ,3 }

(14)

m e h rs tu fi g e P ro g ra m m e , d e te rm in is ti s c h e s Ä q u iv a le n t, V e rs io n 1

S to c h a s ti c P r o g r a m m in g a ls d y n a m is c h e s P ro g ra m m : und x

x T h x W t s

x c x Q

H

HHHHH

0 ) (

, ) ( ) ( ) ( . .

) ( ) ( min )) ( , (

11

1

≥ − = =

−−

−

ω ω ω ω ω ω ω ξ . 0 ) (

, ) ( ) ( ) ( . .

)} , ( { ) ( ) ( min )) ( , (

11

1

≥ − =

+ =

−−

−

ω ω ω ω ξ ω ω ω ξ

ξ t

ttttt

txtttt

x

x T h x W t s

x Q E x c x Q D e r W e rt , d e n w ir s u c h e n i s t: . 0 , . .

)} , ( { ) ( min

1111

111

≥ = + x h x W t s

x Q E x c ξ ω

ξ

le tz te S tu fe S tu fe n 2 ,. .. H -1 1 . S tu fe

(15)

M e h rs tu fi g e P ro g ra m m e , d e te rm in is ti s c h e s Ä q u iv a le n t, V e rs io n 2

S to c h a s ti c P r o g r a m m in g A ls ( g e m is c h t g a n z z a h lig e s ) lin e a re s P ro g ra m m : A n n a h m e n : • k la re S tu fu n g v o n E n ts c h e id u n g s v a ri a b le n u n d Z u fa lls e re ig n is s e n • Z u fa lls e re ig n is s e u n a b h ä n g ig v o n u n s e re n E n ts c h e id u n g e n (D a s W e tt e r w ir d i m N o rm a lf a ll m o rg e n s o n n ig o d e r re g n e ri s c h s e in , e g a l, w e lc h e E n ts c h e id u n g w ir i n u n s e re m O p ti m ie ru n g s p ro b le m t re ff e n .) e s s e n ti e lle A n n a h m e n f ü r s to c h a s ti s c h e P ro g ra m m e e rl a u b t d ie A u fs p a lt u n g v o n Z u fa lls p ro z e s s u n d E n ts c h e id u n g s p ro z e ß fü h rt z u S z e n a ri o b ä u m e n • e n d li c h e A n z a h l v o n m ö g li c h e n R e a li s ie ru n g e n fü r z u k ü n ft ig e n A u s g ä n g e n

(16)

M e h rs tu fi g e P ro g ra m m e , d e te rm in is ti s c h e s Ä q u iv a le n t, V e rs io n 2

S to c h a s ti c P r o g r a m m in g S z e n a ri o b a u m :

Periode 2P. 3 Periode 1 Wetter heute sonnig Wetter heute regnerisch

Wetter morgen sonnig Wetter morgen regnerisch Preise übermorgen hoch / niedrig

Szenario 1 Szenario 2 Szenario 3 Szenario 4 Szenario 5 Szenario 6 Szenario 7

Periode4

(17)

M a tr ix S to c h a s ti c P r o g r a m m in g

W1 T1,1 T1,2

W2,1 W2,2 T2,3 T2,4

T2,1 T2,2

W3,1 T3,1 W3,2 T3,2 T3,3 W3,4 T3,6 T3,7

W3,3 T3,4 T3,5

W4,1 W4,2 W4,3 W4,4 W4,5 W4,6 W4,7

(18)

M a tr ix , a n d e re D a rs te ll u n g S to c h a s ti c P r o g r a m m in g

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7

N ic h t- A n ti z ip a ti v it ä ts b e d in g u n g e n

V e rv ie lf a c h u n g v o n V a ri a b le n fü h rt z u e n tk o p p e lt e n S z e n a ri e n E in ig e V a ri a b le n m ü s s e n i n a lle n ( m a n c h e n ) a n d e re n S z e n a ri e n g le ic h s e in .

