ZAHLREICHER FACHGrENOSSEN DES IN- UND AUSLANDES

ZEITSCHRIFT

F Ü R

KRYSTALLOGRAPHIE

UND

MINERALOGIE

UNTER MITWIRKUNG

ZAHLREICHER FACHGrENOSSEN DES IN- UND AUSLANDES

H E R A U S G E G E B E N

VON

P. GROTH.

S E C H S T E R B A N D .

MIT 12 LITHOGRAPHIRTEN TAFELN UND 177 HOLZSCHNITTEN.

LEIPZIG,

VERLAG VON WILHELM ENGELMANN.

1882.

Inhaltsverzeichniss des sechsten Bandes.

H e f t I · (Geschlossen am 12. Jnli 1881.)

Seite ' I. M. Websky, über die Ableitung des krystallogTaphischen Transformations-

Symbols. (Mit 1 Holzschnitt.) ' 1 II. Ä. Arzruni, künstlicher und natürlicher Gay-Lussit 24

III. Έ. Bamberger, B e c h i ' s sogenannter »Picranalcim« von Monte Catini . . 32

IV. C. Baerwald, der Thenardit von Aguas blancas . . . 36 V. G. A: König, über den Alaäkait, ein neues Glied aus der Reihe der

Wisimithsiilfosälze. : : : A ' 42 VI. O. Lehmann, mikrokrystallographische Untersuchungen. (Mit Taf. I u. II.) 48

VII. A. Fitz u. F. Sansöni, über Doppelsalze der Fettsäuren. (Mit-4 Holzschn.) 67 VIII. Kürzere Originalmittheilungen und Notizen.

1. F. Fletcher, über einen Zifkonzwilling. (Mit 1 Holzschnitt.) . . . . 80 2. V. von Zepharovich, Krystallformen dreier Coniin verbin düngen. (Mit

4 Holzschnitten.). 81 3. Oers., Kiystallformen von Kampherderivaten. (Mit 5 Holzschnitten.) 85

4. A. Arzruni, über den Dietrichit 92 IX. -Auszüge.

1. J. S. Humpidge und W. Burney, Gadolinitanalysen. 94 2. J. M. Thomson, Wirkung isomorpher Salze auf übersättigte Lösungen —

3. J. W. Mallei, mineralchemisehe Mittheilungen 95 4. F. R. W. Daw, neues Vorkommen von Emplektit (Kupferwismuthglanz) 98

5. A. Schmidt, Axinit von Veszverds und Medels —

6. Oers., Cölestin von Perticara 99 7. Ders., über Pseudobrookit 100 8. C. A. Tenne, über den Epistilbit · · • —

9. fr. Seligmann, krystallographische Notizen . . . . . . . . 1 0 2

10. A. Weisbach, zur Kenntniss des Leucit 103 11. K. Martin, Notizen über Diamanten. . —

Ch. Έ. Weiss, die Krystallisationsgesetze seit Chr. S. Weiss, insbe- sondere die Lehre von den Hemiedrieen, erläutert am Diamant . . —

12. M. Bauer, Beiträge zur Mineralogie 104 13. L. Kloche, über ein optisch-anomales Verhalten des unterschwefel-

sauren Blei 106 14. A. Weissbach, mineralogische Notizen . · . • . . • —

15. H. van Wervecke, Ittnerit und Skolopsit 109 16. W. Έ. Hidden, Xenotim von Burke Co, N. Carolina . 1 1 0

17. G. W. Sawes, über flüssige Kohlensäure im Bauchquarz 111 A. W. Wriqht, über die gasförmigen Substanzen im Rauchquarz von

Brancheville, Com . —

18. F. P . Dunnington, Mikrolith von Amelia Co, Virginia 112

IV Inhaltsverzeichniss des sechsten Bandes.

H e f t I I . (Geschlossen am 10. September 1881.)

Seite X. K. Haashof er, krystallographische Untersuchungen. (Mit 40 Holz-

schnitten.) 113 XI. C. Tulfrieh, photometrische Untersuchung über · Absorption des Lichtes

in anisotropen Medien. (Hierzu Taf. IH.) 142 XII. A. Fock, über die Isomorphie einiger Thalliumsalze mit den entsprechen-

den Verbindungen anderer Metalle. (Mit 7 Holzschnitten.) 160 XIII. E. Ludwig, über die chemische Zusammensetzung des Epidots 175

XIV. Kürzere Originalmittheilungen und Notizen.

1. fr. vom Math, Eisenglanz und Augit von Ascension. (Mit 2 Holz-

schnitten.) 192 2·. A. Cathrein, Kiystallform des Diosphenol. (Mit l· Holzschnitt.). . . 194

3. P. Groth, natürlicher Barytsalpeter . 195 XV. Auszüge.

1. A. Levalois und St. Meunier, krystallisirter wasserfreier K a l k . . . . 196 2. St. Meunier, Synthese von Thonerde- und Alkali-Thonerde-Silikaten. — 3. J. Thoulet, die rauhe Oberfläche einiger Mineralien im Dünnschliff . 197 4. Ders., Beiträge zum Studium der physikalischen Eigenschaften mikro-

skopischer Krystalle . . . I — 5. G. Uzielli, Lösungsstreifen am ChTomalaun 198 6. A. Scacchi, gelbe Incrustationen der Vesuvlaven von 1631 —

7. M. Jerofejew, Magneteisenkrystalle vom Berge Blagodatj . . . —

8. P. Lucehetti, Bergamaskit, ein magnesiafreier Ampnibol 199

9. Ders., über den Dimorphismus — 10. A.' Corn, Pollucit von Elba 200 11. O. Tschermak und L. Sipösz, Beitrag zur Kenntniss des Zoisits . . —

12. A. von Lasaulx, über Doppelbrechung Und Dichroismus, durch Druck

an Krystallen der Silberhaloide hervorgerufen 202 13. Oers., Pseudobrookit Und Tridymit von Riveau Grand am Mont Dore 203

14 . Ders., Cölestin von Ville-sux-Saulx — 15. A. Renard, die chemische Zusammensetzung des Epidots von Quenast —

16. F. Becke, über den Hessit (Tellursilberglanz) von Botes in Sieben- bürgen — .

17. Ders., Hypersthen von Bodenmais 206 18. E. J. Hailock, Columbitanalyse . 208

19. Μ. E. Hidden, Zirkonzwillinge von Renfrew, Canada — . H e f t I I I . (Geschlossen am 30. December 1881.)

XVI. Η. Baumhauer, über den Nephelin. (Hierzu Taf. IV.) 209 XVII. G. Seligmann, mineralog. Notizen II. (Hierzu Taf. V.)

6. Turmalin 217 7. Svanbergit. . . 227 8. Jodsilber 229 9. Turnerit . . , 231

XVIII. V. von Zepharovich, über Rainit, Rutil und Anatas. (Hierzu Taf. VI.)

1. Kainit von Stassfurt 234

•2. Rutil aus dem Stillupthal in Tirol 238 3. Anatas aus dem Binnenthale 240 XIX. A. Cathrein, über Titaneisen, Leukoxen und Titanomorphit (Mitth'. a. d.

min. Lab. d. Polytechn. Karlsruhe, I) . . . . 244 XX. D.ers.„ über Alexandrit von der Tokowaia. (Mit 8 Holzschnitten.) 257 XXI. O. Lüdecke, krystallogr. Beobachtungen an organischen Verbindungen.

