Eine Einf ¨uhrung zum

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Eine Einf ¨uhrung zum

numerischen Programmieren mit Excel

Bastian Groß Nina Weiand

Universit ¨at Trier

23. Juni 2014

Groß, Weiand (Universit ¨at Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2014 1/38 23. Juni 2014 1 / 38

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Inhaltsverzeichnis

1 ”Antike“ Numerik

2 Einf ¨uhrung

3 Berechnung vonπ Leibniz Reihe Wallis Produkt Ubungen¨

4 Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe

Rentenberechnung

Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt

5 Newton Verfahren

Babylonisches Wurzelziehen Ubung¨

6 Integralapproximation Mittelwertregel Trapezregel Simpsonsregel Ubungen¨

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Beispielprogramme

Die Beispielprogramme sind hier zu finden:

www.mathematik.uni-trier.de/˜gross

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”Antike“ Numerik

Berechnung in alten Zeiten: Divison

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Berechnung in alten Zeiten: Differenzieren und Integrieren

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Berechnung in alten Zeiten: Grundrechenarten

Die Rechenmaschine von Gottfried Wilhelm Leibniz aus dem Science Muse- um (London UK).

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Einf ¨uhrung

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Einf ¨uhrung

Die einzelnen Zellen und damit ihr Inhalt werden mittel der Zeilenzahl und des Spaltenbuchstabes aufgerufen (z.B. D4).

Falls man eine Zeile oder Spalte konstant halten will geschieht dies mit dem Dollarzeichen, $ (z.B. $D$4 oder jeweils $D4 bzw. D$4).

Formeln in einer Zelle m ¨ussen mit eine Gleichheitszeichen,=, beginnen!

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Einf ¨uhrung

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Einf ¨uhrung

Funktionen die in den einzelnen Zellen aufgerufen werden k ¨onnen, findet man hier!

Um sich Zeit beim Eintippen zu sparen kann man mit Hilfe der Maus Zellen

”ziehen“.

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Einf ¨uhrung

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Einf ¨uhrung

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Einf ¨uhrung

Wenn man die Ausgabe in einer oder mehrerer Zellen formatieren m öchte, also zum Beispiel die Anzahl der Nachkommastellen vergr ößern will, muss man mit einem Rechtsklick der Maus, nach dem alle gew ünschten Zellen markiert sind, auf

”Zellen formatieren“ klicken und dann in diesem neuen Fenster das gew ¨unschte einstellen.

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Einf ¨uhrung

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Einf ¨uhrung

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Berechnung vonπ Leibniz Reihe

Madhave-Leibniz-Formel

π=4

∞

X

k=0

(−1)^k 2k+1

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Berechnung vonπ Leibniz Reihe

Leibniz Reihe zur Berechnung von π

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Berechnung vonπ Wallis Produkt

Wallis Produkt

π=2

∞

Y

k=1

(2k)² (2k)²−1

(19)

Berechnung vonπ Wallis Produkt

Wallis Produkt zur Berechnung von π

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Berechnung vonπ Ubungen¨

Ubung: Riemansche ¨ ζ -Funktion

Schreiben Sie ein Excel Program, dasπmittels der Riemanschenζ-Funktion f ¨ur s=2 approximiert:

π²=6

∞

X

k=1

1 k²

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Berechnung vonπ Ubungen¨

Ubung: Bailey-Borwein-Plouffe-Reihe ¨

Schreiben Sie ein Excel Program, dasπmittels folgender Bailey-Borwein-Plouffe-Reihe (BBP-Reihe) approximiert:

π=1 2

∞

X

k=0

1 16^k

8

8k+2+ 4

8k+3+ 4

8k+4− 1 8k+7

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Numerische Berechnung von Grenzwerten Geometrische Reihe

Geometrische Reihe

F ¨ur die endliche geometrische Reihe gilt folgende Formel

n

X

k=0

α0q^k =α0

1−qⁿ⁺¹

1−q q∈R\{1}, F ¨ur die (unendliche) geometrische Reihe gilt dann f ¨ur|q|<1

∞

X

k=0

α0q^k = lim

n→∞

n

X

k=0

α0q^k = lim

n→∞α0

1−qⁿ⁺¹ 1−q = α0

1−q Die geometrische Reihe findet zum Beispiel in der Finanzmathematik bei der Rentenberechnung (Barwertberechnung) a