(19)

G ra p h -F o rm u li e ru n g N o n d e te r m in is ti c C o n s tr a in t L o g ic ( N C L ) E in e N C L -“ M a s c h in e “ is t d e fi n ie rt ü b e r e in e n G ra p h e n : g e g e b e n : • u n g e ri c h te te r G ra p h m it • n ic h t- n e g a ti v e n g a n z z a h lig e n G e w ic h te n a n d e n K a n te n u n d • g a n z z a h lig e n m in im u m in -f lo w c o n s tr a in ts a n K n o te n E in e K o n fi g u ra ti o n d e r M a s c h in e i s t e in e O ri e n ti e ru n g ( R ic h tu n g ) d e r K a n te n , s o d a s s d ie S u m m e d e r e in g e h e n d e n K a n te n g e w ic h te a n j e d e m K n o te n m in d e s te n s s o g ro ß is t, w ie d e r m in im u m i n -f lo w c o n s tr a in t fü r d e n j e w e ili g e n K n o te n . E in Z u g v o n e in e r K o n fi g u ra ti o n z u e in e r A n d e re n i s t d ie U m k e h ru n g e in e r K a n te , s o d a s s d ie B e d in g u n g e n a n K o n fi g u ra ti o n e n e in g e h a lt e n w e rd e n .

(20)

G ra p h -F o rm u li e ru n g N o n d e te r m in is ti c C o n s tr a in t L o g ic ( N C L ) F ra g e s te llu n g e n : • S e ie n z w e i K o n fi g u ra ti o n e n g e g e b e n . G ib t e s e in e F o lg e v o n Z ü g e n v o n A n a c h B ? • G e g e b e n s e ie n 2 K a n te n E

A

u n d E

B

u n d O ri e n ti e ru n g e n f ü r d ie s e . G ib t e s K o n fi g u ra ti o n e n A u n d B , s o d a s s E

A

d ie g e w ü n s c h te R ic h tu n g i n A u n d E

B

in B h a b e n , u n d e s e in e F o lg e v o n Z ü g e n v o n A n a c h B g ib t?

(21)

G ra p h -F o rm u li e ru n g N o n d e te r m in is ti c C o n s tr a in t L o g ic ( N C L ) A N D /O R C o n s tr a in t G ra p h e n ( s p e z ie lle N C L -G ra p h e n ) • K n o te n m it m in im u m i n -f lo w c o n s tr a in t 2 u n d K a n te n -E in g a n g s g e w ic h te 1 , 1 u n d 2 v e rh a lt e n s ic h i n f o lg e n d e m S in n e w ie e in A N D : D ie K a n te m it G e w ic h t 2 k a n n n u r n a c h a u ß e n z e ig e n , w e n n b e id e K a n te n m it G e w ic h t 1 n a c h i n n e n z e ig e n . • K n o te n m it m in im u m i n -f lo w c o n s tr a in t 2 u n d K a n te n -E in g a n g s g e w ic h te 2 , 2 u n d 2 v e rh a lt e n s ic h i n f o lg e n d e m S in n e w ie e in O R : E in e d e r K a n te n k a n n n u r n a c h a u ß e n z e ig e n , w e n n e in e d e r b e id e n a n d e re n K a n te n n a c h i n n e n z e ig t. A B

C A B

C A N D O R

(22)

G ra p h -F o rm u li e ru n g N o n d e te r m in is ti c C o n s tr a in t L o g ic ( N C L ) U n te rs c h ie d e N C L u n d k la s s is c h e L o g ik N C L k la s s is c h * n ic h t- d e te rm in is ti s c h * d e te rm in is ti s c h * n ic h t a p ri o ri f e s tg e le g t, w a s I n p u ts , * In p u ts u n d O u tp u ts s ta ti s c h u n d w a s O u tp u ts s in d * k e in N O T * In v e rt e r e s s e n ti e ll N ic h t- D e te rm in is m u s : W e n n z .B . z w e i K a n te n i n e in A N D h in e in g e h e n , is t e s d e r 3 . K a n te e rl a u b t , n a c h a u s s e n g e d re h t z u w e rd e n . E s i s t n ic h t z w in g e n d . O b e s m ö g lic h i s t, e in e b e s ti m m te K a n te n a c h a u s s e n z u d re h e n , is t n ic h t lo k a l e rs ic h tl ic h .

