Versuch 12 Tr¨ agheitsmoment

Physikalisches Anf¨ angerpraktikum der Universit¨ at Heidelberg - Praktikum I Versuch 12 Tr¨ agheitsmoment

Versuch 12 Tr¨ agheitsmoment

Abbildung 1: Versuchsaufbau.

I Messaufbau

• Drehpendel mit senkrechter Achse.

• Drehgabel und Drehtisch

• Balkenwaage (bis 2 kg belastbar) gemeinsam f¨ ur alle Aufbauten.

• Handstoppuhr und Messschieber.

• Balancierschneide

• Zubeh¨or: Al-Scheibe mit Schnurnut und Winkelteilung, runde Messing- scheibe, unregelm¨aßige Messingscheibe, Gewichtsteller mit Zugschnur, 6 Auflegegewichte von je 40 g, Selbstklebeetiketten.

II Literatur

• W. Walcher, Praktikum der Physik, B.G.Teubner Stuttgart.

• Standardwerke der Physik: Gerthsen, Bergmann-Sch¨afer, Tipler.

• Homepage des Praktikums:

http://www.physi.uni-heidelberg.de/Einrichtungen/AP/

III Vorbereitung

Bereiten Sie sich auf die Beantwortung von Fragen zu folgenden Themen vor:

Drehbewegung fester K¨orper, Tr¨agheitsmoment, Drehmoment, Drehimpuls, Rotationsenergie, Steinerscher Satz.

Verst¨ andnisfragen

1. Die Physik der linearen Bewegung und der Drehbewegung wird bei Ver- wendung der passenden Begriffe durch v¨ollig analoge Gleichungen beschrie- ben. Finden Sie f¨ur die folgenden Gr¨oßen der linearen Bewegung, analoge Gr¨oßen zur Beschreibung der Drehbewegung: Ort ~r, Geschwindigkeit ~v, Masse m, Kraft F, Impuls ~ ~p, kinetische Energie W . Vergleichen Sie wei- terhin folgende Gr¨oßen des Federpendels mit dem Drehpendel: lineares Kraftgesetz: F ~ = −k~r, Gesamtenergie W = 1/2kx

+ 1/2mv

, Schwin- gungsdauer T = 2π p

m/k.

2. Welches

” Kraftgesetz“ erwarten Sie bei der Drehung des Drehpendels?

3. Wie sieht die Differentialgleichung f¨ur die Schwingung eines K¨orpers mit dem Tr¨agheitsmoment J

aus, wenn sie harmonisch ist, wie sieht daf¨ ur der Energiesatz aus?

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P X

X

m

4. Betrachten Sie die Skizze. Welche Bedingung f¨ur x

muss gelten, damit der im Punkt P unterst¨ utzte K¨orper im Schwerefeld im Gleichgewicht ist?

Was hat das mit dem Schwerpunkt zu tun?

5. Formulieren Sie den Steinerschen Satz (mit Skizze).

6. Was sind die Haupttr¨agheitsmomente und die zugeh¨origen Drehachsen f¨ur einen homogenen Quader (Skizze)? Wodurch zeichnen sie sich bei freier Rotation aus?

IV Aufgaben

• Das Richtmoment eines Drehpendels ist zu bestimmen.

• Das Tr¨agheitsmoment eines unregelm¨aßig geformten K¨orpers soll f¨ ur ver- schiedene Lagen der Drehachse im K¨orper ermittelt werden.

V Durchf¨ uhrung des Versuchs

1. Skizzieren Sie den Versuchsaufbau.

2. Das Richtmoment D des Drehpendels ist ¨ uber den Zusammenhang zwischen angreifendem Drehmoment M und dem Winkel der Auslenkung φ nach der Beziehung

M = −Dφ (1)

zu bestimmen. Das Drehmoment M wird wie folgt erzeugt: Auf der Drehach- se wird die Aluminiumscheibe mit der Winkelteilung aufgesetzt und festge- schraubt. Am Umfang der Scheibe greift ¨uber eine Schnur tangential die Kraft F (Gewicht des Gewichtstellers mit aufgelegten Massest¨ ucken) an. Es ist dann

M = −F r (2)

worin r der Radius der Scheibe ist, der ¨uber den Durchmesser 2r mit dem Messschieber bestimmt wird.