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Numerische Berechnung von Grenzwerten Rentenberechnung

Ubung: Eulersche Summenformel ¨

Schreiben Sie ein Excel Program, das die Eulersche Summenformel f ¨ur n=10,100 und 200 berechnet:

n

X

k=0

k=n(n+1) 2 Außerdem noch

n

X

k=0

k²=n(n+1)(2n+1) 6

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Numerische Berechnung von Grenzwerten Fibonacci Zahlen und Goldener Schnitt

Fibonacci Reihe

Leonardo von Pisa (Fibonacci) ca. 1200 Vermehrung eines Kaninchenpaares :

”Ein Paar wirft vom 3. Lebensmonat an in jedem weiteren Lebensmonat ein weiteres Kaninchenpaar, ebenso wie alle seine Nachkommen.”

Die rekursive Folge wird dann wie folgt beschrieben f0=1,

f1=2,

fn+1=fn+fn−1 n≥2.

Nun betrachten wir den Grenzwert des Quotientens

n→∞lim fn+1

fn

= Φ, der gegen den Goldenen Schnittφ= ¹⁺

√ 5

2 konvergiert.

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Fibonacci Reihe zur Berechnung des Goldenen Schnittes

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Ubung: ¨

Schreiben Sie ein Excel Program, das folgende Grenzwerte approximiert:

a)

n→∞lim

√n√

n+1−√ n

b)

lim

n→∞

1+x n

n

x∈Rbeliebig c)

n→∞lim 1−n

n n

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Newton Verfahren

Newton-Raphson Verfahren

Das Newton-Raphson Verfahren ist eine Nullstellensuche f ¨ur eine Funktion f∈C¹[a,b]

mit a,b∈R. Solange f(xk)6=0

xk+1=xk − f(xk) f⁰(xk).

Mit dieser Vorschrift erh ält man eine angen äherte L ösung x∗f ür das Problem f(x) =0.

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Newton Verfahren Babylonisches Wurzelziehen

Babylonisches Wurzelziehen oder Heron Verfahren

Um die Zahl x=√

a f ¨ur ein beliebiges a≥0 zu berechnen, ben ¨utzt man die Funktion f(x) =x²−a

und verwendet das Newton Verfahren zur Nullstellenbestimmung dieser Funktion.

Dann erh ¨alt man als Iterationsvorschrift xk+1= 1

2

xk+ a xk

.

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Babylonisches Wurzelziehen oder Heron Verfahren mit Excel

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Babylonisches Wurzelziehen: Ergebnis

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Newton Verfahren Ubung¨

Ubung: ¨

Schreiben Sie ein Excel Program, das die Nullstellen folgender Funktionen mit dem Newton Verfahren approximiert:

f1:R→R, x7→x²−x−2 mit x∗=2 und x0=1 f2:R→R, x7→e^xmit x0=1

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Integralapproximation

Mittelwertregel von f (x ) =

¹_x

(35)

Integralapproximation Trapezregel

Trapezregel von f (x ) =

¹_x

(36)

Integralapproximation Simpsonsregel

Simpsonsregel von f (x ) =

¹_x

(37)

Integralapproximation Ubungen¨

Ubung ¨

Schreiben Sie ein Excel Program, das die Integrale folgender Funktionen auf dem Intervall[−2,2]mit n=10 und n=100 numerisch berechnet:

f1(x) =x² f2(x) = 1

1+x² f3(x) =cos(x²) Die Exakte L ¨osung muss nicht ausgerechnet werden!

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Integralapproximation Ubungen¨

Informationen: www.mathematik.uni-trier.de/ gross/

grossb@uni-trier.de

Unterst ¨utzt auch von Nina Weiand, Ada-Lovelace Projekt

Eine Einf ¨uhrung zum