Welchen Wert hat Null hoch Null?

Markus J. Stroppel

Zusammenfassung

Es wird zuerst an Hand der Entwicklung der Potenzrechengesetze aufgezeigt, dass die Definitionx⁰= 1f¨ur allex∈ Rsinnvoll ist. Dann wird die allgemeine Definition von Potenzenb^amita, b∈ Rund b > 0motiviert und erl¨autert. Schließlich wird gezeigt, dass die (vorher schon als sinnvoll erkannte) Festsetzung0⁰ = 1die allgemeine Potenzfunktion nicht stetig fortsetzt — dass das aber auch keine andere Fortsetzung tut. Die Notwendigkeit der benutzten Voraussetzungen (Kommutativgesetz, Asso- ziativgesetz, die Beschr¨ankung auf positive reelle Zahlen als Basis) wird erl¨autert. Insbesondere wird aufgezeigt, dass eine Erweiterung allgemeiner Potenzen auf nicht reelle Basen zu Problemen f¨uhrt.

1 Potenzrechengesetze

Wir denken uns einen RechenbereichB, in dem wir ”wie ¨ublich“ rechnen k¨onnen. F¨ur unsere Zwecke hier soll das heißen: Man hat eine Multiplikation inB(die je zwei Zahlenx, y∈Bein Produktx·yzuordnet), und f¨ur diese Multiplikation soll wenigstens gelten, dass es auf die Reihenfolge der Faktoren nicht an- kommt (Kommutativgesetz:x·y=y·xf¨ur allex, y∈B) und dass Klammern bei mehrfachen Produkten unn¨otig sind (Assoziativgesetz:x·(y·z) = (x·y)·yf¨ur jede Wahl vonx, y, z ∈B). Als Beispiele f¨ur Bereiche mit Multiplikationen, die diese beiden Gesetze erf¨ullen, haben wir (jeweils mit der ¨ublichen Multiplikati- on) den BereichN = {1,2,3, . . .}der nat¨urlichen Zahlen, den BereichZ = {−3,−2,−1,0,1,2,3. . .} der ganzen Zahlen, den BereichQ =_z

n

z∈Z, n∈N der Br¨uche, den BereichRder reellen Zahlen, oder den BereichCder komplexen Zahlen.

Wir definieren¹f¨ur jede nat¨urliche Zahln∈Nund jedes Elementb∈Bdie Potenz bⁿ:=b· · ·b

| {z }

n

.

Durch (wiederholten) R¨uckgriff auf das Assoziativgesetz und (f¨ur die zweite Formel) auch das Kommuta- tivgesetz erh¨alt man:

1.1 Lemma. F¨ur allex, y∈Bund allem, n∈Ngilt:

(a) x^m·xⁿ=x^m+n, (b) xⁿ·yⁿ= (x·y)ⁿ.

1

2 Ganze Exponenten

Ab jetzt soll der BereichB auch ein Neutralelement f¨ur die Multiplikation enthalten — also ein Element namens1so, dass f¨ur allex∈B gilt:1·x=x(=x·1).

F¨ura, b∈ B kann man dann fragen, ob die Gleichungb·x = 1oder allgemeinerb·x =aeine L¨osung x∈B besitzt. Falls die Gleichungb·x = 1l¨osbar ist, nennt manbinvertierbar inB. Die L¨osung f¨ur die erste Gleichung nennt man Inverse zub, und bezeichnet diese mitb⁻¹. Dass die Schreibweiseb⁻¹f¨ur die Inverse sinnvoll ist, bedeutet eine Erweiterung des Rechengesetzes aus 1.1(a), siehe 2.2 und 2.3.

2.1 Lemma. Istbinvertierbar inB, so gibt es nur eine² L¨osung der Gleichungb·x= 1inB.

Beweis. Es seienu, vL¨osungen der Gleichung; es gelte alsob·u = 1undb·v = 1. Wir sollen zeigen, dassuundv¨ubereinstimmen.

Wegen des Kommutativgesetzes gilt auchu·b= 1. Das Assoziativgesetz liefert u=u·1 =u·(b·v) = (u·b)·v= 1·v=v ,

insgesamt alsou=v, wie verlangt.

2.2 Lemma. Es seiena, b∈B.

(a) Wennbinvertierbar inBist, dann istb⁻¹·aeine L¨osung der Gleichungb·x=a.