(23)

G ra p h -F o rm u li e ru n g N o n d e te r m in is ti c C o n s tr a in t L o g ic ( N C L ) B la u -R o t- A d a p te r B e tr a c h te t m a n A N D /O R -G ra p h e n a ls S c h a lt k re is e , m ö c h te n w ir v e rs c h ie d e n e O u tp u ts m it I n p u ts v e rb in d e n . B e i v e rs c h ie d e n a rt ig e n K a n te n ( ro t/ b la u ) is t d a s n ic h t d ir e k t m ö g lic h . A B

C D E

F

Es gibt eine nicht-verbundene Kante bei F. Etwas Überlegung besagt, solche Kanten treten in Paaren auf: Rote Kanten treten nur in OR-Elementen auf, d.h., F-E-A führt zu einer weiteren freien Kante X. Wir verbinden F mit X.

(24)

G ra p h -F o rm u li e ru n g N o n d e te r m in is ti c C o n s tr a in t L o g ic ( N C L ) P S P A C E -c o m p le te n e s s ( z u n ä c h s t: P S P A C E -h a rd ) Ü b e rb lic k : C N F L o g ik ∀x ∃y ∀w ∃z

satisfied try out satisfied in

.. .

satisfied in / out

try in / outtry in

A B K a n n m a n A u m d re h e n , s o d a s s s ic h a u c h B u m d re h e n l ä s s t?

Eine Möglichkeit, den Wahrheitsgehalt einer QBF zu finde geht so: Gehe von außen nach innen durch die Quantifizierer. Bei Allvariaben: setze diese erst auf false, dann auf true und prüfe jeweils rekursiv, ob der Rest erfüllbar ist. Falls ja, return true, sonst false. Bei Existenzvariablen: return true, g.d.w. eine derZuweisungen (true/false) erfolgreich ist.

(25)

G ra p h -F o rm u li e ru n g N o n d e te r m in is ti c C o n s tr a in t L o g ic ( N C L ) P S P A C E -c o m p le te n e s s ( z u n ä c h s t: P S P A C E -h a rd ) Ü b e rb lic k :

Quantifizierer-Schaltungen: Wenn ein Quantifizierer aktiviertwird •sind alle Variablen links (im Sinne des Bildes, vorige Folie) von ihm fixiert •und die Variablen des Quantifizierers und rechts davon sind frei Ein Quantifizierer kann sich dann und nur dann alssatisfiedmelden, wenn die Formel von diesem Quantifizierer bis ganz nach rechts unter der Berücksichtigung der Quantoren erfüllbar ist. Ein Quantifizierer wird aktiviert, indem seinetry-in-Kante so gedreht wird, dass sie in den Quantifizierer hineinzeigt. Seinetry-out-Kante kann nur vom Quantifizierer weg zeigen, wenn dietry-in-Kante hineinzeigt, und seine Variablen fixiert sind. Die Variablenzuweisung wird durch zwei herausgehende Kanten (x und x) repräsentiert, von denen nur eine aus dem Quantifizierer hauszeigen kann.

(26)

G ra p h -F o rm u li e ru n g N o n d e te r m in is ti c C o n s tr a in t L o g ic ( N C L ) P S P A C E -c o m p le te n e s s ( z u n ä c h s t: P S P A C E -h a rd ) D e ta ils :

Kodierung der CNF-Formel Die CNF Formel wird entsprechend herkömmlicher Logik verdrahtet. Bsp:

x .. . y z w (x ∨ y) ∧ ... ∧ (z ∨ x ∨ w )

umgedrehtes AND -> Signalsplitter

(27)

G ra p h -F o rm u li e ru n g N o n d e te r m in is ti c C o n s tr a in t L o g ic ( N C L ) P S P A C E -c o m p le te n e s s V a ri a b le n f ix ie re n ( „B it s f a n g e n “) L a tc h e s s p e ic h e rn B it s f e s t: L A B

