Prof. Dr. R. Schrader SS 2005 Katja Korherr
10. Übung zur Vorlesung Informatik I Abgabe: 01.07. bis 13.00 Uhr Besprechung: 04.07. bis 08.07.
in den Übungsgruppen
Aufgabe 1:
In der Vorlesung wurden die Algorithmen zum Einfügen und Löschen von Schlüs- seln in rot-schwarz-Bäumen vorgestellt.
a) In dem Algorithmus zum Einfügen von Knoten wurde in Schritt 7 angenommen, dass der Knotenwein rechter Sohn des Knotensxist. Die nachfolgenden Schritte 8a und 8b beziehen sich auf diese Annahme. Wie sehen diese beiden Schritte aus, wenn in 7 der symmetrische Fall (wist ein linker Sohn vonx) auftritt? Formulieren Sie dies im Pseudocode und fertigen Sie jeweils eine Zeichnung an.
b) Überlegen Sie sich (mündlich) wie sich die Fälle 1, 2, 3 und 4 in dem Algo- rithmus zum Entfernen von Knoten verändern, wenn anstatt dem Fall “xist linkes Kind” der symmetrische Fall “xist rechtes Kind” auftritt.
Aufgabe 2: (?)
Zeichnen Sie die rot-schwarz-Bäume, die durch sukzessives Einfügen der Schlüs- sel 15, 11, 4, 8, 3, 6, 7 in dieser Reihenfolge in einen anfangs leeren rot-schwarz- Baum entstehen. Färben Sie dabei die Knoten wie in der Vorlesung. Entfernen Sie aus dem resultierenden Baum anschließend die Schlüssel in der Reihenfolge 3, 8, 6, 7, 15, 11, 4.
(10 Punkte)
Aufgabe 3: (?)
Aus der Vorlesung kennen Sie rot-schwarz-Bäume, deren innere Knoten zur Spei- cherung von Daten (Schlüsseln) verwendet werden (Knotenversion). Alternativ kann man die zu speichernden Daten in den Blättern ablegen (Blattversion). Die inneren Knoten des Baumes enthalten dann zusätzliche Schlüssel, so dass für jeden inneren Knotenvgilt:
key(lef tson(v))≤key(v)< key(rightson(v))
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Man kann zeigen, dass jeder rot-schwarz-Baum in Knotenversion in einen rot- schwarz-Baum in Blattversion überführt werden kann und umgekehrt.
Zeigen Sie: Man kann jeden rot-schwarz-Baum in einen 2-Baum überführen und umgekehrt. Welche Laufzeit benötigen Sie hierfür?
(6 Punkte)
Aufgabe 4 (?)
Verallgemeinern Sie die Aussagen über die Anzahl der Blätter und über die Höhe von B-Bäumen (Lemma auf der Folie 13/75 vom 14. Juni) auf (a,b)-Bäume.
(3 Punkte)
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