(Mit 8 Holzschnitten.) 263 XXII. Auszüge.

1. F. Quiroga, mineralogische Untersuchungen der in Spanien gefundenen Steinbeile . . . . · . . . 270

Inhaltsverzeichniss des sechsten Bandes. V

Seite

2. O. Meyer, Einiges über die mineralogische Natur des Dolomits . . . . 2 7 1 . . 3. A. Renard,. Unterscheidungsmerkmale des Dolomits und des Calcits in

den Kalk- und Dolomitgesteinen des belgischen Kohlenkalks 272 . .4, K.. Haushof er, über das Verhalten des Dolomits gegen Essigsäure. . . 274

5. Tanret und Villiers, über den Inosit 276 6. A.Daubrie, krystallinische Substanzen, welche .sich auf antiken, in den

Thermen von. Baracci, Corsica, gefundenen Medaillen gebildet, haben . — 7. Ders., Bildung von ged. Schwefel im Boden von Paris . . . 277 8. H. le Chatelier, Entstehung eines krystallisirten Baryumsilikates. . . . — 9. E. Filhol, Feldspathe aus dem Thale von Baguferes-de-Luchon . . . . 278

10. A. Loir, Kristallisation der Alaune. 279 11. F. Pisani, ein Blei-Kupfer-Vanadat von Laurium —

12. A. Maller, ein Cyansäureäther des Borneols . 280 13. A. Karpinskij, Kohlensäureeinschlüsse in Mineralien — 14. A. Scacchi, vulkanische Auswürflinge aus dem Tuff von Nocera und Sarno 281

15. A. Corsi, töskaniäche Zirkorie und Pleönast der Elbaner pietre verde . —

16. H. Rosenbusch, Zirkon in . den Gesteinen 283 17. Cr. La Volle, zwei organische Chlor-Platin-Doppelsalze. (Mit 2 Holz-

schnitten.) 284 18. Fr. Mauro und R. Panebianco, Molybdänbioxyd. (Mit -1 Holzschnitt.) . 285

19. C. Rammeisberg, über die Zusammensetzung des Pollucits von Elba,

2. Abhandlung 286 20. C. Friedel und Crafts, Synthese der Mellitsäure 287

C. Friedel und M. Balson, künstliche Darstellung des Mellits — 21. C. Friedel, ein neues Vorkommen des Dawsonits und dessen Zusammen-

setzung — M. Chaper, Dawsonit von Toskana —

22. Baret, Chlorophyllit von Loquidy . . .*. 288 23. F. Oonnard, Dumortierit, ein neues Mineral —

A. Damour, Zusammensetzung des Dumortierits — 24. Ders., neue Analysen des Jadei't und verwandter Substanzen 289

25. J. und P. Curie, Polarelectricität, an geneigtflächig hemiedrischen

Krystallen duTch Druck hervorgebracht 291 26. E. Bertrand, ein neues Mineral aus der Umgegend von Nantes . . . . 293

27. Ders., mikromineralogische Beobachtungen 294 28. E. Bertrand und A. Damour, Zinkaluminit, ein neues Mineral von

Laurium . 297 29. E. Bertrand und A. des Cloizeaux, Serpierit, ein neues M i n e r a l . . . . 298 30. A. des Cloizeaux, optische Untersuchungen mit dem Bertrand'schen

Mikroskop . . . : . . . : : : . . · 299 31. Ders. und A. Damour, Chalkomenit, ein neues MineTal. . . . 300

A. Damour, chemische Zusammensetzung-des-Chalkomenits — C. Friedel und E. Sarasin, künstlicher Chalkomenit —

Dies., Krystallform des Kupferselenits — 32. C. Friedel und E. Sarasin, Darstellung des Orthoklases auf nassem Wege 302

33. Dies., künstlicher Phosgenit 303 34. C. Friedel, das Acetat des Benzhydrols —

35. F. Oonnard, Apatit in den Pegmatiten des Lyonnais — 36. A. Lacroix, Melanit von Lantigne bei Beaujeu 304 37. E. Jannettaz und L. Michel, sibirischer Nephrit — 38. E: Mallard, einige Produkte der Brände in den Kohlengruben von

Commentry 30,5 39. Comte de Limur, pyrenäische Mineralien. 306

40. D. Klein, mechanische Scheidung von Mineralien vom spec. Gewicht bis 3,6 — 41. E. Bertrand, Pyromorphit und Mimetesit. . N. . 308

E. Jannettaz, optische Eigenschaften des Pyromorphit und Mimetesit. . — Ders. und L: Michel, Beziehungen zwischen der chemischen Zusammen- setzung und den optischen Eigenschaften des Pyromorphit und Mime-

• tesit — 42. O. Lüdecke·, Mesolith und Skolezit 310

43. Ders., über Reissit. . . • • . . . 315

VI Inhaltsverzeiehniss des sechsten Bandes.

Seite 44. F. von Kobell, über das speciflsche Gewicht geglühter Silicate und anderer

Oxydverbiridungen 316 45. O.Fraas, der Schwefel im Jordanthal 317

46. G. Seligmann, Anatas aus dem Binnenthal — 47. F. Klockmann, seltene Zwillingsverwachsungen des Orthoklas. (Mit

3 Holzschnitten.) 318 48. V. von Zepharovich, mineralogische Notizen 319

49. A. Renard und Ch. de la Vallde Poussin, über Ottrelith. . . . 320 H e f t r v . (Geschlossen am 30. Janaar 1892.)

ΧΧΠΙ. A. Schrauf, Beiträge zur Kenntnise des Associationskreises der Magnesia-

silikate. (Mit Tafel VII) 321 XXIV. S. Koch, über den Wulfenit 389

XXV. Kürzere. Originalmittheilungen und Notizen. '

1. C. Hintze, pseudo- und paramorphe Senarmontitkrystalle . . . . 4 1 0 2; A.· Schrauf, Uranothallit, false Liebigit, von Joachimsthal. (Mit 3 Holz-

schnitten.) — XXVI. Auszüge.

1. H. BUcking, über durch Druck hervorgerufene optische Anomalien . . 414 2. F.. Klocke, übeT einige optische Eigenschaften anomaler Krystalle und

deren Nachahmung durch gespannte und gepresste Colloide 415 .3. M.. Schuster, über die optische Orientirung, der Plagioklase. (Mit 12 Holz-

schnitten.) 419 4. F. Fouqui und A. MiebM-IAvy, die in ihrer Zusammensetzung zwischen

Albit und Anorthit. stehenden Feldspathe . . . . 427 5. Έ. Mallard, über den Isomorphismus der triklinen Feldspathe . . . . 428

6. H. Laspeyres, über Stauroskope und stauroskopische Methoden . . . . 429

7. A. Renard, ein glimmeraxtiges Mineral von Nil St. Vincent 432 - H e f t " V . (Geschlossen am 3. März 1882.)

XXVII. H. Laspeyres, über stauroskopische Anomalien. (Mit Tafel VIII.) . . . 433 XXVIIL J. Bechenkamp, über die thermische Ausdehnung des Gypses. (Mit

1 Holzschnitt.) 450 ' XXIX. Th. Hjortdahl, krystallographisch - chemische Untersuchungen. (Mit

36 Holzchnitten.) , 456 XXX. F. Klockmann, die Zwillingsverwachsungen des Orthoklases aus dem

Granitit .des Biesengebirg.es. (Mit Tafel IX und X.) 493 XXXI. Auszüge.

