Einf¨ uhrung in die Problematik

KAPITEL 1

Einf¨ uhrung in die Problematik

1. Physikalische Motivation

Betrachte einen Stab aus Metall mit gegebener Temperaturverteilung. Nun wollen wir untersuchen wie die W¨arme geleitet wird.

Annahmen:

• Stab (isoliert) wird parametrisiert durch das Intervall [0,1],u(t, x) = Temperatur inx zum Zeitpunktt.

• Konstanten:ρ Dichte, c spezifische W¨arme

• f : [0,1]→R W¨armequelle

• Energie in Segment [x₁, x₂]:E(x₂, x₁, t)≈cρ(x₂−x₁)u(t, x₁)

• W¨armeleitungsregel von Fourier: Sei Q(t, x) = die W¨arme durch Punktxzum Zeitpunkt t

Q(t₂, x)−Q(t₁, x)

t₂−t₁ ≈ −K0

∂

∂xu(t₁, x) K₀ Thermale Konduktivit¨at

• Energieerhaltung:

cρ(x₂−x₁)(u(t₂, x₁)−u(t₁, x₁))

= (t2−t1)(x2−x1)f(x1)−K0(t2−t1) ∂

∂xu(t1, x1)− ∂

∂xu(t1, x2) . Daraus folgt

u(t₂, x₁)−u(t₁, x₁)

t₂−t₁ = f(x₁) cρ +K₀

cρ

∂

∂xu(t₁, x₂)−_∂x^∂ u(t₁, x₁) x₂−x₁

und damit

∂

∂tu(t, x) = f(x)

cρ +κ ∂²

∂x²u(t, x), (1)

wobeiκ= ^K_cρ⁰ die thermische Diffusivit¨at (eine Konstante) ist.

Station¨are Temperaturverteilung (Gleichgewicht, steady state):

0 = ∂

∂tu(t, x)u(t,x)=v(x)

=⇒ 0 =f(x) + ∆v(x) =⇒∆v(x) =−f(x).

2. Mathematische Problemstellung Es sei Ω⊆R^d offen und beschr¨ankt.

Gegeben: Stetige Funktion f auf Ω.

0

2. MATHEMATISCHE PROBLEMSTELLUNG 1

Gesucht: Stetige Funktion u: Ω→R, in Ω zweimal differenzierbar mit (2)

( ∆u(x) =Pd i=1 ∂²

∂x²_iu(x) = f(x) ∀x∈Ω u(x) = 0(x) ∀x∈∂Ω.

Anwendung: Potential eines Ladungsfreies elektrisches Feldes.

u station¨are Temperaturverteilung

Bemerkung 2.1. ∆ist ein linearer Operator ∆(u+v) = ∆u+ ∆v.

Idee:Definiere den Laplace-Operator in geeigneten R¨aumen und untersuche Abbildungsvorschriften.

Sei z.B. X := {h : h ∈ C²(Ω), h_∂Ω = 0} und Y := C(Ω) und betrachte

∆_XY :X→Y.

Typische Fragestellungen:

(a) Ist ∆_XY injektiv (d.h. die L¨osung der Gleichung ist eindeutig, falls sie existiert)

(b) Ist ∆_XY surjektiv (d.h. es existiert eine L¨osung der Gleichung f¨ur alle f ∈Y).

(c) Finde m¨oglichst einen großen Raum Y so dass ∆_XY surjektiv ist (d.h. die Gleichung ist f¨ur viele f l¨osbar).

(d) DaXtypischerweise nicht explizit gegeben ist, finde m¨oglichst viele Eigenschaften von X (d.h. Eigenschaften der L¨osung).

Bemerkung 2.2. (a) Der Laplace-Operator besitzt keine guten Eigen- schaften inC(Ω). Suche nach geeigneten R¨aumen f¨uhrt aufSobolev- R¨aume (reflexive Banachr¨aume bzw. Hilbertr¨aumen).

Idee (L₂-Theorie):

(a) Die Existenz einer schwachen L¨osung l¨asst sich im Hilbertraumfall (L₂-Theorie) sehr einfach ¨uber Lax-Milgram zeigen.

(b) Regularit¨atstheorie liefert dann eine starke bzw.klassische L¨osung.

Bemerkung 2.3. Eine wichtige Rolle bei der Regularit¨atstheorie spielt die sogenannte Lokalisierung.

Idee (L_p-Theorie):

(a) Betrachten zun¨achst

(λ−∆)u(x) =f(x), x∈R^d.

(b) Benutze die sog. Fouriertransformation. Die zentrale Eigenschaft dieser Abbildung ist, dass sie Differentialausdr¨ucke in algebraische umwandelt. Im Fall (λ−∆) erh¨alt man

(λ+|ξ|²)Fu=Ff.

Damit ist die formale Inverse von (λ−∆) durch u = F⁻¹(λ+

|ξ|²)⁻¹Ff gegeben.

Typische Fragestellungen:

2. MATHEMATISCHE PROBLEMSTELLUNG 2

(a) Wie kann man dem formalen Ausdruck F⁻¹(λ+|ξ|²)⁻¹F als Ope- rator:Y →X einen Sinn zu geben?

(b) Finde hinreichende Bedinungen, so dass F⁻¹(λ+|ξ|²)⁻¹F ein be- schr¨ankter Operator inL_p ist.

Bemerkung2.4. Auf diesem Weg werden wir auch erkennen, dass sichT = F⁻¹(λ+|ξ|²)⁻¹F auch als Integraloperator, d.h. T f(x) =R

k(x, y)f(y)dy, darstellen l¨asst.

Im letzten Abschnitt betrachten wir die W¨armeleitungsgleichung (1).

Idee:

(a) Betrachte u als Funktion t → u(t,·) ∈ X, X ein Funktionenraum (Sobolevraum)

(b) Sei ∆ der Laplaceoperator und betrachte u^′(t)−∆u(t) = 0, t >0

u(0) =u₀.

Dies ist eine gew¨ohnliche DGL im Banachraum!

