Einf¨uhrung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexit¨at

(1)

Einf¨ uhrung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexit¨ at

Tobias Lieber

10. Dezember 2010

(2)

Grundlegendes

Approximationsalgorithmen

Parametrisierte Komplexit¨ at

(3)

Grundlegendes

Definition (Die Klassen P und NP)

Eine Sprache L ⊆ Σ ^∗ ist in P (NP) enthalten, wenn es eine

(nicht)deterministische Turingmaschine M gibt, deren Ausgabe, nach polynomiell vielen Schritten in der Gr¨ oße der Eingabe x, durch

M(x) =

( 1 x ∈ L 0 x 6∈ L

gegeben ist.

(4)

Grundlegendes

Definition (Many-One-Reduktionen)

Eine Sprache A ⊆ Σ ^∗ ist (polynomiell many-one-)reduzierbar auf B ⊆ Σ ^∗ wenn es eine in Polynomialzeit berechenbare Funktion f : Σ ^∗ 7→ Σ ^∗ gibt, so dass x ∈ A ⇐⇒ f (x) ∈ B gilt. Wir schreiben A ≤ _m B.

Definition (NP-Vollst¨ andig)

Eine Sprache L ist NP-Vollst¨ andig, wenn L ∈ NP und f¨ ur alle Sprachen

B ∈ NP gilt: B ≤ _m L.

(5)

Grundlegendes

Definition (Das Problem VertexCover)

Eine Menge X ⊆ V ist ein VertexCover von einem Graphen G = (V , E), wenn es f¨ ur jede Kante e ∈ E einen Knoten v ∈ X gibt so dass v ∈ e gilt.

Die Sprache VertexCover enth¨ alt alle Eingaben G = (V , E ) und k ∈ N 0 ,

die ein VertexCover der Gr¨ oße k haben.

(6)

Grundlegendes

Abbildung: Beispiel: Ein VertexCover

Das (Entscheidungs-)Problem VertexCover ist NP-Vollst¨ andig (Reduktion

von IndependentSet).

(7)

Grundlegendes

Abbildung: Beispiel: Ein VertexCover

Das (Entscheidungs-)Problem VertexCover ist NP-Vollst¨ andig (Reduktion

von IndependentSet).

(8)

Approximationsalgorithmen

Algorithm 2.1: Approximationsalgorithmus f¨ ur VertexCover C ← ∅;

while ∃e = (u, v) ∈ E do C ← C ∪ {u, v};

entferne in G alle Kanten, die inzident zu u und v sind;

return C;

Abbildung: Veranschaulichung des Algorithmus

(9)

Algorithm 2.2: Approximationsalgorithmus f¨ ur VertexCover C ← ∅;

while ∃e = (u, v) ∈ E do C ← C ∪ {u, v};

entferne in G alle Kanten, die inzident zu u und v sind;

return C;

Abbildung: Veranschaulichung des Algorithmus

(10)

Algorithm 2.3: Approximationsalgorithmus f¨ ur VertexCover C ← ∅;

while ∃e = (u, v) ∈ E do C ← C ∪ {u, v};

entferne in G alle Kanten, die inzident zu u und v sind;

return C;

Abbildung: Veranschaulichung des Algorithmus

(11)

Algorithm 2.4: Approximationsalgorithmus f¨ ur VertexCover C ← ∅;

while ∃e = (u, v) ∈ E do C ← C ∪ {u, v};

entferne in G alle Kanten, die inzident zu u und v sind;

return C;

Abbildung: Veranschaulichung des Algorithmus

(12)

Definition (Approximationsg¨ ute)

Die Approximationsg¨ ute ρ von einem Algorithmus A ist definiert durch:

ρ A = max

I⊆L

A(I ) opt I

, opt _I A(I)

.

(13)

Approximationsg¨ ute des VertexCover-Algorithmus

I Jede Kante muss von mindestens einem Knoten abgedeckt werden.

