Beispiel 1

(1)

Beispiel 1

a) Wie viele Wege mit zwei Kanten führen

vom grünen Knoten 3 zum roten Knoten 2?

b) Wie viele Wege mit vier Kanten führen

vom grünen Knoten 3 zum roten Knoten 2?

c) Auf wie viele Arten kann man vom grünen Knoten 3 zum roten Knoten 2 gehen, wenn der Weg maximal 5 Kanten lang ist?

(2)

"Adjazenzmatrix" M des Graphen:

!

1 2 3 4 5 6 1

2 3 4 5 6

0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0

!

"

## ##

#

$

%

&&&

&&

Die Adjazenzmatrix M wird quadriert: M²

0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0

!

"

####

##

$

%

&&&

•

0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0

!

"

####

##

$

%

&&&

=

2 0 0 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 2 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0

!

"

####

##

$

%

&&&

Dabei wurde das Element M²_3,2 folgendermassen berechnet:

M²_3,2 = 1 · 1 + 0 · 0 + 0 · 0 + 1 · 0 + 1 · 0 + 1 · 1 = 2

Die fette 1 bedeutet: Anzahl Kanten von ③ nach ① Die fette 1 bedeutet: Anzahl Kanten von ① nach ② Also bedeutet 1 · 1: Anzahl Wege von ③ nach ② via ① und 1 · 1: Anzahl Wege von ③ nach ② via ⑥

(3)

Um die weiteren Fragen zu klären, muss man die Potenzen von M bestimmen:

M =

0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0

!

"

####

##

$

%

&&&

M² =

2 0 0 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 2 2 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0

!

"

####

##

$

%

&&&

M³ =

2 3 3 3 1 0 0 1 1 1 0 0 4 1 2 5 2 2 2 0 0 2 1 1 1 2 2 2 1 0 2 1 1 2 1 1

!

"

####

##

$

%

&&&

M⁴ =

6 2 3 8 3 3 2 0 0 2 1 1 7 6 6 9 4 2 2 3 3 3 1 0 4 1 2 5 2 2 3 3 3 5 2 1

!

"

####

##

$

%

&&&

M⁵ =

11 9 9 14 6 3 2 3 3 3 1 0 15 9 11 21 8 6 6 2 3 8 3 3 7 6 6 9 4 2 8 4 5 10 4 3

!

"

####

##

$

%

&&&

Summe der Potenzen : M^k

k=1

!

5 ⁼

21 15 16 28 11 7 5 4 4 7 2 1 28 18 21 38 16 11 11 6 7 14 5 4 13 9 11 17 8 5 14 9 10 19 8 5

"

#

$$$$

$$

%

&

'''''' '''''' '''''' '''

(4)

Beispiel 2: HITS

In einem Netz ist folgende "Verlinkung"

gegeben:

Welches ist der "beste" Knoten?

a) als "Autorität": (a_i)

• wird als besonders gut angesehen, wenn viele Links auf ihn verweisen!

b) als "Hub": (b_i)

• wird als besonders gut angesehen,

wenn seine Links auf viele gute Autoritäten verweisen.

(5)

Mathematische Modellierung der Situation:

Algorithmus von Jon Kleinberg (1999):

HITS (Hypertext Induced Topic Selection) Wir gehen von n Knoten C_i aus, wobei jeder Knoten zu einem gewissen Zeitpunkt durch ein Paar (a_i, b_i) charakterisiert wird. Die

Verknüpfung der Knoten erfolgt durch die zugehörige Adjazenzmatrix M.

(a_i: Autoritäts-Gewicht, b_i: Hub-Gewicht) Normierung: Die Vektoren a!

und b!

sind Einheitsvektoren.

Es gelten: b!

= Mia! a!

= M ^Tib!

(T Transposition)

(6)

Im Beispiel:

b!

= Mia!

=

0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0

!

"

####

##

$

%

&&&

i a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆

!

"

####

###

$

%

&&&

&&

=

a₂ +a₃ +a₄ a₂

a₁ +a₄ +a₅ +a₆ a₁

a₃

a₂ +a₄ +a₅

!