(c) Ana III: L¨osung ist e^∆tu₀. Typische Fragestellungen

(a) Vern¨uftige Definition f¨ur e^tA f¨ur große Klassen von (Differential- )operatoren.

(b) Suche Bedingungen an A, so dass e^tA wohldefiniert ist

Bemerkung2.5. F¨ur spezielle (in Physik und Ingenieurwissenschaften sehr relevante) Klassen von Differentialoperatoren, sog.Divergenzoperatoren, l¨asst sich zeigen, dass e^tA wieder ein Integraloperator ist (z.B. Laplace aufbelie- bigen offenen Mengen).

KAPITEL 2

Sobolevr¨ aume

1. L_p R¨aume (Erinnerung) In diesem Abschnitt sei (M,Σ, µ) stets ein Maßraum.

Definition 1.1.

(a) Sei1≤p <∞. Setze kfkp :=Z

M

|f|^pdµ1/p

.

(b) Sei f :M →Kmessbar. Dann heißt f wesentlich beschr¨ankt, falls einα >0 existiert mitµ({x∈X:|f(x)|> α}) = 0. Ferner heißt

kfk∞:= inf{α≥0 : µ({x∈X: |f(x)|> α}= 0)}

das wesentliche Supremum von f. (c) Sei 1≤p≤ ∞. Definiere

L^p:=L^p(M,Σ, µ,K) :=

f :f :M →K messbar und kfkp <∞ . Bemerkung 1.2.

(a) k · kp ist eine Halbnorm auf L^p.

(b) Sei f ∈ L^p. Dann istkfk_p = 0 genau dann wenn f ∈ N :={f : f messbar und f = 0 µ-fast ¨uberall}.

(c) L^p ist ein Vektorraum.

(d) N ist ein Unterraum vonM, dem Vektorraum der messbaren Funk- tionen (auch von L^p), und

f ∼g ⇐⇒^Def. f −g∈ N definiert eine ¨Aquivalenzrelation

Definition 1.3. Der Raum L^∞ ist definiert durch:

L^∞(M, µ) :=L(M,Σ, µ,K)/N, k[f]k∞:=kfk∞, ∀[f]∈L^∞. Satz 1.4.

(a) |f| ≤ kfk_∞ µ-fast ¨uberall.

(b) k · k∞ ist ein Norm.

(c) kfn−fk∞ → 0 =⇒ es existiert ein A ∈ Σ mit µ(A^c) = 0 und f_n→f gleichm¨assig auf A.

(d) (L^∞(M, µ),k · k∞) ist ein Banachraum.

3

1.Lp R ¨AUME (ERINNERUNG) 4

Definition 1.5. Sei 1≤p <∞

L^p(M, µ) := (M,Σ, µ,K)/N, k[f]kp :=kfkp, ∀[f]∈L^p. Satz 1.6 (H¨oldersche Ungleichung). Es sei1≤p, q≤ ∞ mit1/p+ 1/q = 1 (interpretiere1/∞= 0). Desweiteren seienf ∈L^p(M, µ)undg∈L^q(M, µ).

Dann ist f·g∈L¹(M, µ) und

kf gk₁ ≤ kfk_p· kgk_q.

Proof. Die F¨alle p = 1,∞ sind trivial. Seien a, b ∈ R₊ und f, g 6= 0.

Dann gilt

ab≤ ^a_p^p +^b_q^q (Youngsche Ungleichung).

(Der Beweis dieser Ungleichung ist elementar.) Nat¨urlich istf gmessbar. Sei- en G:=g/kgk_q und F :=f /kfk_p. Anwendung der Youngsche Ungleichung in jedem Punkt x∈M ergibt nach Integration

Z

M

|F(x)G(x)|dµ(x)≤ Z

M

|F(x)|^p

p dµ(x) + Z

M

|G(x)|^q

q dµ(x) = 1 p +1

q = 1,

und die Behauptung folgt.

Satz1.7 (Minkowskische Ungleichung). Sei1≤p <∞undf, g∈L^p(M, µ).

Dann gilt

kf+gkp ≤ kfkp+kgkp.

Satz 1.8 (Riesz–Fischer). Sei 1≤p <∞. Dann istL^p(M, µ) vollst¨andig.

Satz 1.9. Nehmen wir an, dass f_n∈L^p(M, µ) gegen f ∈L^p(M, µ) konver- giert, dann existiert eine Teilfolge fnk, so dass fnk(x)µ-fast ¨uberall konver- giert.

Satz1.10 (Dualit¨at). Sei1≤p <∞, und(M,Σ, µ) σ-endlicher Maßraum.

Sei 1/p+ 1/q = 1 (so genannte konjugierte Exponente). Dann definiert L^q(M, µ)→L^p(M, µ)^′

J(g)f :=

Z

M

f·gdµ, g∈L^q(M, µ), f ∈L^p(M, µ)., einen isometrischen Isomorphismus.

Proof. Jist wohldefiniert nach der H¨olderschen Ungleichung. Nat¨urlich ist J linear.J ist isometrisch, denn seig∈L^q(M, µ) und setze

f := g

|g|

|g|

kgkq

q/p

. Dann

kfk_p= Z

M

|g|

|gk

p |g|^q kgk^qq

dµ= 1 und R

M f gdµ=kgkq. Es bleibt die Surjektivit¨at vonJ zu zeigen.

1.Lp R ¨AUME (ERINNERUNG) 5

1. Fall µ(M)<∞: Seiϕ∈L^p(M, µ)^′. Betrachte ν : Σ→K,ν(A) :=ϕ(χ_A) (χ_A∈L^p(M, µ)). ν ist ein signiertes (komplexes) Maß. Ferner istν absolut stetig bez¨uglich µ, denn A ∈ Σ und µ(A) = 0 impliziert χA = 0 µ-fast

¨uberall, d.h.χ_A= 0 inL^p(M, µ), alsoν(A) =ϕ(χ_A) = 0. Satz von Radony–

Nikod´ym ergibtg∈L¹(M, µ) mit ν(A) =

Z

A

gdµ= Z

M

χ_Agdµ ∀A∈Σ.