H¨angen Sie den Gewichtsteller an die Schnur und l¨osen Sie die Schraube am Stativ. Drehen Sie nun den gesamten Aufbau so, dass die Schnur ¨ uber den gesamten Umfang der Scheibe anliegt. Legen Sie nacheinander die 6 Gewichte auf. Notieren Sie den jeweiligen Winkel der Scheibendrehung.

3. Zum Vergleich ist das Richtmoment D des Drehpendels aus seiner Schwingungsdauer mit einer Scheibe mit bekanntem Tr¨agheitsmoment J

zu ermitteln. Dazu wird die Al-Scheibe abgenommen und der Drehtisch aufgesetzt. Zun¨achst wird die Schwingungsdauer T

des Tisches bestimmt, dann wird die runde Messingscheibe so auf dem Drehtisch befestigt, dass ihr Mittelpunkt (K¨ornermarke) genau ¨ uber der Achse (Zeigerspitze) liegt und erneut die Schwingungsdauer gemessen (T

). Zur Ermittlung der Schwin- gungsdauer stoppen Sie jeweils 3 mal 20 Schwingungen. Bestimmen Sie den Durchmesser der Scheibe mit der Schieblehre sowie dessen Masse.

4. Der Schwerpunkt der unregelm¨aßigen Messingplatte ist auf statischem Wege zu bestimmen. Kleben Sie auf die Platte ein neues Etikett. Legen Sie die Platte auf die am Tisch festgeschraubte Schneide und ermitteln Sie zwei m¨oglichst senkrecht zueinander liegende Gleichgewichtslagen, die Sie durch Striche l¨angs der Auflageschneide auf dem Klebeetikett kennzeichnen. Die erhaltenen Schwerelinien kreuzen sich im Schwerpunkt.

5. Das Tr¨agheitsmoment der unregelm¨aßigen Platte bez¨uglich der Achse durch den Schwerpunkt senkrecht zur flachen Seite der Platte ist aus ihrer Schwingungsdauer zu bestimmen (einmal 20 Schwingungen). Hierzu wird die Platte so auf dem Drehtisch befestigt, dass der Schwerpunkt genau unter der Zeigerspitze liegt. Das Tr¨agheitsmoment des Drehtisches, den Sie in Aufgabe 3 bestimmt haben, wird von dem ermittelten Tr¨agheitsmoment (Tisch + Platte) abgezogen.

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6. Bestimmen Sie die Tr¨agheitsmomente bez¨ uglich f¨ unf parallel zur Schwer- punktachse (Aufgabe 5) im Abstand a

, ..., a

verlaufende Achsen. Ziehen Sie auf dem Klebeetikett eine Gerade in L¨angsrichtung der Platte durch den Schwerpunkt. Markieren Sie darauf einige Punkte und deren Abst¨ande vom Schwerpunkt. F¨ ur diese so markierten Achsen bestimmen Sie nun die Tr¨agheitsmomente wie in Aufgabe 5. Die Masse der Platte ist durch W¨agung zu bestimmen.

VI Auswertung

zu 2. Tragen Sie die gemessenen Winkel als Funktion des Drehmoments in ein Diagramm ein. Aus der Steigung der durch die Messpunkte zu legenden Geraden kann D errechnet werden. Der Fehler von D ist grafisch zu bestimmen.

zu 3. Das Tr¨agheitsmoment J

der runden Scheibe bestimmen Sie in einfacher Weise aus deren Masse m

und ihrem Radius r

zu

J

= 1

2 m

r

(3)

Ist das Tr¨agheitsmoment des Tisches J

, dann ist T

= 2π

r J

D (4)

und

T

= 2π

r J

+ J

D (5)

Nach Quadrieren kann aus (4) und (5) das Tr¨agheitsmoment J

durch Sub- traktion eliminiert werden. Man erh¨alt

D = 4π

J

T

− T

= 2π

m

r

T

− T

(6) Pr¨ufen Sie nach, ob die beiden gefundenen Werte f¨ur D aus Aufgabe 2 und Aufgabe 3 innerhalb der Fehlergrenzen ¨ubereinstimmen.

zu 5. Berechnen Sie das Tr¨agheitsmoment der unregelm¨aßigen Platte.

zu 6. Tragen Sie die gefundenen Werte gegen a

in ein Diagramm ein.

In dasselbe Diagramm sind die Werte f¨ ur das Tr¨agheitsmoment als Funktion von a

einzutragen, die sich aus dem Steiner’schen Satz ergeben. Zeichnen Sie zu den experimentell erhaltenen Werte die Fehlerbalken ein.

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