I Eine optimale L¨ osung muss auf alle F¨ alle die ausgew¨ ahlten Kanten abdecken.

I Also muss die Optimall¨ osung mindestens so viele Knoten enthalten, wie Kanten ausgew¨ ahlt wurden.

I Die Approximationsg¨ ute ist also 2.

(14)

Approximationsg¨ ute des VertexCover-Algorithmus

I Jede Kante muss von mindestens einem Knoten abgedeckt werden.

I Eine optimale L¨ osung muss auf alle F¨ alle die ausgew¨ ahlten Kanten abdecken.

I Also muss die Optimall¨ osung mindestens so viele Knoten enthalten, wie Kanten ausgew¨ ahlt wurden.

I Die Approximationsg¨ ute ist also 2.

(15)

Definition (Approximationsklassen)

Name G¨ ute Zeit

f (n) n ^O(1)

APX const. n ^O(1)

PTAS 1 + n ^f ⁽

¹

⁾

EPTAS 1 + f ( ¹ )n ^O(1)

FPTAS 1 + (n + ¹ ) ^O(1)

(16)

Parametrisierte Komplexit¨at

Definition (Die Klasse FPT)

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und f : N 7→ N .

Wir schreiben L ∈ FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit f (k )|x | ^O(1) von einer

DTM erkannt werden.

(17)

Algorithm 3.1: Hat G ein VertexCover der Gr¨ oße k T 1 ←− {∅};

for i=1 to k do

forall the X ∈ T _i do

W¨ ahle eine Kante {u, v } ∈ G [V \ X ];

T _i+1 ←− (T _i \ X ) ∪ {X ∪ {u} , X ∪ {v }};

if G [V \ (X ∪ {u})] = ∅ then return X ∪ {u};

if G [V \ (X ∪ {v })] = ∅ then return X ∪ {v }

(18)

Definition

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und d , f , g , h : N 7→ N.

1. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit d (k )|x | ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

2. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit f (k) + g (k)|x + k | ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

3. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit h(k) + |x| ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

Beweis.

(19)

Definition

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und d , f , g , h : N 7→ N .

1. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit d (k )|x | ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

2. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit f (k) + g (k)|x + k | ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

3. Beweis.

2) ⇒ 1) Annahme: p(x) = x ^d . Wenn a, b ≥ 1 gilt, folgt aus a + b ≤ a(b + 1):

g (k ) + f (k)(n + k) ^d ≤ (g (k) + f (k )(k + 1) ^d )(n + 1) ^d

(20)

Definition

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und d , f , g , h : N 7→ N .

1. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit d (k )|x | ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

2. 3. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit h(k) + |x| ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

Beweis.

1) ⇒ 3)

f (k)p(n) ≤ f (k) ² + p(n) ²

(21)

Definition

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und d , f , g , h : N 7→ N .

1. 2. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit f (k) + g (k)|x + k | ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

3. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit h(k) + |x| ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

Beweis.

3) ⇒ 2) klar

(22)

Definition (Die Klasse XP)

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und f : N 7→ N .

Wenn alle (x, k) ∈ L von einer DTM in |x| ^f ^(k) Schritten erkannt werden, dann ist L ∈ XP.

Beispiel f¨ ur XP: IndependentSet ist in XP. Aber F¨ arbbarkeit von Graphen

ist nicht in XP ausser P = NP (3-F¨ arbbarkeit ist NP-Vollst¨ andig).

(23)

Definition (Die Klasse XP)

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und f : N 7→ N .

Wenn alle (x, k) ∈ L von einer DTM in |x| ^f ^(k) Schritten erkannt werden, dann ist L ∈ XP.

Beispiel f¨ ur XP: IndependentSet ist in XP. Aber F¨ arbbarkeit von Graphen

ist nicht in XP ausser P = NP (3-F¨ arbbarkeit ist NP-Vollst¨ andig).