1. Α. E. Nordenshiöld, Bemerkungen über den Thaumasit 511

2. W. Lindgren, Mimetesit von Longbän — 3. Ders., über die Arseniate von Longbän 512 4. G. Lindström, Analyse des Thorit von Hitterö 513 5. M. Weibull, ein wasserhaltiges Eisenoxydsilikat 514 .6., Th, Nordström, mineralanalytische Beiträge, 3. Silberamalgam von der

Salagrube. — 7. H. Knutsen, Damourit von Fen ^ —

. . .8. Q. Lindsträmx Analysen von zwei Mineralien von Longbän 515 9. J. Lawr. Smith, Chromeisenstein im Meteoreisen von Cohahuila . . . 516

10. W. E. Bidden, Mineralfundorte in Nordcarolina 517 Ders., Smaragd von Alexander Co., Nordcarolina —-

11. J. W. Mallet, Krystallform des Sipylit 518 12. J. L. CampbellDufrenit von Kockbridge Co., Va.'. '. '. '. —

13. B. Sülipiqn, Türkis von .Neu-Mexico.. . . . 519

••-•'i'i^k

Inhaltsverzeichniss des sechs ten rBaiidee· , * * VII , / ' •-••''·'•·on I r J j i f u f s

« e r n u r r j o o i ü i - U i ; i V G r s ^ t , R0n i · S e i t e

. . 14, F.S. Dana, über den smaragdgrünen Spodumenvon Alexari^F DtröftCy'n

. . . Nord-Carolina Q 519 - 15ι B. Silliman, mineralogieoke Notizen- -QJ . . . 521

16. W. P. Blake, Vorkommen von Bleivafiadat in Castle Bjjpie-District, Arizona · . . . . ' . . . . 522

"17". F. Ä. Genih,' Analyse des smaragdgrünen Spodumen<'JiIiddenit} von

Alexander Co., N. C. . . . — . . J8, A·. F- . Wünsch,. Degit, ein neues Mineral —

19. B. F. Harrington, über den Dawsonit 523

• · 20: E: Ciaassen, mineralogische Notizen . . ' . " . ' . · . • . · — 21, F. Cooper xtn& H. C. Lewis, über ein Dopplerit ähnliches Mineral

von Seranton,' Pennsylvänieri. . . ' . ' . ' . ' . ' . . ' . ' . . 524

22, (7. .vqn.Haifer, krystallogenetische .Beobachtungen.. — 23, Ή.· Baron von Foulion, krystallogenetische Beobachtungen . . · . . . . 532

- · 24-, H: Baker, -zwei Fluorverbindungen des Vanadins. (Mit 1 Holzschnitt.) 533 25. Ders., 'Krystallform des' Kaliumtellurbromid. (Mit 2 Holzschnitten.) 534 26. jR. Panebianco, Krystallformen des Nitrosothymol, der Lapächosäure

und der Cuminsäure. . (Mit 3 Holzschnitten·) · .· 535 27. J. Strüver, Krystallform der Usninsäure. (Mit 1 Holzschnitt.). . . . 538

28. G. vom Rath, Orthitkrystall. von Auerbach. (Mit 4 Holzschnitten). . 539 29. Ders., Kalkspath von Lancashire und Oberschelden. (Mit 2 Holz-

schnitten.) 540 30. J. W. Mallet, mineralogisch-chemische Mittheilungen 541

31. P. Jannasch und J. H. Kloos, Feldspathanalysen 543 32. C. A. Burghardt, faseriges Chlornatrium — 33. V. von Lang, verbesserte dichroskopische Lupe 544 34. A. Renard, Monazit von Nil St. Vincent —

H e f t " V I . (Geschlossen am 26. April 1882.)

XXXII. A. Schmidt, Cerussit und Barvt von Telekes im Borsoder Comitate

(Ungarn). (Mit Tafel XI u. 1 Üolzschnitt.) 545 XXXIII. M. Websky, über die Interpretation der empirischen Oktaidsymbole auf

Rationalität 559 XXXIV. 0. Luedecke, über Feuerblende von St. Andreasberg. (Mit 2 Holz-

schnitten 570 XXXV. O. Lehmann, MikrokrystallogTaphische Untersuchungen. (Mit Tafel XII.) 580

XXXVI. P. Friedländer, krjstallographische Untersuchung einiger organischer

Verbindungen. (Mit 6 Holzschnitten.) 590 XXXVII. Kürzere Originalmittheilungen und Notizen '.

1. A. Purgold, zwei abnorme Diamantkrystalle. (Mit 3 Holzschnitten.) . 595 2. Η. A. Miers, Cerussit von La Croix. (Mit 4 Holzschnitten.) . . . . 598 XXXVIII. Auszüge.

1. W. G. Sankel, electrische Untersuchungen 601 2. J. Maci de Lipinay, Untersuchung über anomale Doppelbrechung . . 607

3. A. von Lasaulx, Apparat zur Demonstration der sogenannten sphä- rischen Projection, sowie der Lage der optischen Axen und der Ver-

hältnisse der Dispersion in Krystallen 611 4. Έ. Mallard, optische Eigenschaften isomorpher Mischungen und E r -

klärung der Circularpolarisation 612 5. Ders., über einige Erscheinungen der chromatischen Polarisation . . 626

6. A. Raimondi, Peru's Mineralien 627

VIII Inhaltsverzeichnis des sechsten Bandes.

Seite

' ' v 7. J. HirscKwald, Bergkrystalle von Middleville, Ν. Y.. 636 . 8. A.KenngoU, über Topas, Pyxrhotin und Pseudobrookit —

9. S. Fischer ι über Jadeit. 637

10. Zettler, über Enargit :—

11. V. Goldschmidt, Unterscheidung von Arsenkies und Arsenikalkies vor

• · • · dein 'Löthröhr ". . . . . . V . '. '. ". " . ' . " . ' . . . ' , . . . 638 12. F. Sandberger, über Nakrit von Siebenlehn, Pseudomorphosen von

Gilbertit nach Zinnwaldit; -Rotheisen 'nach Manganit, Stiblith nach

• Antimonit; Ehlit von Moldawa

13. Br. /Schubert, über die Mineralvorkommnisse von Jordansmühl in

Schlesien. . . 639 14. It. Sugiura und Ή. Baker, über Magnesiumvanadate. (Mit 3 Holz-

schnitten.) . . . . . . . 640

• · 15. H: Baker,· über gewisse Fälle' des Isomorphismus. (Mit 6 Holz-

schnitten.) · . . .· 641 16. F.. Field, Analyse eines Cronstedtitähnlichen Minerals . . . 643

17. N. S. Maskelyne, künstlicher Diopsid 644 18. Oers., Enstatitfels von Südafrika — 19. V. von Lang, über ein horizontales Goniometer . —

20. H. Dufet, Aenderung der Brechungsexponenten des Gypses mit der Temperatur. ·. . · . . . . 645

• Autorenregister. . .· 649 Sachregister . ; 654

I. Ueber die Ableitung des krystallographischen Transformationssymbols.

V o n

M. W e b s k y in Berlin*).

(Mit 1 Holzschnitt.)