Also wegen Linearit¨at

(3) ϕ(f) =

Z

M

f gdµ ∀ Treppenfunktionenf.

Ferner|ϕ(f)| ≤C^′kfk∞. Die Treppenfunktionen sind dicht inL^∞(M, µ) also gilt (3) f¨ur f ∈ L^∞(M, µ). Wir zeigen nun g ∈ L^q(M, µ). Sei erst q < ∞.

Setze

(4) f(x) :=

(_|g(x)|q

g(x) g(x)6= 0

0 sonst.

f ist messbar und |g|^q =f g=|f|^p. F¨urn∈N sei A_n:={x∈M :|f(x)| ≤ n}. Dann istχ_Anf ∈L^∞(M, µ) und

Z

An

|g|^qdµ= Z

M

χ_Anf gdµ=ϕ(χ_Anf)≤ kϕkkχAnfkp =

=kϕkZ

An

|f|^pdµ1/p

=kϕkZ

An

|g|^qdµ1/p

=⇒ Z

An

|g|^q ≤ kϕk^q ∀n∈N.

Satz von Beppo Levi(monotone Konvergenz) gibt g∈L^q(M, µ).

Jetzt betrachten wir der Fallq =∞. Dann|g| ≤ kϕk, denn seiA:={x∈X:

|g(x)| > kϕk}. Setze f := χA|g|/g, f ∈ L^∞(M, µ). Nehmen wir µ(A) > 0 an.

µ(A)kϕk<

Z

A

|g|dµ= Z

M

f gdµ=ϕ(f)≤ kϕk · kfk1,

und nach Annahme =⇒ µ(A)<kfk1, Widerspruch mit µ(A) =kfk1. Also g∈L^∞(M, µ).

Die Treppenfunktionen sind dicht inL^p(M, µ) also ϕ=Jg.

2. Fall, µ(M) = ∞: Es sei M = S_∞

n=1M_n mit µ(M_n) < ∞, und M_n paarweise disjunkt. Sei ϕ ∈ L^p(M, µ)^′. Setze ϕ_n(f) := ϕ(χ_Mnf), f¨ur f ∈ L^p(M_n, µ_n), wobei µ_n(A) := µ(M_n∩A). Dann kϕ_nk ≤ kϕk, insbesondere ϕ_n ∈ L^p(M_n, µ_n)^′. Verwende jetzt den ersten Fall um g_n ∈ L^q(M_n, µ_n) zu bekommen. Setzeg:=P∞

n=1gn (in jedem Punkt nur ein Summand,gnwird

1.Lp R ¨AUME (ERINNERUNG) 6

durch 0 fortgesetzt auf M_n^c). Es istg∈L^q(M, µ) und ϕ=Jg zu zeigen. Sei A_n:=Sn

j=1M_j und f wie in (4) Z

An

|g|^qdµ= Xn

j=1

Z

Mj

f gdµ= Xn

j=1

Z

Mj

χ_Mjf g_j dµ= Xn

j=1

ϕ(χ_Mjf)

=ϕ(

Xn

j=1

χMjf)≤ Xn

j=1

kϕkkχMjfkp

=kϕk ·Xⁿ

j=1

Z

M

|χ_Mjf|^pdµ1/p

=kϕk ·Z

An

|g|^qdµ1/p

.

Daraus folgtR

An|g|^qdµ≤ kϕk, und nach Beppo Levi Theoremg∈L^q(M, µ).

Es gilt:

ϕ(f) =ϕ( lim

n→∞χ_Anf) = lim

n→∞ϕ(χ_Anf) = lim

n→∞

Z

An

f g

= lim

n→∞

Z

M

χ_Anf gLebesgue

= Z

M

f g.

Satz 1.11 (L^p Interpolation Ungleichung). Seien p₀, p₁ ∈[1,∞], θ ∈(0,1) und _p¹

θ := ^1−θ_p

0 +_p^θ

1. Sindf ∈L^p0(M, µ)∩L^p1(M, µ), dann istf ∈L^pθ(M, µ) und es gilt

kfkpθ ≤ kfk^1−θ_p0 kfk^θ_p1.

Proof. Setzeg:=|f|^(1−θ)pθ undh:=|f|^θpθ. Dann istgh=|f|^{(1−θ)pθ+θpθ} =

|f|^pθ, fernerg∈L

p0

(1−θ)pθ(M, µ) undh∈L

p1

θpθ(M, µ) und kfk^p_p^θ_θ =kghk1 ≤ kgk ^p0

(1−θ)pθ · khk^p1

θpθ =kfk^(1−θ)p_p0 ^θ · kfk^θp_p1^θ,

mit der Verwendung der H¨olderschen Ungleichung.

Satz 1.12 (Verallgemeinerte H¨older-Ungleichung). Sei n∈N und 1≤p_i≤

∞, f_i ∈L^pi f¨ur i= 1, . . . , m. Sei ferner 1 ≤p≤ ∞ so, dass ¹_p =Pn i=1 1

pi. Dann gilt

Yn

i=1

f_i∈L^p und

Yn

i=1

f_i

p≤ Yn

i=1

kfikpi.

Proof. UA.¨

Definition und Satz 1.13. (a) L¹∩L^∞(M, µ) :=L¹(M, µ)∩L^∞(M, µ) versehen mit der Norm kfk1∩∞ := kfk1 +kfk∞ ist ein Banach- raum.

1.Lp R ¨AUME (ERINNERUNG) 7

(b) Definiere

L¹+L^∞(M, µ) :={f :M →K mb.:∃g∈L¹(M, µ), h∈L^∞(M, µ) mitf =g+h}.

Die Abbildung

kfk_1+∞:= inf{khk₁+kgk_∞: f =g+h:h∈L¹(M, µ), g∈L^∞(M, µ)}.

ist eine Norm, mit der L¹+L^∞ ein Banachraum ist.

Satz 1.14. Sei1≤p≤ ∞. Dann gilt L_p(M, µ)⊆L₁+L_∞(M, µ).

