Gebrochenrationale  Funktionen

10 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, HAW, WS 2009

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Gebrochenrationale  Funktionen

Gebrochenrationale  Funktion Gebrochenrationale  Funktion

f x = Z x

N x = a_m x^m  a_m−1 x^m−1  . . .  a₁ x  a₀ b_n xⁿ  b_n−1 xⁿ⁻¹  . . .  b₁ x  b₀

Z (x),   N (x) – ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)

n > m – echt gebrochenrationale Funktion n ≤ m – unecht gebrochenrationale Funktion

Jede unecht gebrochenrationale Funktion kann in dieser Form dargestellt werden:

f x = Z x

N x = P_m−n x  Z x N x

P_m−n x – Polynomfunktion (m – n). Grades P₀ x – eine Konstante

Z x

N x – eine echt gebrochenrationale Funktion

12 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, HAW, WS 2009

Gebrochenrationale  Funktion:   

Gebrochenrationale  Funktion:    Asymptotisches  Verhalten Asymptotisches  Verhalten

x  ± ∞

n > m – f (x) ist eine echt gebrochenrationale Funktion lim

x  ±∞

f x = 0

Beispiele: lim

x  ± ∞

1

x = 0 lim

x  ± ∞

1

x² = 0 lim

x  ± ∞

8 x

x³  2 x = 0

Der Graph nähert sich unbegrenzt der x-Achse. Diese Achse nennt man dann eine Asymptote der Kurve mit der Asympto- tengleichung

y_A = 0

Echt  gebrochenrationale  Funktion:   

Echt  gebrochenrationale  Funktion:    Beispiel  1 Beispiel  1

Abb. 2-1: Echt gebrochenrationale Funktion y = f (x)

x y

f x = 1 x

Echt  gebrochenrationale  Funktion:   

Echt  gebrochenrationale  Funktion:    Beispiel  2 Beispiel  2

Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, HAW, WS 2009

13-2

Abb. 2-2: Echt gebrochenrationale Funktion y = f (x)

f x = 1 x²

Echt  gebrochenrationale  Funktion:   

Echt  gebrochenrationale  Funktion:    Beispiel  3 Beispiel  3

Abb. 2-3: Echt gebrochenrationale Funktion y = f (x)

f x = 8 x x³  2 x

Echt  gebrochenrationale  Funktion:   

Echt  gebrochenrationale  Funktion:    Beispiel  4 Beispiel  4

Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, HAW, WS 2009

13-4

Abb. 2-4: Echt gebrochenrationale Funktion y = f (x)

f x = 1



Gebrochenrationale  Funktion:   

Gebrochenrationale  Funktion:    Asymptotisches  Verhalten Asymptotisches  Verhalten

x  ± ∞

f x = Z x

N x = a_n xⁿ  a_n−1 xⁿ⁻¹  . . .  a₁ x  a₀ b_n xⁿ  b_n−1 xⁿ⁻¹  . . .  b₁ x  b₀

m = n

lim

x  ± ∞

f x = a_n

b_n ⇒ y_A = a_n b_n

Beispiele: lim

x  ± ∞

2 x

x  3 = 2 lim

x  ±∞

−3 x²  7 x − 2

2 x² − 5 = − 3 2 lim

x  ± ∞

x³

3 x³ − 2 x² = 1 3

Unecht  gebrochenrationale  Funktion  (m = n):   

Unecht  gebrochenrationale  Funktion  (m = n):    Beispiel  1 Beispiel  1

15-1 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, HAW, WS 2009

Abb. 3-1: Unecht gebrochenrationale Funktion y = f (x)

f x = 2 x x  3

y = 2  – waagerechte Asymptote, x = ­3  – senkrechte Asymptote y = 2

x = ­3

Unecht  gebrochenrationale  Funktion  (m = n):   

Unecht  gebrochenrationale  Funktion  (m = n):    Beispiel  2 Beispiel  2

Abb. 3-2: Unecht gebrochenrationale Funktion y = f (x)

f x = 3 x² x²  4

y = 3  – waagerechte Asymptote y = 3

Unecht  gebrochenrationale  Funktion  (m = n):   

Unecht  gebrochenrationale  Funktion  (m = n):    Beispiel  3 Beispiel  3

15-3 Ma 1 – Lubov Vassilevskaya, HAW, WS 2009

Abb. 3-3: Unecht gebrochenrationale Funktion y = f (x)

f x = 3 x² x²  5 x

y = 3

y = 3  – waagerechte Asymptote, x = ­5  – senkrechte Asymptote

Unecht  gebrochenrationale  Funktion  (m = n):   

Unecht  gebrochenrationale  Funktion  (m = n):    Beispiel  4 Beispiel  4

Abb. 3-4: Unecht gebrochenrationale Funktion y = f (x)

f x = 4 x⁴

x⁴  2 x³  2 x² y = 4  – waagerechte Asymptote

y = 3