Man hat in der krystallographischen Praxis zuweilen das Bedürfniss, die Axenrichtungen und die Einheitswerthe der Axen einer beschriebenen Krystallgattung zu ändern, so dass für die nach den ursprünglichen Ele- menten symbolisirten Flächen neue Symbole aufkommen. Der aus den alten Symbolen und den Veränderungsbedingungen hergeleitete, der all- gemeinen Form eines Symbols entsprechende Ausdruck, welcher, ange- wendet auf eine bestimmte Fläche, das ihr zukommende neue Symbol giebt, ist das Transformationssymbol genannt worden.

Unter den verschiedenen, behufs Ableitung desselben eingeschlagenen Wegen ist der von Q u e n s t e d t (Grundriss der bestimmenden und rech- nenden Krystallographie, Tübingen 1873, S. 377 unter dem Abschnitt

»Zonenaxenschnittformel«) betretene der bei Weitem anschaulichste, be- darf aber einer Berichtigung und Erweiterung, welche hier unter Benutzung älterer und neuerer Arbeiten gegeben werden soll.

[Vergleiche: V. v. L a n g , Lehrb. d. Kryst. 1866, S. 31. — S c h r a u f , Phys. Mineral 1, S. 120. — L i e b i s c h , d. Zeitschr. 1, 152.]

Wenn man die Veränderung der Axenrichtung so normirt, dass man bestimmt, dass drei nach den ersten Axen OA, OB, OC mit den Symbolen

a b a b a b ' F, = — : — : c, Fn = — : — : c , F, = — : — : c

μι Vi μ2 v2 μ3 V%

belegte Flächen, bezogen auf die zweiten Axen OAn, OBn, OCn Hexal'd- symbole erhalten sollen, nämlich

*) Im A u s z u g e : Monatsbericht d. k. Akad. d. W . in Berlin. Febr. 1881, S. 139.

Groth , Zeitschrift f. Krystallogi. VI. 1

2

Μ. Websky.

i i = οοα„: b

so muss man noch, um zur Bildung von Flächensymbolen zu gelangen, be- stimmen, dass eine vierte Fläche

Fi — —: — : c

t*e ve

nach den neuen Axen das Symbol

ψ' χ'φ

annehme, und zwar muss das letztere ein Oktai'dsymbol sein, wo φ, χ, xp keiner anderen Bedingung unterworfen sind, als der, zwischen 0 und ± oo belegen zu sein. Durch diese vierte Fläche wird nämlich das Einheitsver- hältniss der neuen Axen bestimmt, welches bei der Wahl der Hexal'dsym- bole f i l r i i , F

unbestimmt bleibt. Denselben Zweck würden auch zwei Flächen erfüllen können, wenn zunächst die eine Fläche einer Hexal'dzone der neuen Axen angehört und dieserhalb, auf diese bezogen, ein Dodekal'd- symbol erhalten und das eine der beiden Einheitsverhältnisse der neuen Axen unbestimmt lassen müsste; dieses letztere würde dann durch eine ID einer anderen Hexal'dzone der neuen Axen belegene Fläehe mittelst des ihr darnach beizulegenden Dodekaidsymboles zu bestimmen sein, oder durch eine Oktaidfläche, mittelst eines nur bezüglich der dritten Axe will- kürlich wählbaren Axenschnittes.

Da aber die so durch zwei Flächen bewirkte Normirung der neuen Axeneinheiten sich auf dem Wege der Deduction als identisch mit der durch das Symbol e i n e r von ihnen abgeleiteten Oktaidfläche erweist, so bildet eine solche im Allgemeinen das erforderliche Requisit zur Fixirung der neuen Einheitswerthe.

Die Aufgabe geht nun dahin, für irgend eine andere nach OA, OB, OC symbolisirte Fläche F = ^: ^: c den einem Symbol analogen Ausdruck

%. ^n. ^c _ ^an . Cⁿ h' k ' n ~~ ^(μ,ν) 'ΐ2[μ,ν) '^{μ,ν)

abzuleiten, in welchem die Beziehungen /i, f

den gegebenen Forde- rungen entsprechen.

Die Entwicklung gestaltet sich am einfachsten, wenn man bestimmt, dass als F

die Basis der ursprünglichen Axen, c = oo a: oo b : c (mut. mut.

eine in F

nicht vertretene Hexal'dfläche derselben) das Symbol

= an: bn: cn

annehme.

Trägt man in die parallel-perspectivisch dargestellte Linearprojection

Ueber d i e Ableitung des krystallographischen T r a n s f o r m a l i o n s s y m b o l s . 3 d e s Axensystemes OA, OB, OC auf eine der Basis (mut. m u t . der zu Fi g e -

w ä h l t e n Axenebene) parallele Projectionsebene die drei Sectionslinien d e r Flächen Fu F2, F3, die als Oktal'dflächen zu denken sind, mit den aus den Symbolen folgenden, positiven oder negativen Axenschnitten, also Sections-

u . s. w . ein, so entstehen drei Zonenpunkte U zwischen Fl u n d F3, V zwischen F2 und F3, W zwischen F\ und F2;

v e r b i n d e t man diese mit dem allen Flächenrichtungen gemeinsamen Punkt C in der Axe OC, in der Entfernung c= 1 von 0, was in der Figur, um d i e - s e l b e möglichst einfach zu erhalten, n u r bezüglich des Punktes U geschehen

ist, so repräsentirt

CU die neue Axenrichtung 0An, u n d analog

CV die neue Axenrichtung 0Bn, CW die neue Axenrichtung 0Cn.

1 *

4 Μ. Websky.

Die Lage der Punkte U, resp. F u n d W, kann man durch die Goordinaten (axoparallelen Abstände)

OR^u = ^ = α

mu νΛ μι — ^ μ3

o su = ± = - μ > ~ μ >

nu ν3μ1 — νίμ3

ORv = — = α

mv ν3μ 2~ ν2μ3

o sv = ± - μ * ~ μ >

υ /Μ _{ν ν}

3μ2 — ν2μ3

ORw = — = α

mw ν2 μι — Vi μ2

nw ν2 μι V\ μ2

angeben.

Die Basis wird nach dem Princip der Linearprojection durch eine mit den Projectionsaxen, OA und OB, parallele, durch C gehende Reductions- Ebene repräsentirt, welche keine Sectionslinie in endlichen Dimensionen besitzt; sie schneidet die neuen Axen CU, CV, CW in unendlich kleinen, also die Einheitswerthe nicht wahrnehmbar darstellenden Entfernungen;

das Verhältniss der Axenschnitte unter einander bleibt aber unverändert^

wenn man unter Beibehaltung der Richtung dieser Axen das Axenkreuz.

CU, CV, CW nach dem Ausgangspunkte Ο der Axen OA, OB, OC ver- schiebt, so dass es die Lage OX, resp. OF und Ο Ζ erhält. Alsdann schneidet die Reductionsebene der alten Basis die Ebenen UCOX resp. VGOY und

WCOZ in den mit OU, resp. OV und OW parallelen Linien CAn, resp.