C L A B

C

fixiert, A aktivgelöst, A aktivgelöst, B aktivfixiert, B aktiv

L n .l in k s = > e in e d e r b e id e n a n d e re n O R -K a n te n n a c h l in k s = > B l in k s ( A e g a l) u n d C n a c h u n te n L n .r e c h ts = > d ie O ri e n ti e ru n g d e r b e id e n a n d e re n O R -K a n te n n a c h r e c h ts is t m ö g lic h = > U m d re h e n v o n C i s t m ö g li c h . W u rd e C g e d re h t, k a n n m a n d a s L a tc h w ie d e r fe s tf ri e re n u n d L n a c h l in k s z e ig e n l a s s e n .

(28)

G ra p h -F o rm u li e ru n g N o n d e te r m in is ti c C o n s tr a in t L o g ic ( N C L ) P S P A C E -c o m p le te n e s s E x is te n z q u a n to r tr y i n tr y o u t s a ti s fi e d o u t s a ti s fi e d i n

(29)

G ra p h -F o rm u li e ru n g N o n d e te r m in is ti c C o n s tr a in t L o g ic ( N C L ) P S P A C E -c o m p le te n e s s A llq u a n to r tr y i n tr y o u t s a ti s fi e d i n s a ti s fi e d o u t

x x

Beh: Ein Allquantor Schaltkreis kann seine satisfied-out Kante nur nach rechts (gem. Bild) richten, wenn zuerst x nach oben zeigt und die satisfied-in Kante nach links zeigt, und später x noch oben und satisfied-in nochmal nach links zeigt. Bew. s. Hearn and Demain: PSPACE-Completeness of Sliding-Block Puzzles and Other Problems through the Nondeterministic Constraint Logic Model of Computation Alles zusammen: NCL ist PSPACE-schwer

(30)

G ra p h -F o rm u li e ru n g N o n d e te r m in is ti c C o n s tr a in t L o g ic ( N C L ) P S P A C E -c o m p le te n e s s K re u z u n g e n D ie b is h e ri g e n G ra p h e n w a re n n ic h t p la n a r. M it H ilf e v o n K re u z u n g e n k a n n m a n d ie G ra p h e n i n p la n a re G ra p h e n u m w a n d e ln . In d e r K o n s tr u k ti o n o b e n k a n n v o n A u n d B n u r e in e r n a c h a u s s e n z e ig e n . E b e n s o v o n C u n d D .

(Begründung s. Hearn and Demain: PSPACE-Completeness of Sliding-Block Puzzles and Other Problems through the Nondeterministic Constraint LogicModel of Computation)

A B

C

D

(31)

G ra p h -F o rm u li e ru n g N o n d e te r m in is ti c C o n s tr a in t L o g ic ( N C L ) P S P A C E -c o m p le te n e s s P ro te c te d O R E in O R i s t p ro te c te d , w e n n w e g e n g lo b a le r B e d in g u n g e n e s n ic h t v o rk o m m e n k a n n , d a s s 2 d e r 3 K a n te n i n d a s O R h in e in z e ig e n . D a n n i s t e s n ic h t s c h lim m , w e n n d a s O R f ü r d e n F a ll, d a s s d o c h 2 K a n te n h in e in z e ig e n , n ic h t ri c h ti g fu n k ti o n ie rt u n d F e h le r m a c h t. M a n k a n n j e d o c h a u s P ro te c te d O R s e in „ e c h te s “ O R b a u e n : C H I G E D F A B A , B , u n d C v e rh a lt e n s ic h w ie e in O R ; a lle O R s i n n e rh a lb d e r S c h a lt u n g s in d p ro te c te d O R s

O p ti m a l C o n tr o l • B e tr a c h te t w ir d f o lg e n d e r S p e z ia lf a ll: x

L in e a re s S y s te m m it q u a d ra ti s c h e n K o s te n