Proof. Der Fall p=∞ ist trivial. Sei f ∈L^p(M, µ). Setze A:= {x ∈ M : |f(x)| ≥ 1} und h := χ_Af, g := χ_M\Af. Dann g ∈ L^∞(M, µ) und h∈L¹(M, µ), denn

Z

M

|h|dµ= Z

A

|f|dµ≤ Z

A

|f|^pdµ≤ Z

M

|f|^pdµ.

Theorem 1.15 (Riesz–Thorin Konvexit¨atstheorem). Sei T : L₁ +L_∞ → L1+L∞ linear, ferner seien p0, p1, r0, r1 ∈[1,∞]mit p0< p1 und r0 < r1. Sei α∈(0,1) und setze

1

pα := ^1−α_p0 +_p^α₁ und _r¹

α := ^1−α_r0 +_r^α₁. Dann gilt

kTkL(L^pα,L^rα)≤ kTk^1−α_L(Lp0,L^r0)kTk^αL(L^p1,L^r1). Zur Beweis ben¨otigen wir folgenden Satz und folgendes Lemma.

Satz 1.16 (Hadamard, 3-Linien Satz). Sei a < b und f : {z ∈ C : a ≤ Rez≤b} →Canalytisch und beschr¨ankt. Weiter sei

M_a= sup

t∈R

|f(a+it)|, und M_b= sup

t∈R

|f(b+it)|.

Dann gilt:

|f(x+iy)| ≤M

b−x

ab−aM

x−a b−a

b , x+iy∈ {z∈C:a≤Rez≤b}.

Proof. Wir betrachtenf_ε(x+iy) = e^ε(x+iy)2f(x+iy)M

x+iy−b

a b−a M

a−(x+iy) b−a

b

f¨ur ε > 0. Dann gilt |f_ε(a+iy)| ≤ e^εa2 und |f_ε(b+iy)| ≤ e^εb2 (Beachte:

|a^iy|= 1 f¨ura >0, y∈R). Außerdem gilt

y→±∞lim sup

a≤x≤b

|fε(x+iy)|= 0.

Mit dem Maximumprinzip f¨ur analytische Funktionen und ein hinreichend großes Rechteck folgt |fε(z)| ≤ max{e^εa2,e^εb2}. Aus ε → 0⁺ folgt die Be-

hauptung.

2. Lp R ¨AUME II 8

Lemma 1.17. Sei p₀ < p < p₁ und f = P

α_ja_jχ_Ej eine Treppenfunktion mit αj ∈C, |αj| = 1, aj > 0 und {Ej} paarweise, disjunkte, mb. Mengen mit (jeweils) endlichem Maß. Weiter sei kfkp = 1 und

f_z =X α_ja

p

jpzχ_Ej, wobei p_z

1 pz

= 1−z p0

+ z p1

gen¨ugt. Dann gilt:

kfzkL^pRez = 1, 0≤Rez≤1.

Proof. Es gilt Z

|f_z(x)|^pRezdµU.A.¨

= X

|a_j|^pµ(E_j).

Beweis v. Theorem 1.15. Sei p = pα mit 0 < α < 1 und betrachte Treppenfunktion f und f^′ auf M, welche kfkp = kf^′kp^′ = 1 erf¨ullen. Sei f_z und f_z^′ wie in Satz 1.16, wobei f_z mit p₀ und p₁ und f_z^′ mit r₀ und r₁ konstruiert werden. Nach Voraussetzung ist

Φ(z) :=

Z

M

f_z^′(x)T f_z(x)dµ(x) analytisch inz. Mit Lemma 1.17 folgt nun:

|Φ(j+iy)| ≤ kf_z^′kp^′M_jkfzkp ≤M_j, j = 0,1, y∈R d.h.

sup

y∈R

|Φ(j+iy)| ≤M_j, j= 0,1.

Damit folgt mit dem 3-Linien Satz, dass

| Z

f^′T f| ≤M₀^1−αM₁^α.

Da Treppenfunktionen dicht in L^p′ sind, erhalten wir kT fkp ≤ M₀^1−αM₁^α. Die Behauptung folgt nun, da Treppenfunktionen auch inL^p dicht sind.

2. L_p R¨aume II

Im Folgenden seiµstets das Lebesgue-Maß und Σ die σ-Algebra der Lebes- gue-messbaren Mengen.

Satz 2.1 (Faltung, Youngsche Ungleichung). Sei f ∈L¹(R^d), g∈ L^p(R^d), 1≤p≤ ∞. Dann gilt

(a) F¨ur fast allex∈R^d ist y7→f(x−y)g(y)∈L¹(R^d)

2. Lp R ¨AUME II 9

(b) Setzt man

(f∗g)(x) :=

Z

R^d

f(x−y)g(y) dy so ist f∗g∈L^p(R^d) und es gilt

kf∗gkp ≤ kfk1· kgkp 1≤p≤ ∞.

Proof. Seip= 1. Dann gilt:

Z

Rd

Z

Rd

|f(x−y)g(y)|dydxTonelli

= Z

Rd

|g(y)|

Z

Rd

|f(x−y)|dxdy≤ kfk₁kgk₁. F¨urp=∞ liefert die H¨older-Ungleichung

| Z

Rd

f(x−y)g(y) dy| ≤ kfk1kgk∞, insbesondere existiert R

R^d

f(x−y)g(y) dy f¨ur alle x∈R^d.

Betrachte nun die Abbildung T_fg := f ∗ g. Dann folgt aus dem Riesz–

Thorin Konvexit¨atstheorem, dassT_f ∈L(L^p, L^p) undkTfkL(L^p,L^p) ≤ kfk1

f¨ur 1≤p≤ ∞, d.h. (b) gilt. Ferner erhalten wir mit Beppo-Levi Z

R^d



 Z

R^d

|f(x−y)||g(y)|dy





p

dx

= lim

r→∞

Z

R^d



 Z

R^d

|f(x−y)||χ_B(0,r)g(y)|dy





p

dx

≤ lim

r→∞kfk1kχ_B(0,r)gkp ≤ kfk1kgkp, d.h.