CBⁿ, CCⁿ und sind dann die γοη OX, resp. OY, Ο Ζ abgeschnittenen Stücke OAⁿ, resp. OBⁿ, OCⁿ die positiven Einheiten der neuen Axen, also an, resp. bn und cn, auch = CU, resp. = CV und CW.

Jede andere Fläche F = —: —: c wird in die Linearprojeclion einge- tragen als Ebene durch C, Μ, N, so dass OM — — in Axe OA, ON = — in

μ ν

Axe OB genommen wird; eine solche Ebene wird die Axen OX, resp. OY und OZ in drei Abständen OH, resp. OK und- OL schneiden und alsdann durch die Proportion OH : OK: OL, ausgedrückt in der Form

° Π . η Α · ° Α . ηη . O L _ n n _ α. "η. ^n Ö A n - 0 A n - Ö B ^ - ° B n - Ö C n 0 C n - T - k - l

ihr Transformationssymbol gegeben sein.

Die drei Längen OH, resp. OAT und OL werden jede für sich als lineare

lieber die Ableitung d e s krystallographischen Transformationssymbols. 5

nach der Einheit OC gemessene Stücke in den Ebenen UCOX, resp. VCOY lind WCOZ nach Q u e n s t e d t wie folgt, gefunden.

Wenn U die Goordinaten (axoparallelen Abstände)

0RU = ^ = a

ν³μ^ι — ν^ίμ³

0SU — —= b

erhalt, so repräsentirt die Mittelpunktslinie OU die Säulenfläche =

— : — - — : oo c und besitzt der Zonenpunkt U,, den diese mit der Sections-

«tt — nu

linie Λ/JV der allgemeinen Fläche F = —: — : e macht, die Coordinate μ ν

ν c o n^{u a =} ^

<x>muvοοη„μ muv + ηημ

in den ähnlichen Dreiecken UOR und UⁱORⁱ besteht die Proportion OU : OUi = OR : OR^t

oder

0U^t: UU^ = Oiij: OR^t — OR, so dass

OUr.UU, = ^ : L

muv + nul·* muv + nuV· mu

= numu: numu — muv — ηημ

= \ -a-JL-L

™u n^u

w i r d ; in den ähnlichen Dreiecken OHU^x und UCU^X ist ferner OH: CU — 0Ut : UUX

und daher auch, da CU = OAⁿ,

OH: OAⁿ = : 1 = % : aⁿ.

n n μ h ⁿ

Es ist also h = 1 — — und analog m^u n^u

k=

m^v n^v w ⁿw und damit die Aufgabe vollständig gelöst.

Der Zonenpunkt Ux, und analog Fi und W\, fällt entweder in den Projectionsquadranten, in welchem U, resp. V und W belegen sind, oder in den diametral entgegengesetzten; liegt im ersteren Falle Ux zwischen Ο

6 Μ. Websky.

u n d U, dann wird ^ negativ in den Grenzen 0 und — oo, liegt dagegen Uy weiter von Ο als U, dann w i r d ^ positiv in den Grenzen -f- an und - j - o o ; fällt aber U\ in den entgegengesetzten Quadranten, dann w i r d ^ p o s i t i v in·

den Grenzen 0 und + an.

Man gelangt zu demselben Resultat, wenn man an Stelle der Verschie- b u n g des Axenkreuzes CU, CV, CW in die Lage OX, OY, OZ die E b e n e der allgemeinen Fläche CM Ν nach W transportirt, CU u n d CV als Projec- tionsaxen in der Ebene CUV ansieht, und die Längen berechnet, in d e n e n CU u n d CV von den durch W gelegten Parallelen mit CM und CN getroffen·

w i r d ; die Entwicklung ist aber eine ungleich umständlichere.

Um das so gefundene, n u r f ü r den Fall, dass die Basis c = ooa:oob:c das Symbol = an:bn:cn annehme, gültige Transformationssymbol der a l l - gemeinen Fläche F =—: — : c in

μ ν

an. Kt ,cn __ . ^n . cn h ' k ' l μ v \ Ρ v \ f1 v

mu nu mv nv mw n^, dahin zu verallgemeinern, dass der Voraussetzung-:

Fi = — : - : c gehe Uber in San μβ^β φ χ Ψ

genügt werde, muss auf einen bekannten Satz zurückgegangen w e r d e n . Wenn ohne Veränderung der Axenlagen irgend eines Axensystems- die Einheiten d e r Axen so verändert w e r d e n sollen, dass eine Fläche-

= — : — : — d a s Symbol an:bn:cn annehme, d . h . die Axeneinheiten b e - Ps vs Qs

, α , b , c stimme, so hat man an = — , bn = — zu setzen, soiern cn = — genom-

e s vs Qs

men w i r d , und geht das Symbol einer allgemeinen Fläche = —: —:— , d a s man auch

« . Vs . b . v« . £ . £ j μ μ5 vs ' ? 9s schreiben kann über in

un · . un • „ vn·

μ ν ρ

Soll also in dem vorliegenden Falle als f4 nicht die Basis der alten:

Axen, w e l c h e nach den neuen Axen das Symbol:

Ueber die Ableitung des krystallographischen Transformalionssymbols. 7

°n . Cn ,

— 1 _ o — 0 · 1 — 0 — 0 ' <1 — 0 — 0 " "

erhält, sondern eine andere Fläche F»= --: — : c, der nach den neuen Pe Ve.

Axen und bisherigen Einheiten das Symbol

an . ' bn ' Cn

W le te _v_e \ — ^ _ . \ _

rn^u n^u m^v n^v m^w n^w zukommt, nach den anderweitig zu normirenden Einheiten das Symbol Fi = ann • bnn • cnn annehmen, so wird

_ an l ^n Cn

™"nn — ,, „, » "nn „ > ^nn —

mu nu mv nv mw nw

zu setzen sein und für die alleemeine Fläche F=—:—:c in den neuen , μ ν

Axenrichtungen und den nach F⁴ normirten Einheiten ein Transformations- symbol

\ _ te

m„ n„ 1 — Me ^{_ Ve_}

τηυ nv^b 1 —

n^w JL ^{V nn} 1 — H l ^V m^v n^v 1 —

m^w _nw h ' k ' 1

nu aufkommen.

Wenn aber die Fläche ~Ft = - : - : c = ^ : Ja ^: Hz das Symbol μβ ve he ke le

bjm· £>m a n n p . h m p n snll fin hat. m a n η = Ψ^ϋ h = r = Ψϊ

j ^ L . j m . ™ annehmen soll, so hat man aⁿⁿ = ^ , bnn = f - , cnn =

ψ λ, Ψ ^ae ⁿe Ii

zu setzen und das Symbol der allgemeinen Fläche e

in die Form

ρ an . cn h " k ' l

1 (£h„ 1 xhh - 1 t h r h'<ph k'xK l'rple "e zu bringen, so dass nunmehr das Transformationssymbol derselben

ann . &nn. cnn mu nu . mv nv u mw nw

h ' k ' 1 " ( i - ü - ^ W " " ( « - - ^ - - V

\ mu n j r \ mv ηυ)Λ \ mw nw r lauten wird.

Die Werthe

\ _ t l

Κ _ mu nu = φ ψ ψ

8 Μ. Websky.

