Ubungen zur Physik I (Mechanik) ¨

Institut f¨ur Experimentelle Kernphysik

Ubungen zur Physik I (Mechanik) ¨

1. Schwerpunkt und Tr¨agheitsmoment

(a) F¨ur den Schwerpunkt R~_S gilt die Definition R~_S =

RR~rdm dm = 1

m µZ

xdm, Z

ydm, Z

zdm

¶

Da die z-Achse die Symmetrieachse sein soll, giltx_S =y_S = 0. Das Massenelement einer Kreisscheibe der Dicke dz ist gegeben durch dm =ρdV =ρπr²dz. Mit dem Strahlensatz gilt f¨ur jeden Radius r in der H¨ohe z das Verh¨altnis r/z = R/h0, sodass damit folgt: dm=ρπR²/h²₀·z²dz, also

Z

zdm= Z _h0

0

ρπR²

h²₀z³dz =ρπR² h²₀

1 4

£z⁴¤_h0

0 =ρπR²h²₀ 4 F¨ur die Schwerpunktskoordinate z_S ergibt sich demnach

z_S = 1

mρπR²h²₀ 4

Mit V = π

3R²h₀ und m =ρV folgt z_S = 3

πR²h₀ · πR²h²₀

4 = 3

4h₀ (b) F¨ur das Tr¨agheitsmoment J gilt die Definition

J = Z

r²dm=ρ· Z

r²dV =ρ·

Z Z Z

(x²+y²+z²)dxdydz

1. Ansatz: Mit der Massendichte ρ = m/l (Ausdehnung senkrecht zur Stabachse wird vernachl¨assigt) ergibt sich direkt

J =ρ· Z _l/2

−l/2

r²dr = m l ·

·1 3r³

¸_l/2

−l/2

= 1 12ml²

2. Ansatz: F¨ur jedes x entlang der Stabachse wird nun ¨uber Quader der Dicke dx integriert, wobei die y-Achse die Rotationsachse sei:

J = ρ Z _l/2

−l/2

Z _a/2

−a/2

Z _b/2

−b/2

(x²+z²)dxdydz

= ρ1 3

³

[x³]^l/2_−l/2[y]^a/2_−a/2[z]^b/2_−b/2+ [x]^l/2_−l/2[y]^a/2_−a/2[z³]^b/2_−b/2´

= 1

12ρlab·l²(1 +b²/l²)≈ 1 12ml² wobei m=ρlab und l Àa, bverwendet wurde.

2. Tr¨agheitsmoment und Rotationsenergie

(a) Vollkugel: Diez-Achse werde in die Drehachse gelegt,a sei der Abstand der Masse dm von der Drehachse. Mit a = r·sinθ und dV = r²drsinθdθdφ folgt dann f¨ur das Drehmoment J:

J = Z

a²dm= Z

a²ρdV

= Z _2π

0

Z _π

0

Z _R

0

ρr⁴drsin³θdθdφ=ρ·2π·R⁵ 5

Z _π

0

sin³θdθ

= ρ·2π· R⁵ 5

·

−cosθ+1 3cos³θ

¸_π

0

=ρ·2π·R⁵ 5 · 4

3 = 2 5mR²

wobei in der letzten Zeile noch ρ=m/V und V = 4/3πR³ benutzt wurde.

(b) Hohlkugel: Die Fl¨achenmassendichte istρ_A =m/A mit der Fl¨acheA= 4πR². Das Fl¨achenelement dA ist gegeben durch dA = R²sinθdθdφ und a = Rsinθ. Das Tr¨agheitsmoment J ist dann

J = Z

a²dm= Z

a²ρ_AdA

= Z _2π

0

Z _π

0

ρ_AR⁴sin³θdθdφ=ρ_A·2π·R⁴ Z _π

0

sin³θdθ

= ρ_A·2π·R⁴4 3 = 2

3mR²

Das Tr¨agheitsmoment einer Hohlkugel ist gr¨oßer als das einer Vollkugel gleicher Masse.

(c) Die Vollkugel kommt zuerst an, da sie das kleinere Tr¨agheitsmoment besitzt. Die Abrollgeschwindigkeit v und die Rotationsfrequenz ωsind ¨uber die Rollbedingung v = R·ω gekoppelt. Die Kugel mit kleinerem J nimmt weniger Rotationsener- gie auf, hat also bei gleichem Verlust an potentieller Energie gr¨oßere kinetische (Translations-)Energie.

(d) Aus der Energieerhaltung folgen die Geschwindigkeiten der beiden Kugeln:

mgh₀ = E_kin,trans+E_rot = m

2v²+J

2ω² = m

2v²+J 2

v² R²

⇔ = v² = mgh0 m

2 +_2R^J2

= 2gh0

1 + _mR^J2

v =

s 2gh₀ 1 + _mR^J2

F¨ur die Vollkugel ergibt sich eine Geschwindigkeitv_V = 5.29 m/s, f¨ur die Hohlkugel folgt v_H = 4.85 m/s.

Übungen zur Physik I (Mechanik) WS 04/05

7. Übungsblatt, Lösungen Teil 2 02.12.2004

Bearbeitung bis Mi. 08.12.2004

3/3 3) Radverlust (2)

Folgende Größen sind bekannt:

m 1kg J , m 34 , 0 s ,

20m h 72km v , kg

20 = = = = ⋅

= r

m

s2

m 85kg , 7 04

, 0 04

,

0 ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

= F m g

F_{roll N}

s 81 , 2 58 2 ;

2

2 2

, = + = =

T J

E_kinRad mv ω ω π

0,107s 20 s

34 , 0 2

2 ⋅ = ⋅ =

= π π

v T r

Die Bedingung dafür, dass das Rad zum Stillstand kommt lautet:

2 2

2

2 Jω

s mv

F_roll⋅ = +

( ) ^{( ) ( )}

81 , 9 20 04 , 0 2

8 , 58 20

20 04

, 0 2

2 2 2

2 ≈

⋅

⋅

⋅

+

= ⋅

⋅

⋅

⋅

= +

g m J

s mv ω

4) Trägheitsmoment eines massiven Dreiecks (3) cm

30 ,

cm 20 ,

g

20 = =

= a b

m

Wähle a entlang der x-Achse; die Dicke des Bleches sei s.

a b y x a b ax

y=−b + , =− +

: 2 ;

, 1 ρ ρ

ρ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

⋅

=s x dy m a b s

dm Materialdichte

dy b y

a y s dy a b y s a

y dm y J

b b

a ⁼

∫

∫

∫

0

2 3

0 2

2 ρ ρ

6 12 3

4 3

4

2 3

3 3

0 3

4 b

b m a b s

a b y s

b a y s

b

=

⋅

⋅

=

 

− +

⋅

⋅

 =



 



− +

⋅

⋅

= ρ ρ ρ

( )

6 3 ,

20⋅ 0 = ⋅ ⁻

=