 Z

R^d

|f(x−y)||g(y)|dy





p

<∞, f.a. x∈R^d.

Beispiel 2.2.

(a) Betrachte

(1−∆)u(x) =f(x), x∈R^d.

Dann existiert f¨ur jedes f ∈L^p eine eindeutige L¨osung u. Deswei- teren besitzt u die Darstellung

u(x) = (k∗f)(x), x∈R^d, mit einem Kern k∈L¹.

2. Lp R ¨AUME II 10

(b) Betrachte

∂_tu(t, x)−∆u(t, x) = 0, t >0, x∈R^d u(0, x) =u0(x), x∈R^d.

Dann existiert f¨ur jedesu₀ ∈L^p eine eindeutige L¨osungu. Deswei- teren besitzt u die Darstellung

u(t, x) = (k_t∗u₀)(x), t >0, x∈R^d, mitk_t∈L¹ f¨ur t >0.

Korollar 2.3. Sei f ∈L¹(R^d), dann definiert die Abbildung T f := f∗g einen stetigen linearen Operator auf L^p(R^d) mit kTk ≤ kfk1.

Satz 2.4. Seif ∈C_c(R^d), g∈L¹_loc(R^d). Dann f ∗g∈C(R^d).

Proof. Wegen |(f ∗g)(x)| ≤ kfk1kgk∞ existiert (f ∗g)(x) = R f(x− y)g(y) dy f¨ur alle x ∈ R^d. Sei x_n → x. Setze F_n(y) = f(x_n−y)g(y) und F(y) =f(x−y)g(y), dannF_n(y)→F(y) f¨ur fast alley∈R^d. Anderseits, sei K kompakt so, dass x_n−suppf ⊆K f¨ur alle n∈N. Dannx_n−y6∈suppf fallsy6∈K, d.h.f(xn−y) = 0 f¨ury6∈K, und so|Fn(y)| ≤ kfk∞χK(y)|g(y)|

integrierbare Majorante. Nach Lebesgueschen Satz folgt R

F_ndy→R F dy.

Definition 2.5. Sei Ω⊂R^d, f : Ω→C messbar und setze

O_f :=n

x∈Ω :∃V ⊂Ω offene Umgebung von x mit f(x) = 0 f¨ur f.a. x∈Vo

Dann heißt suppf := Ω\O_f der Tr¨agervon f. Satz 2.6. Seif ∈C_c(R^d), g∈L¹_loc(R^d). Dann gilt (5) supp(f∗g)⊆suppf+ suppg

Proof. Wegen |(f ∗g)(x)| ≤ kfk1kgk∞ existiert (f ∗g)(x) = R f(x− y)g(y) dy f¨uralle x∈R^d. Also

(f∗g)(x) = Z

R^d

f(x−y)g(y) dy=

Z

(x−suppf)∩suppg

f(x−y)g(y) dy.

Fallsx6∈suppf+suppg, gilt (x−suppf)∩suppg=∅und (f∗g)(x) = 0.

Bemerkung 2.7. Im Satz 2.6 giltsuppf+ suppg= suppf+ suppg.

Bemerkung 2.8. Die obige Aussage (5) gilt auch f¨ur f ∈ L¹(R^d), g ∈ L^p(R^d), 1≤p≤ ∞.

Satz 2.9. Seien f ∈ C_c^k(R^d), g ∈ L¹_loc(R^d). Dann ist f ∗g ∈ C^k(R^d), und D^α(f∗g) =D^αf∗g. Insbesonderef ∈C_c^∞,g∈L¹_loc(R^d) =⇒f∗g∈C^∞(R^d).

2. Lp R ¨AUME II 11

Proof. Wie immer (f ∗g)(x) existiert f¨ur alle x. Sei e_j ∈R^dein Stan- dardbasisvektor, h ∈R, |h| ≤1. Setze K := suppf +B(0,1), dies ist auch kompakt. Dann

1

h((f∗g)(x+he_j)−(f∗g)(x))

= Z

R^d 1

h(f(x+he_j−y)g(y)−f(x−y))g(y) dy=

= Z

K−x 1

h(f(x+he_j −y)g(y)−f(x−y))g(y) dy,

wobei der Integrand gegenDjf(x−y)g(y) f¨ur alley konvergiert. Außerdem

gilt

¹_h(f(x+he_j −y)g(y)−f(x−y))g(y)

≤ kDjfk∞|g(y)|.

Nach dem Satz von Lebesgue bekommen wirD_j(f∗g)(x) = ((D_jf)∗g)(x),

und so die Behauptung.

Definition2.10. Eine Folge(ρ_n)_n≥1von Funktionen mit den Eigenschaften (a) ρn∈C^∞(R^d)

(b) ρ_n≥0

(c) suppρn⊆B(0,1/n) (d) R

R^dρ_n= 1 heißt Mollifier.

Beispiel 2.11. Betrachte ρ ∈C_c^∞(R^d), supp(ρ) ⊆B(0,1), ρ ≥0, R

ρ = 1, und definiere ρ_n(x) := 1/n^dρ(nx).

Lemma 2.12. Sei f ∈ C(R^d) und (ρ_n)_n≥1 ein Mollifier. Dann konvergiert ρn∗f →f gleichm¨aßig auf kompakten Teilmengen von R^d.

Proof. Sei K ⊆ R^d kompakt. Dann existiert f¨ur alle ε > 0 ein δ > 0 mit|f(x−y)−f(x)| ≤εf¨urx∈K und |y| ≤δ. Also

(ρn∗f)(x)−f(x)i= Z

Rd

(f(x−y)−f(x))ρn(y) dy

= Z

B(0,1/n)

(f(x−y)−f(x))ρn(y) dy, so f¨urn >1/δ gilt |(ρn∗f)(x)−f(x)| ≤εR

ρ_n=εf¨urx∈K. Lemma 2.13 (Urysohn, C^∞-Version). Sei ∅ 6= Ω ⊆ R^d offen, K ⊆ Ω, K kompakt. Dann existiert ein ϕ∈ C_c^∞(Ω) mit 0 ≤ ϕ ≤1 und ϕ(x) = 1 f¨ur x∈K.