Κ _ mv ηυ _ j^·

e

\e_ __ mto nw yy 1// rp

sind constante, n u r von den Veränderungsbedingungen abhängige Grössen, welche f ü r j e d e allgemeine Fläche gleich bleiben, so dass man das allge- meine Transformationssymbol auch

Q- ^{V! !>}

schreiben kann.

cnn _ ύηη,Χ cnn ^ /

1 - μ ν κ μ

•^V 1 - μ ν

mu nu m^v % mw nw

Wenn beispielsweise an den Krystallen des Axinits (vergl. G. v o m R a t h , Poggend. Ann. 122, 371 u. f.) nach der Aufstellung von N a u m a n n die Flächen

b = (coa : : c) s = : oob : c) c = [a' : | 6 : c)

symbolisirt w e r d e n und nach dem Vorschlage von G. v o m R a t h anderseits die Symbole

b = (oo ann : bnn : oo cnn) s =(ann : oobnn : oo cnn) c = (oo ann : oo bnn : cnn) erhalten u n d l = (α : oo b : oo c) in das Symbol

/ ann . bn n . \

— \ — 5 ' — 3 ' nnJ ü b e r g e h e n soll, so liegt

Axe OAnn in Kante b | c, OBnn in Kante s | c, OCnn in Kante b | s ; ferner giebt

Fläche b die Werthe μ1 = 0, v{ = — 2 s desgl. μ2 = + 2 , v2 = 0 c desgl. μΆ = S — , v3 = + 3 u n d folgt aus μ1 V\ μ-όν3

3 · 0 — 1 · 2

Ueber die Ableitung des krystallographischen Transformationssymbols. 9 aus μ2ν ι μΆν3

aus μ^ Vi μ²ν²

3 •2 — 1 •0 3 — 0 3 • 2 — 1 · 0

2 + \ 0· • 0 + 2 · • 2

0 + 2 0 • 0 + 2 •2

0 — 2

= + 2 ,

= + 2 ,

= + 2,

= - 2 , während

μ^β = οο, v^e = -\-\, φ= — 5 , χ = — 3, ψ = + 1 ist.

Die constanten CoSfficienten sind

Φ = —¹ V¹ = — ί ⁰⁰

— 5 ²

+ * *

und ihr Verhältniss kürzer

Φ:Χ:Ψ= + 3 : — 1 : + 3.

Darnach lautet das allgemeine Transformationssymbol einer allgemeinen Fläche F = —: —: c in dem vorliegenden concreten Falle

μ ν

ann. b-nn, Cⁿⁿ a^{n n} ( ± 3 ) . °nn l ¹) . ^cnn ( + 3 ) h ' k ' l 1 + f μ + \v' \ — — ' 1 — \μ +

ann . ^nn . ^nn .

+ 2 + 5 μ + ΐ ' ' — 6 + 3·μ + 3ί>' + 2 — jtt + y ' und geht ζ. B. Fläche

über in

„ , „, a b o = 2 a ' : l^&: c = - ¹ : ^{T I} : c

bnn . ^cnn Q>ⁿn _ bⁿⁿ 2 — I + f — 6 — f + f + 2 + | + £ ' — ^a τ

Die Hexal'dflächen des Axensystems OA, OB, OC erhalten, bezogen auf die Axen OAⁿⁿ, OBⁿⁿ, OCⁿⁿ folgende Symbole:

Fa= ooa : b : ooc = a : ^ : c = Axenebene AOC giebt

10 Μ. Websky.

αηη ® . bnnX Cnn Ψ

m„ η„ »ι„ m^TO

ηΜαηη ® : ηυ ^ηηΧ '• _n"wcnn^i

und analog

F^b = a : cob : ooc = : b : c — Axenebene BOG giebt

ann. bnn. ^cnn ⁿ Oi · m h 7C • m r Ψ TT • IT ·Ύ~ — muann w · mv °ηηΛ· · mw cnn r

Η "b lb

Fⁿ = oo a : oo b : c = : : c = Axenebene Α OB siebt 0 0

ann . ^nn . cnn „ rn • h Ύ • η ift τ · Ί Γ ·~Γ — "·η " n n ' n n

ac c 'c

Diese Symbole besagen anderseits, welche nach einem ersten Axen- systeme OAⁿⁿ, OBⁿⁿ, 0Cⁿⁿ bezeichneten Flächen zu Hexal'dflächen eines zweiten Systemes OA, OB, OC bestimmt werden müssen, wenn die Hexai'd- flächen des ersten Systemes in dem zweiten die Symbole F^l = : : c, F, = - : - : c . Fo = —·. — : c und die Fläche Fi = i n d e m

μ* v* • to η φ χ Ψ zweiten System das Symbol = —: —: c annehmen sollen.

μβ ve

Nachdem man die Flächen Fa, Fb, Fc in Symbolen nach OAnn, OBnn, OCüⁿ ermittelt, kann man unter Aufstellung eines anderen Transformations- symboles alle nach OAnn, OBnn, OCnn anderweitig symbolisirten Flächen in Symbolen nach OA, OB, OC angeben.

Unter zweimaliger Anwendung dieser Sätze kann man ein Transfor- mationssymbol für den allgemeinsten Fall ableiten, welcher darin besteht, dass man die Veränderungsbedingung durch die Angabe von vier neuen Symbolen für vier irgendwelche nach den bekannten Axen symbolisirte Flächen ausdrückt.

Es dürfen jedoch diese vier Flächen nicht zu dreien in einer Zone be- legen sein; auch muss bei der Wahl der neuen Symbole mindestens das eine ein Oktaldsymbol sein und das vierte die von den drei willkürlich gewählten Symbolen bedingten Limiten des concreten Falles innehalten (vergl. Monatsberichte 1879, S. 351).

Dass eben nur vier, nicht zu dreien in einer Zone liegende Flächen hierzu geeignet sind, ergiebt sich aus folgender Betrachtung. Das allge- meine Transformationssymbol, wie es sich bis jetzt herausgestellt hat und auch in dem hier weiter verallgemeinerten Falle keine Veränderung er- leiden w i r d , enthält acht zu bestimmende Werthe, nämlich die zwei

Ueber die Ableitung des k r y s t a l l o g r a p h i s c h e n T r a n s f o r m a t i o n s s y m b o l s . 11 Quotienten der Proportion Φ :X: Ψ und die sechs W e r t h e mu, ηυ

mw i nw Jedes Symbol von nicht zu dreien in einer Zone liegenden Flächen repräsentirt zwei Momente, nämlich die zwei Quotienten seiner drei A x e n - schnitte; es genügen also vier nicht zu dreien in einer Zone liegende Flächen, um durch Annahme von neuen, innerhalb der zulässigen Grenzen liegenden Symbolen ein neues Axensystem zu präcisiren. Drei in einer Zone liegende Flächen repräsentiren dagegen nur fünf bestimmende Momente, w e i l der sechste Axenschnilt von den übrigen ableitbar ist. Yon fünf Flächen in zwei Zonen ist die in beiden belegene Fläche ganz abhängig von den übrigen zu symbolisiren, so dass die Orientirung eben nur in vier Flächen beruht.