"

####

###

$

%

&&&

&&

= b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ b₆

!

"

####

###

$

%

&&&

&&

a!

= M ^Tib!

=

0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

!

"

####

##

$

%

&&&

i b₁ b₂ b₃ b₄ b₅ b₆

!

"

####

###

$

%

&&&

&&

=

b₃ +b₄ b₁ +b₆ b₁ +b₅ b₁ +b₂ +b₃ +b₆

b₃ +b₆ b₃

!

"

####

###

$

%

&&&

&&

= a₁ a₂ a₃ a₄ a₅ a₆

!

"

####

###

$

%

&&&

&&

Iteration: b!

' = MM^Tib!

und a!

' = M ^TMia! Wichtig sind damit die (symmetrischen) Matrizen:

MM ^T⁼

3 1 1 0 1 2 1 1 1 0 0 1 1 1 4 1 0 2 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 2 1 2 0 0 3

!

"

####

##

$

%

&&&

, M ^TM =

2 0 0 1 1 1 0 2 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 4 2 1 1 1 0 2 2 1 1 0 0 1 1 1

!

"

####

##

$

%

&&&

(7)

Wie entwickeln sich die Vektoren

a !

und

b !

? Beispiel: a!

' = (M ^TM)¹⁰a!

und b!

' = (MM^T)¹⁰b!

1 0 0 0 0 0

!

"

## ##

#

$

%

&&&

&&

, 1 0 0 0 0 0

!

"

## ##

#

$

%

&&&

&&

!

0.258 0.389 0.207 0.709 0.433 0.223

!

"

## ##

#

$

%

&&&

&&

,

0.484 0.263 0.601 0.095 0.077 0.567

!

"

## ##

#

$

%

&&&

&&

0 0 1 0 0 0

!

"

## ##

#

$

%

&&&

&&

, 0 0 0 0 1 0

!

"

## ##

#

$

%

&&&

&&

!

0.258 0.389 0.208 0.709 0.432 0.222

!

"

## ##

#

$

%

&&&

&&

,

0.484 0.263 0.600 0.095 0.077 0.567

!

"

## ##

#

$

%

&&&

&&

(8)

Beispiel 3: Page Rank (Google)

Welches ist der "beste" Knoten?

Annahmen:

• Man surft zufällig im Netz. Ist man auf einer bestimmten Seite, wählt man mit Wahr-

scheinlichkeit p (Google: 0.85) einen der

Links auf der Seite und mit 1-p springt man zu einer zufällig gewählten Seite des Netzes.

• Die entsprechenden Links sind je gleich wahrscheinlich .

(9)

Die Adjazenzmatrix wird umgewandelt zu einer stochastischen Matrix S mit Zeilensumme 1:

q / 6 p / 3 + q / 6 p / 3 + q / 6 p / 3 + q / 6 q / 6 q / 6

q / 6 q / 6 q / 6 p + q / 6 q / 6 q / 6

p / 4 + q / 6 q / 6 q / 6 p / 4 + q / 6 p / 4 + q / 6 p / 4 + q / 6

p + q / 6 q / 6 q / 6 q / 6 q / 6 q / 6

q / 6 q / 6 p + q / 6 q / 6 q / 6 q / 6

q / 6 p / 3 + q / 6 q / 6 p / 3 + q / 6 p / 3 + q / 6 q / 6

!

"

####

##

$

%

&&&

Eine zugehörige Markoff-Kette: (p=0.85) 1

0 0 0 0 0

!

"

####

#

$

%

&&&

&&

!

0.025 0.308 0.308 0.308 0.025 0.025

!

"

####

#

$

%

&&&

&&

!

0.353 0.039 0.053 0.367 0.098 0.091

!

"

####

#

$

%

&&&

&&

!

0.348 0.151 0.208 0.195 0.062 0.036

!

"

####

#

$

%

&&&

&&

!····!

0.290 0.125 0.175 0.268 0.080 0.062

!

"

####

#

$

%

&&&

&&

Betrachte einfach die Matrix

( ) S

^T ⁿ^:

Die Spalten konvergieren!

.... hat Relevanz 4 von 10 (SBB hat 7 von 10)