Proof. Sei 0 < 1/n < ε < ε+ 1/n < dist(K,Ω^c). Setze U_ε := {y ∈ Ω : dist(y, K) < ε} ⊆ Ω und u = χUε. Dann gilt ϕ := ρn∗u ∈ C^∞(R^d) und suppϕ ⊆ B(0,1/n) +Uε ⊆ Ω, also suppϕ ⊆ Ω ist kompakt. Sei x ∈ K, dann ϕ(x) = R

|y|≤1/nu(x−y)ρ_n(y) dy = R

|y|≤1/nρ_n(y) dy = 1. Ferner kϕk∞≤ kρnk1· kuk∞= 1. Da ϕ≥0 folgt auch 0≤ϕ≤1.

2. Lp R ¨AUME II 12

Bemerkung 2.14. Sei ∅ 6= Ω ⊂ R^d offen und K ⊂ Ω kompakt. Dann existiert V ⊂R^d offen mit V kompakt und

K ⊂V ⊂V ⊂Ω.

Proof. Seiϕ∈C_c^∞(Ω) wie in Lemma 2.13 und setze V :={x∈Ω;ϕ(x)> 1

2}.

Satz 2.15. Sei1≤p <∞. Dann ist C_c^∞(R^d) dicht inL^p(R^d).

Proof. Seif ∈L^p(R^d).

Beh.:∀ε > 0∃ Treppenfunktion T = PN

i=1α_iχ_Ai mit A_i ⊂ R^d beschr¨ankt und kT−fk_p≤ε.

Maßtheorie.

Beh.:∀ε >0∃u∈C_c^∞(R^d):ku−χ_Aik_p ≤ε.

W¨ahle eine offene Menge O und eine kompakte MengeK mitK ⊂A_i ⊂O und |O\K| ≤ε (Existenz: Maßtheorie). Dann existiert nach Lemma 2.13 einϕ∈C_c^∞(O) mitϕ≡1 aufK. Es gilt:

Z

O

|χAi−ϕ|^p= Z

O\K

|χAi−ϕ|^p ≤2^p|O\K| ≤2^pε.

Satz 2.16. Sei(ρ_n)_n≥1 ein Mollifier.

(a) Sei1≤p <∞ und f ∈L^p(R^d). Dannkρn∗f−fkp →0.

(b) Sei f ∈BU C(R^d). Dann kρn∗f −fk∞→0

Proof. (a) Nach Satz 2.15 existiert f¨ur ε > 0 ein g ∈ Cc(R^d) mit kf −gk ≤ε. Satz 2.6 liefert

supp(ρ_n∗g)⊆B(0,1/n) + suppg⊆K, wobeiK compact.

Da nach Lemma 2.12ρ_n∗ggleichm¨assig aufKgegengkonvergiert, existiert einn₀ ∈N mit

kρn∗g−gk^p_p = Z

K

|ρn∗g−g|^p ≤ε^p|K|.

Daraus folgt mit der Youngschen Ungleichung

kρ_n∗f −fk_p ≤ kρ_n∗(f−g)k_p+kρ_n∗g−gk_p+kg−fk_p

≤ kf−gk_p+kρ_n∗g−gk_p+kg−fk_p≤ε+ε|K|^1p +ε.

(b) Wiederhole den Beweis von Lemma 2.12.

Korollar 2.17. Sei ∅ 6= Ω ⊆ R^d offen und 1≤ p <∞. Dann ist C_c^∞(Ω) dicht in L^p(Ω).

2. Lp R ¨AUME II 13

Proof. Setze Ω_n:={x∈Ω : dist(x,Ω^c)> ¹_n} und f_n(x) = f(x) , x∈Ω_n

0 , sonst

Dann gilt nach dem Satz von Lebesgue lim_n→∞kfn−fk_L^p_(Ω) = 0, d.h f¨ur ε >0 existiert ein n₀ mitkfn−fk_L^p_(Ω)≤ε.

Setzegm:=ρm∗fn, wobeiρm ein Mollifer ist. Dann existiert nach Satz 2.16 einm₀> n₀ mitkgm−f_n0k_L^p₍Rd≤ε,m≥m₀. Desweiteren gilt

suppg_m = suppρ_m+ suppf_n0 ⊂Ω, m≥m₀. Damit erhalten wir

kgm−fk_L^p_(Ω) ≤ kgm−f_n0k_L^p_(Ω)+kfn0−fk_L^p_(Ω)≤2ε, m≥m₀. Satz 2.18 (Zerlegung der Eins). SeiΩ⊆R^d offen. Seien ferner

K_i ⊂Ω_i ⊂Ω_i ⊂Ω, i∈N, mit K_i,Ω_i kompakt und

[

i∈N

Ω_i = Ω,

so, dass f¨ur alle x∈Ωexistiert eine Umgebung U(x), die nur endlich viele Ωj trifft (diese ¨Uberdeckung heißt lokal endlich). Nehmen wir ferner an, dass K_j∩K_i =∅, falls i6=j.

Dann existieren ϕ_i ∈C_c^∞(Ω), i∈Nmit (a) ϕ_i ≥0

(b) P

i∈Nϕ_i(x) = 1, falls x∈Ω (c) 0≤P

i∈Nϕ_i≤1.

Außerdem gilt ϕ_j(x) = 1 f¨ur x∈K_j.

Proof. 1. Schritt: Nehmen wir an dass wir die folgende Situation haben K_j ⊆V_j ⊆V_j ⊆U_j ⊆Ω_j

wobei Vj kompakt, Ui∩Kj =∅ falls i 6= j und Vj, Uj sind lokal endliche Uberdeckungen von Ω. W¨ahle¨ ϕ^′_j nach Lemma 2.13 zuU_j undV_j. Dann gilt ϕ(x) :=P

i∈Nϕ^′_i(x)>0, wobei lokal in Ω nur endlich viele Summanden von 0 verschieden sind. Setze Setze ϕ_j(x) := ϕ^′_j(x)/ϕ(x). Nach Konstruktion haben dieϕ_i die gew¨unschte Eigenschaften.