Die A u f g a b e , aus vier anderweitigen, obigen Voraussetzungen ent- sprechenden neuen Flächenbezeichnungen ein allgemeines Transformations- symbol abzuleiten, w i r d dadurch gelöst, dass man diejenigen Flächen in Form von Symbolen nach den gegebenen A x e n OA, OB, OC ermittelt,

welche zu neuen Axenebenen, AⁿOCⁿ, BⁿOCⁿ, AⁿOBⁿ gewählt, b e w i r k e n , dass die bisher F, = —: — : c , R> = —: — : c , F3 = —: — : c, F, =

μι V\ μ% Vi μ3 v3

— : — : c symbolisirten Flächen die Symbole Fx = ^:~: cn, F2 = cn

ji/j V\ tly /i'j tl 2 A~2 pnd analog F3, jF4 annehmen.

Zu diesem Behuf wird ein Hülfsaxensystem OAm, OBm, OCm einge- führt, in welchem F1, F2> Hexa'idflächen sind und zwar

Ft = 00 am : bm : 00 cm

= a^m : cob^m : 00 c^m F^z - 00 a^m : 00 b^m : c^m

w ä h r e n d die Fläche F4 das Symbol = am: bm: cm (oder irgend ein beliebiges Oktal'dsymbol) annimmt.

In dem Axensystem OAm, OBm, OCm kann man die Flächen Gy

= — : — : cm und analog G2, G3 angeben, welche zu Hexa'idflächen ge-

ci r/i

wählt w e r d e n müssen, damit die Hexai'dflächen Flt F2, F3 die Symbole

= vv ^c - ^{F2= F3==} vk :Cn erhalten ' während Fi

= am ·. bm: cm in das Symbol ^ : ^ : cn übergeht.

h^ /C4

Es kommt nun darauf an, die von den Symbolen Gy = ^: c, G2

= — : — : c , G» = —: — :c bezeichneten Flächen, bezogen auf die ur-

«2 V2 ' «3 V3 ^&

sprünglichen A x e n OA, OB, OG auszudrücken.

Zu diesem Zwecke muss man in dem Axensystem OAm, OBm, OCm

12 Μ. Websky.

diejenigen drei Flächen Ht = — : - : cm, H2 = ^ : ^ : cm, H3 =

£4 T/4 «5

— : — :cm aufsuchen, welche, zu Axenebenen gewählt, bewirken, dass die

«t i t . HexaTdflächen der neuen A x e n 0Am, 0Bm. 0Cm, also die Flächen F,, F2, F3

.. ,, , , „ a b „ a b a b

die Symbole F, — — : — : c , r2 — — : — : c , Κ = — : — : c annehmen,

η Vi μ3 v3 '

w e n n F4 = om: : cm in = — : — : c übergeht.

Fi v\

Nachdem man diese Flächen g e f u n d e n , kann man ein allgemeines Transformalionssymbol aufstellen, welches die Symbole angiebt, die er- halten w e r d e n , wenn man die nach OAm, OBm, OCm bezeichneten Flächen H^u H², H³ ZU Axenebenen wählt mit der Maassgabe, dass F⁴= a^m:b^m: c^m in das Symbol = : : c übergeht.

Mittelst dieses Transformationssymboles kann man dann auch die Flächen Git G2, G3 nach den A x e n OA, OB, OC ausdrücken.

Da nun die Flächen Git G2, G3 die Eigenschaft haben, zu Axenebenen gewählt und mit der Maassgabe, dass f4 = r5: ^ : cn w e r d e , die Flächen

Λ4 a'4

. an bn „ . an bn . an bn , . Ft in = τ- '• 7 - : c„, F2 in = ·=-: γ-: cn, F3 in = j-: : cn überzuführen, so

1} [ /Cj // 2 /C 2 '',1 /tß

bat man nur nölhig ein zweites Transformationssymbol unter Zugrunde- legung dieser Verhältnisse aufzustellen, um die gestellte A u f g a b e zu lösen.

Wenn

(Naumann:,«»') (vom R a t h : W)

„,.. . a b . an b„

Flache 0 = —7: - r - j : c in = - — τ : — ; : cn

+ T — τ

"2" Τ ΐ T " T Τ a . _b__. an bn

+ %' — i 'C — — 2 : + 3 :

a b an bn

übergehen soll, so sucht man zunächst in dem Hülfsaxensystem OAm, OB, m, OC^m, in welchem

0 = Ft = co am ·. bm : 00 cm

d — F2 = am : 00 bm : 00 cm

N q = F3 = 00 am : 00 bm : cm ist und e = F4 das Symbol am : bm : cm

annimmt diejenigen Flächen, welche als Axenebenen gewählt, bewirken, dass

Ueber die Ableitung des krystallographisohen Transformalionssymbols.

o = o o am : bm : o o cm d a s S y m b o l = : : c„

— 1

^w bn

= am : o o bm : o o cm = —^: —^ : cn

ι Oft bn

q = o o am : o o bm : cm = — τ : τ : c»

+ i + 1

w i r d , w e n n e = am : : cm d a s S y m b o l

a nb „ .

= —-:—; : cn a n n i m m t . i —Ίϊ

M a n s e t z t : At = + -J-, ftj = — ^ τ ³ Λ2 = — 2 , ft2 = . + 3 As = + i , = + t - 3 Γ Τ ! "3 r ^ u n d findet a u s hl k1 h3 k3

+ A 1 1 „ + A + T6 „ f e r n e r a u s Λ2 &2 h3 ks a n a l o g

mv = + 1 , nv = + 1 . u n d a u s Λι Aj Λ2

mw = — -J-, nw = — | ; e s i s t w e i t e r he = — \ , ke = — f , (? = χ = ψ = 1 u n d ( s . S . 7 )

+ 1

X + 1 —

Ψ = < - ( - ! ) · ( - » ) - ( - t H - 3 ) + a - s - 9

+ 1 + 2

u n d Φ-.Χ: Ψ = + 1 : + 1 : — 2 ; d a r a u s (s. S . 10) G j = o o an: bn: o o c„,

a u s g e d r ü c k t n a c h d e n A x e n OAm, OBm, OCm,

Gj = cm = ooam ( + 1) : + 1 bm (+ 1) : - \cm (—

£i y ι

^ ^ , j i &m

— o o am : -)- •§ om : cm — —: ' c,n >

j , bm

ι = an : o o o „ : o o c« = — : — : cm =

«2 Vi

= + i a » ( + < ) : + < • δ » ( + I ) :. — ( — 2) = -f- ^ öm : "I" ·§ · := ^ g : : cm

u n d G3 = = o o cin : o o Ö« : c„ = — : — : cm =

«a η3

14 Μ. Websky.

= <xm (+

1)

(+ 1) :

(— 2) =

km : '• C, m·

α 6

fr

1 ' _L_ 3

a

6 + 2

—4

α 6

Um nun diese für G

G

, G

nach den Axen 0A

, 0B

, 0C

gefun- denen Symbole auf die Axen OA, OB, OC zu transformiren, sind nunmehr diejenigen Flächen nach OA

, OB

, OC

bezeichnet aufzusuchen, welche zu Axenebenen des Systems OA, OB, OC genommen werden müssen, damit die Axenebenen von OA,„, OB

, OC

, nämlich

Fo = d= a

: oo b

:; oo-c„

F3 = q = oo am : oobm : cm = —^: -pg : c

annehmen, wenn . ""

F

= e = a

: b

: c

in -^j-: q-j : c übergeht.