(24)

Einf¨uhrung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexit¨at

Einf¨ uhrung in Approximative Algorithmen und Parametrisierte Komplexit¨ at

Tobias Lieber

10. Dezember 2010

Grundlegendes

Approximationsalgorithmen

Parametrisierte Komplexit¨ at

Definition (Die Klassen P und NP)

Eine Sprache L ⊆ Σ ∗ ist in P (NP) enthalten, wenn es eine

(nicht)deterministische Turingmaschine M gibt, deren Ausgabe, nach polynomiell vielen Schritten in der Gr¨ oße der Eingabe x, durch

M(x) =

( 1 x ∈ L 0 x 6∈ L

gegeben ist.

Definition (Many-One-Reduktionen)

Eine Sprache A ⊆ Σ ∗ ist (polynomiell many-one-)reduzierbar auf B ⊆ Σ ∗ wenn es eine in Polynomialzeit berechenbare Funktion f : Σ ∗ 7→ Σ ∗ gibt, so dass x ∈ A ⇐⇒ f (x) ∈ B gilt. Wir schreiben A ≤ m B.

Definition (NP-Vollst¨ andig)

Eine Sprache L ist NP-Vollst¨ andig, wenn L ∈ NP und f¨ ur alle Sprachen

B ∈ NP gilt: B ≤ m L.

Definition (Das Problem VertexCover)

Eine Menge X ⊆ V ist ein VertexCover von einem Graphen G = (V , E), wenn es f¨ ur jede Kante e ∈ E einen Knoten v ∈ X gibt so dass v ∈ e gilt.

Die Sprache VertexCover enth¨ alt alle Eingaben G = (V , E ) und k ∈ N 0 ,

die ein VertexCover der Gr¨ oße k haben.

Abbildung: Beispiel: Ein VertexCover

Das (Entscheidungs-)Problem VertexCover ist NP-Vollst¨ andig (Reduktion

von IndependentSet).

Abbildung: Beispiel: Ein VertexCover

Das (Entscheidungs-)Problem VertexCover ist NP-Vollst¨ andig (Reduktion

von IndependentSet).

Algorithm 2.1: Approximationsalgorithmus f¨ ur VertexCover C ← ∅;

while ∃e = (u, v) ∈ E do C ← C ∪ {u, v};

entferne in G alle Kanten, die inzident zu u und v sind;

return C;

Abbildung: Veranschaulichung des Algorithmus

Algorithm 2.2: Approximationsalgorithmus f¨ ur VertexCover C ← ∅;

while ∃e = (u, v) ∈ E do C ← C ∪ {u, v};

entferne in G alle Kanten, die inzident zu u und v sind;

return C;

Abbildung: Veranschaulichung des Algorithmus

Algorithm 2.3: Approximationsalgorithmus f¨ ur VertexCover C ← ∅;

while ∃e = (u, v) ∈ E do C ← C ∪ {u, v};

entferne in G alle Kanten, die inzident zu u und v sind;

return C;

Abbildung: Veranschaulichung des Algorithmus

Algorithm 2.4: Approximationsalgorithmus f¨ ur VertexCover C ← ∅;

while ∃e = (u, v) ∈ E do C ← C ∪ {u, v};

entferne in G alle Kanten, die inzident zu u und v sind;

return C;

Abbildung: Veranschaulichung des Algorithmus

Definition (Approximationsg¨ ute)

Die Approximationsg¨ ute ρ von einem Algorithmus A ist definiert durch:

ρ A = max

I⊆L

A(I ) opt I

, opt I A(I)

.

Approximationsg¨ ute des VertexCover-Algorithmus

I Jede Kante muss von mindestens einem Knoten abgedeckt werden.

I Eine optimale L¨ osung muss auf alle F¨ alle die ausgew¨ ahlten Kanten abdecken.

I Also muss die Optimall¨ osung mindestens so viele Knoten enthalten, wie Kanten ausgew¨ ahlt wurden.