2. Schritt, Disjunktisierung von Ω_j und K_j: U_j := Ω_j\S

i6=jK_j. Nat¨urlich gilt K_j ⊆ U_j ⊆ Ω_j. Wir behaupten, dass U_j offen ist. Sei x ∈ U_j und U(x)⊆Ω_j eine Umgebung von x so, dass J := {i: Ω_i∩U(x) 6=∅} endlich ist. F¨ur j 6= k ∈ J existiert eine Umgebung W_k(x) ⊆ U(x) von x mit W_k(x)∩K_k =∅. Setze W(x) :=∩_k∈JW_k(x), die ist eine Umgebung von x mitW(x) ⊆U_j und W(x)∩K_i = ∅ f¨ur allei∈ N,i6=j, also U_j ist offen.

Sei jetzt x ∈ Ω, liegt dann x ∈ Ωj f¨ur ein j, dann entweder liegt es in Uj

3. SOBOLEV R ¨AUME I. 14

oder in K_i f¨ur ein i6= j. Die ¨Uberdeckung U_j is lokal endlich da Ω_j lokal endlich ist.

3. Schritt, Konstruktion von V_j: Sei V₁ := U₁. Angenommen V_j, j < n konstruiert ist mit der Eigenschaft

n−1[

j=1

V_j∪ [∞

j=n

U_j = Ω,

sei Fn eine abgeschlossene Umgebung von ∂Un die erf¨ullt

∂U_n⊆F_n⊆

n−1[

j=1

V_j ∪ [∞

j=n+1

U_j.

Solche eine Umgebung existiert nach Bemerkung 2.14. Falls U_n6= 0, k¨onnen wir eine kleinere Umgebung ∂U_n ⊆F_n^′ ⊆F_n finden damitU_n\F_n^′ nichtleer wird. Setze V_n:=U_n\F_n^′. Dann

U_n⊆V_n∪F_n^′ ⊆ [n

j=1

V_j∪ [∞

j=n+1

U_j.

Also V_j ist eine offene ¨Uberdeckung, die nat¨urlich lokal endlich bleibt.

Satz 2.19 (Zerlegung der Eins). Sei K ⊆ R^d kompakt und K ⊆ S_n

i=1Ω_i, mit Ω_i⊆R^d offen. Dann existiert ϕ_i ∈C_c^∞(Ω_j) mit

(a) ϕ_i ≥0 (b) Pn

i=1ϕ_i(x) = 1, falls x∈K (c) 0≤Pn

i=1ϕ_i≤1.

Proof. W¨ahleV mitV kompakt und K⊂V ⊂V ⊂

[n

i=1

Ω_i

nach Bemerkung 2.14. Setze U_i; =V ∩Ω_i und verwende Satz 2.18 Bemerkung 2.20. Das System (ϕ_i)_i∈N heißt der ¨Uberdeckung untergeord- nete Zerlegung der Eins zu K.

3. Sobolev R¨aume I.

In diesem Abschnitt es sei ∅ 6= Ω⊆R^d offen und beschr¨ankt.

Definition 3.1 (Distributionelle Ableitung). Sei f, g ∈ L¹_loc(Ω). Falls die Identit¨at Z

Ω

f D^αϕ= (−1)^|α|

Z

Ω

gϕ f¨ur alle ϕ∈C_c^∞(Ω)

gilt, heißtgdie distributionelle Ableitungvonf, und wir schreibenD^αf =g, f^(α)=g oder f =∂^αg.

Bemerkung 3.2.

3. SOBOLEV R ¨AUME I. 15

(a) Die distributionelle Ableitung ist eindeutig, insbesondere ist die obi- ge Definition sinnvoll, denn

Z

Ω

(f−g)ϕ= 0 f¨ur alleϕ∈C_c^∞(Ω) =⇒ f−g= 0 fast ¨uberall.

(b) Falls f ∈ C^m(Ω). Dann f¨ur jede |α| ≤ m ist D^αf die klassische partielle Ableitung von f.

Definition 3.3. Sei m∈N und 1≤p≤ ∞. Definiere

W^m,p(Ω) :={f ∈L^p(Ω) : ∀|α| ≤m ∃D^αf ∈L^p(Ω)}

kfk_W^m,p_(Ω):= X

|α|≤m

kD^αfk_L^p_(Ω).

Satz 3.4. W^m,p(Ω) ist ein Banachraum.

Proof. Klar: normierter Vektorraum. Um die Vollst¨andigkeit zu zeigen, nehme (f_n) ∈ W^m,p(Ω) eine Cauchyfolge, d.h. die Folgen (D^αf_n) ⊆L^p(Ω) sind alle Cauchyfolgen. Daher konvergieren die auch, bezeichne die Grenz- werten mitfα. Wir zeigen nun D^αf =fα:

Z

Ω

f_αϕ← Z

Ω

D^αf_nϕ= (−1)^|α|

Z

Ω

f_nD^αϕ→(−1)^|α|

Z

Ω

f D^αϕ.

Die Behauptung folgt.

Satz3.5. Sei1< p <∞. Dann istW^m,p(Ω)separabel und reflexiv.W^m,1(Ω) ist separabel.

Proof. Definiere die stetige Abbildung

J :W^m,p(Ω)→L^p(Ω)× · · · ×L^p(Ω)

| {z }

M

=:X,

wobeiM = die Anzahl der Multiindizesαmit|α| ≤mist, durch (Jf)(x) :=

(D^αf)_|α|≤m. Dann istJ stetig invertierbar, bildet also auf einen angeschlos- senen Unterraum von X ab. Falls 1 ≤ p < ∞ ist, ist X separabel, ist zus¨atzlich p > 1, folgt die Reflexivit¨at von X. Nun verwende Satz ?? und Satz??, um die Behauptung zu erhalten.