Es ist dann μ

= — ^, = + μι = + 2, vi = — 4

μ

= — 1 ,

= + 5 und

aus μ^ι Vi μ3ν3

5 _1_ 3 S_ _I_ 3

m

< — fr ~ TT a „'

~

mu — + 5 — ^f' — * >

ferner analog aus

m'„ = + f, «'„ = +'2

und aus μ¹ Vi μ2ν2

= + + ferner

μ

= — 1, v

= + 1, φ' = χ == ip' = 1, uüd daraus

x

- - - ^ " ^ T -

ψ

= — φ τ = — = +

Φ' : X' : Ψ' =

— 1 : + 1 : + 2 Man hat also:

TT

ι ßm ^m

i/

= ooo:o:ooc = —: — : c «4

=

= — 2-a

(— 1): -f- 2 · · (+ 1) : +fc

(+ 2)

= -(- 2 a

: -fr 2 : 4 c

" +1 +1 == — ^ : — j : c

Ueber die Ableitung des krystallographischen Transformationssymbols. 1 5

H² = a : oob ooc = — : c^m =

«5 Vs

= -%-a^m(— 1): + f M + 1): + (\c^m ( + 2)

= + f am • + I bm : + Ί*j-cm

= "f" Ή"^am '· + V & „ : c^m = ^{| 1 t} : -j—g- : c^m

"T-+T t t t rr __ . __ ι .

Ho = ooa : oob : = — : — : c^m =

«6 Ve

= a^m {— 1J : 6^m ( + 1) : c^m ( + 2;

: r ä^:+ 2^{: C m}

Um das allgemeine Transformationssymbol aus dem System OA^m, OB^m, 0C^m in das System OA, OB,OC zu bilden hat man nun -

«4 — + $ , ¹?4 = + f

«5 = + ff·,-· Vi = + A ε6 = — 2, 7 / 6 = 4 - 2 und aus «4 */4 «6 »/β

» " « = + <> n"^u=-h ferner aus «⁵ % e⁶

^ = + = + ν und aus ε^ίη^ίε^ίη⁵

m"w = — ,2, n"w = + -J; es ist weiter . Y = *" = + 1, ψ " = + 1 und

i - ¹ , ¹ _ ¹ . s 4 - 2 2 3 ,

— Ί = — 2 " " ^ ² v » _ < - < · ! — + 40 — 4 — 9 _

+ 1 ^— + 1 0 ^— ™

Μ ( - | Η · 3 _ + Η < - 6 _ ^a

4- 1

4- 2 •

Φ" : X " : Ψ*' = — 5 : + 1 : + 5.

Das allgemeine Transformationssymbol aus den Symbolen nach OAm, OB^m, OC^m in die nach OA, OB, OC lautet daher ftlr die allgemeine Fläche

a^m b^m a b F = — :—•. c^m = - • . - : c

ε η μ ν

_ α ( — 5) . δ ( + 1 ) • . c ( + 5)

\ — ^ε . 1 — η . 3 • \ _ ^ε . ι ^ . \ _ ^ε ( _ ^ι _ ^ . 3 _ α ( + 1 0 ) . b ( + 1 0 ) . . c (4- Ί-0)

_ — 2 + 2 « + 3?;' 10 — 4 « — 9η ' 2 + ε — 6η

16 Μ. Websky.

— 2 + 2« + 3?7' 10 — 4 ε — 9?7 ' 2 + ε — 6η Nach diesem Transformationssymbol wird

ρ bm

α b 2 4 _ 2 . 0 + 3 · | · + 1 0 — 4 - 0 — 9 - f 2 + 0 -

o b c b ,

= oo a : — - : c (Fläche b),

— 2 + 2 Ί 0 — 6 ' 2 — 4 — 2

p ^m

2 _ + l : + F m

a

- 2 + V6 + f io - V - ¥ ' 2 + ι - v α . b c _ 1 0 + 16 + 6 ' 5 0 — 32 — 1 8:1 0 + 8 — 1 2

a b c a + 12 ' 0 ' + 6 + 2

^ km

ο 6

: oob : c, (Fläche s)

— 2 — 4 — 6 10 + 8 + 18 2 — 2 + 12

α ^ ^{C α} ^ : c = ä' : -j- : c (Fläche c)

— 1 2 + 3 6 Ί 2 — 1 + 3 3 Nimmt man nunmehr

Gt = b = oo a: : c als A x e n e b e n e ooa— ^ n: bn:oo cM

G2 = s = — ^ : oo & : c an:oobn:ooc„

+ «

und

α 6

— 7 = + 3

= c = —t'.-t^'-C 00an:00bn: C„

° ^: * ^{: c} als Fläche : A » : ^c

— 1 + 1 — i — f so ist wiederum, wie oben

m " '^v= + 2 , = + 2 m"'^w = + 2 , n"'^w = - 2 , wogegen

φ'" = - 1 , = - 1, Ψ"' = + < wird.

Ueber die Ableitung des k r y s t a l l o g r a p h i s c h e n T r a n s f o r m a t i o n s s y m b o l s . 17 Die constanten Factoren ergeben sich

r _ < - M ) ( - | ) ~ _ + 2 - 3 + 1 + s

ϊ — 1

Λ — Z I — Ζ Γ 3 ~ — i

+ 1 + 2 Φ'" : X'" : Ψ" = + 3 : — 1 : + 3.

Darnach wird das gesuchte schliessliche Transformationssymbol für die Fläche F = - : - : c = ^ : cn

μ ν h k n

. \W . cn

+ 2 + + — 6 + 3 μ + 3 ι / ' + 2 — μ + ν wie oben lauten.

Da dieses zweite Transformationssymbol gleichfalls seinen Ausgang nimmt von drei nach OA, OB, OC symbolisirten Flächen, die als Axen- ebenen für ein neues System dienen sollen, während eine vierte Fläche in diesem neuen System ein Okta'idsymbol annimmt, so besitzt besagtes zweites Transformationssymbol immer die Form

αη·Φ _ bn-X οη·Ψ

h ' k ' n { _ μ ^

die man auch

Κ

Οιμ + Ειν + ΡιΌιμ+Ρ1ν + ft Χιμ + Yiv + Ζ, und mit Rücksicht auf die Proportionalität des Ausdruckes

Ώμ + Εν + F' Ο μ + Pv + Q' Χμ + Υ ν + \

schreiben kann, so dass dieselbe acht Goöfficienten D, E, F, Ο, P, Q, Χ, Y enthält, welche aus den Transformationsbedingungen hergeleitet werden

müssen. t

Man kann dieselben nun auch nach der Methode der unbestimmten Cogfficienten direct aus den acht Gleichungen finden, welche in den vier neuen Symbolen enthalten sind, die als Veränderungsbedingung vier nach den gegebenen Axen bekannten Flächen beigelegt werden.

Wenn Fx = — : — : c übergehen soll in = ^ : ^ : c , so muss μι Vi h\ k.

an . K .r

^ ' kx ' n ΰμ1+ EVi + F' Ομχ + Pvx + Q' Χμγ +

G r ο t h , Zeitschrift f. Krystallogr. VI. 2