I Die Approximationsg¨ ute ist also 2.

Approximationsg¨ ute des VertexCover-Algorithmus

I Jede Kante muss von mindestens einem Knoten abgedeckt werden.

I Eine optimale L¨ osung muss auf alle F¨ alle die ausgew¨ ahlten Kanten abdecken.

I Also muss die Optimall¨ osung mindestens so viele Knoten enthalten, wie Kanten ausgew¨ ahlt wurden.

I Die Approximationsg¨ ute ist also 2.

Definition (Approximationsklassen)

Name G¨ ute Zeit

f (n) n O(1)

APX const. n O(1)

PTAS 1 + n f (

)

EPTAS 1 + f ( 1 )n O(1)

FPTAS 1 + (n + 1 ) O(1)

Definition (Die Klasse FPT)

Sei L ⊆ Σ ∗ × N eine Sprache und f : N 7→ N .

Wir schreiben L ∈ FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit f (k )|x | O(1) von einer

DTM erkannt werden.

Algorithm 3.1: Hat G ein VertexCover der Gr¨ oße k T 1 ←− {∅};

for i=1 to k do

forall the X ∈ T i do

Eine Sprache L ⊆ Σ ^∗ ist in P (NP) enthalten, wenn es eine

Eine Sprache A ⊆ Σ ^∗ ist (polynomiell many-one-)reduzierbar auf B ⊆ Σ ^∗ wenn es eine in Polynomialzeit berechenbare Funktion f : Σ ^∗ 7→ Σ ^∗ gibt, so dass x ∈ A ⇐⇒ f (x) ∈ B gilt. Wir schreiben A ≤ _m B.

B ∈ NP gilt: B ≤ _m L.

, opt _I A(I)

f (n) n ^O(1)

APX const. n ^O(1)

PTAS 1 + n ^f ⁽

⁾

EPTAS 1 + f ( ¹ )n ^O(1)

FPTAS 1 + (n + ¹ ) ^O(1)

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und f : N 7→ N .

Wir schreiben L ∈ FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit f (k )|x | ^O(1) von einer

forall the X ∈ T _i do

T _i+1 ←− (T _i \ X ) ∪ {X ∪ {u} , X ∪ {v }};

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und d , f , g , h : N 7→ N.

1. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit d (k )|x | ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

2. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit f (k) + g (k)|x + k | ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

3. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit h(k) + |x| ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und d , f , g , h : N 7→ N .

1. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit d (k )|x | ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

2. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit f (k) + g (k)|x + k | ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

2) ⇒ 1) Annahme: p(x) = x ^d . Wenn a, b ≥ 1 gilt, folgt aus a + b ≤ a(b + 1):

g (k ) + f (k)(n + k) ^d ≤ (g (k) + f (k )(k + 1) ^d )(n + 1) ^d

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und d , f , g , h : N 7→ N .

1. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit d (k )|x | ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

3. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit h(k) + |x| ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

f (k)p(n) ≤ f (k) ² + p(n) ²

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und d , f , g , h : N 7→ N .

2. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit f (k) + g (k)|x + k | ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

3. Die Sprache L ist in FPT, wenn alle (x, k) ∈ L in Zeit h(k) + |x| ^O(1) von einer DTM erkannt werden.

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und f : N 7→ N .

Wenn alle (x, k) ∈ L von einer DTM in |x| ^f ^(k) Schritten erkannt werden, dann ist L ∈ XP.

Sei L ⊆ Σ ^∗ × N eine Sprache und f : N 7→ N .

Wenn alle (x, k) ∈ L von einer DTM in |x| ^f ^(k) Schritten erkannt werden, dann ist L ∈ XP.

I Wir f¨ uhren ein EPTAS A mit der Eingabe X und = _k+1 ¹ .

opt _X = A(X )

ρ _L ≥ k + 1

1 + _k+1 ¹ = (k + 1) ² k + 2 > k