Lemma 3.6 (Lokale Approximation). Sei 1 ≤ p < ∞, f ∈ W^m,p(Ω) und D⊆ Ω offen mit D ⊆Ω. Betrachte δ = dist(D, ∂Ω)> 0 und den Mollifier η_ε, ε < δ. Setze f_ε:=η_ε∗(χ_Ωf). Dann f_ε→f in W^m,p(D).

3. SOBOLEV R ¨AUME I. 16

Proof.

D^αf_ε(x) =D^αη_ε∗(χ_Ωf)(x) = Z

Ω

D^α(ϕ_ε(x−y))f(y) dy

= (−1)^|α|

Z

Ω

D^αϕ_ε(x−y)f(y) dy^Tr¨ager!= Z

Ω

ϕ_ε(x−y)D^αf(y) dy

= (D^αf)_ε(x), x∈D.

Also f_ε∈W^m,p(D) und nach Satz 2.16 D^αf_ε= (D^αf)_ε→ D^αf. Satz 3.7. F¨ur 1≤p <∞ ist W^1,p(Ω)∩C^∞(Ω)dicht in W^1,p(Ω).

Proof. Betrachte eine lokal finite ¨Uberdeckung Ω_k von Ω, Ω_k ⊆ Ω kompakt (siehe Satz 2.18). Sei ϕ_k Zerlegung der Eins, ε > 0 und c_k > 0 sp¨ater noch zu bestimmen. F¨ur ε > 0 existiert nach Lemma 3.6 f_k,ε ∈ W^m,p(Ω_k) mit kf −f_k,εk ≤c_kε. Setze

fε:=X

k∈N

ϕ_kf_k, also fε−f :=X

k∈N

ϕ_k(f_k,ε−f)

(lokal n¨ur endlich viele Summanden). Die Produktregel gilt, denn f¨ur ψ ∈ C_c^∞(Ω)

Z

Ω

ϕ_kf D_iψ= Z

Ω

(D_i(ϕ_kψ)−D_iϕ_kψ)f =− Z

Ω

(ϕ_kψD_if +ψf D_iϕ_k).

Daher ist ϕ_kf ∈W^1,p(Ω),

D_i(ϕ_kf) =D_iϕ_k·f+ϕ_kD_if.

Ferner gilt induktiv auchϕ_kf ∈W^m,p(Ω), und f¨ur|α| ≤m D^α(ϕ_kf) =X

β≤α

α β

D^α−βϕ_k·D^βf.

Wir erhalten

D^αf_ε−D^αf = X

β≤α

α β

X

k∈N

D^α−βϕ_k(D^βf_k,ε−D^βf).

kD^αf_ε−D^αfk_L^p_(Ω)≤CX

k∈N

kϕkk_Cm(Ω)kD^βf_k,ε−D^βfk_L^p_(Ω)

≤CεX

k∈N

c_k|ϕkk_Cm(Ω)≤ε,

fallsc_k ≤2^−k(kϕ_kk_Cm(Ω)+ 1)⁻¹/C.

Satz 3.8 (Produktregel). Sei 1 ≤ p ≤ ∞, ¹_p + ¹_q = 1 und f ∈ W^m,p(Ω), g∈W^m,q(Ω). Dann f g∈W^m,1(Ω)und D_i(f g) =D_if ·g+f D_ig.

3. SOBOLEV R ¨AUME I. 17

Proof. Sei p < ∞. Nehme f_k ∈ W^m,p(Ω)∩C^∞(Ω) mit f_k → f. Wir haben gesehen D_i(f_kg) =D_if_k·g+f_kD_ig.

Z

Ω

D_iϕ·f g= lim

k→∞

Z

Ω

D_iϕ·f_kg=− lim

k→∞

Z

Ω

ϕD_i(f_kg)

=− lim

k→∞

Z

Ω

ϕ(Dif_k·g+f_kDig) =− Z

Ω

ϕ(Dif ·g+f Dig).

Der Rest folgt mit Induktion.

Satz 3.9 (Kettenregel). Seien Ω^′,Ω ⊆ R^d offen, und Φ : Ω^′ → Ω ein C¹- Diffeomorphismus mit beschr¨ankten AbleitungenDΦ,DΦ⁻¹. Sei1≤p≤ ∞.

Dann gilt f¨ur f ∈W^1,p(Ω):

(a) f◦Φ∈W^1,p(Ω^′).

(b) ∂(f◦Φ) =∂f◦Φ·∂Φ.

Proof. UA.¨

Lemma 3.10. SeiΩ⊂Rⁿ offen.

(a) D_jf⁺= 1_{f >0}D_jf,D_jf⁻=−1_{f <0}D_jf fuer f ∈H¹(Ω) (b) f 7→ |f|, f⁺, f₋ :H¹(Ω)→H¹(Ω) stetig.

(c) D(Ω)₊ dicht inH₀¹(Ω)₊.

(d) u∈H¹(Ω), supp(u)⊂⊂Ω− −> u∈H₀¹(Ω).

Satz 3.11. Sei I 6=∅ ein offenes Interval und f ∈W^1,1(I). Dann existiert eine NullmengeN so, dass f¨urx, y∈I\N

(6) f(y)−f(x) =

Zy

x

f^′(z) dz gilt.

Proof. Seif_k∈C^∞(I)∩W^1,1(I). Dann gilt f_k(y)−f_k(x) =

Zy

x

f_k^′(z) dz→ Zy

x

f^′(z) dz.

Da f_k in L¹(I) konvergiert, besitzt sie eine punktweis fast ¨uberall konver- gente Teilfolge, also lim_l→∞f_kl(z) =f(z) f¨ur fast allez∈I. Satz 3.12. SeiI 6=∅ ein offenes Interval undf, g∈L¹(I) mit

f(y)−f(x) = Zy

x

g(z) dz f¨urx, y∈I \N,

f¨ur eine Nullmenge N. Dann ist f ∈W^1,1(I) und f^′ =g.