(b) Ist binvertierbar inB, so gilt f¨ur allen∈N: bⁿ⁺¹·b⁻¹=bⁿund(b⁻¹)ⁿ= (bⁿ)⁻¹. (c) Sind a, bbeide invertierbar inB, so gilt(a·b)⁻¹ =b⁻¹·a⁻¹ ( =a⁻¹·b⁻¹).

Beweis. Wir verwenden das Assoziativgesetz, umb·(b⁻¹·a) = (b·b⁻¹)·a= 1·a=anachzurechnen.

Weiter rechnen wir

bⁿ⁺¹·b⁻¹ = (bⁿ·b)·b⁻¹=bⁿ·(b·b⁻¹) =bⁿ·1 =bⁿ

— wobei wir wieder das Assoziativgesetz verwendet haben. Induktiv ergibt sich daraus die Regel bⁿ · (b⁻¹)ⁿ= 1, woraus(b⁻¹)ⁿ= (bⁿ)⁻¹folgt (wegen der Eindeutigkeit der Inversen vonbⁿ, siehe 2.1).

Wegen der in 2.1 festgestellten Eindeutigkeit der Inversen gen¨ugt es zum Nachweis der Behauptung (c) zu zeigen, dassx=b⁻¹·a⁻¹die Gleichung(a·b)·x= 1l¨ost. Auch dies ergibt sich aus dem Assoziativgesetz:

(a·b)·(b⁻¹·a⁻¹) =a·((b·b⁻¹)·a⁻¹) =a·(1·a⁻¹) =a·a⁻¹ = 1.

2Wir brauchen das Kommutativgesetz hier f¨ur die Existenz von Inversen ”von beiden Seiten“ — f¨ur die Eindeutigkeit reichtdanach das Assoziativgesetz.

Die Beobachtungen aus 2.2(b) f¨uhren uns zu einer allgemeineren Festsetzung. Istbinvertierbar inB, so schreiben wir f¨ur allen∈N:

b⁻ⁿ:= (b⁻¹)ⁿ. Weiter setzen wir

x⁰ := 1 f¨ur allex∈B(auch die nicht-invertierbaren).

Anwendungen des Assoziativ- und des Kommutativgesetzes liefern dann den Beweis des folgenden Sat- zes:

2.3 Potenzregeln f ¨ur ganzzahlige Exponenten. F¨ur die Multiplikation im Rechenbereich B gelte das Assoziativ- und das Kommutativgesetz, und es sei1ein Neutralelement inB.

(a) F¨ur allex, y∈Bund allem, n∈Zmitm, n≥0gilt

x^m·xⁿ=x^m+n und xⁿ·yⁿ= (x·y)ⁿ.

(b) Sindxundybeide invertierbar inB, so gelten diese Potenzrechenregeln sogar f¨ur beliebige ganzzahlige Exponentenm, n∈Z.

2.4 Der Exponent Null im Kontext von Polynomen. Wir halten fest: Die Setzungx⁰ := 1f¨ur allex erweist sich als sinnvoll, wenn wir einfache, ¨ubersichtliche und dabei naheliegende Potenzrechengesetze haben wollen. Im RechenbereichC(und allen, die darin enthalten sind) haben wir insbesondere0⁰ = 1 gesetzt. Diese Festsetzung ist vor allem praktisch, wenn man Polynome (und Potenzreihen) in der Varia- blenXallgemein schreiben will als

P(X) =

n

X

j=0

a_jX^j bzw. R(X) =

∞

X

j=0

a_jX^j

mit Koeffizientena_j: Der konstante Term wird durcha₀X⁰beschrieben und sollte auch dann den Werta₀ liefern, wenn wir auf die Idee kommen, f¨ur die VariableXden Wert0einzusetzen!

3 Gebrochene Exponenten

F¨ur gebrochene Exponenten der Formz/n∈Qmitz∈Zundn∈Nkann man in allgemeinen Rechen- bereichen keine sinnvolle Festsetzung treffen. Dies wird erst m¨oglich, wenn wir Gleichungen der Form xⁿ=bl¨osen k¨onnen: Dann kann man eine L¨osung dieser Gleichung als Wert f¨urb^1/nin Betracht ziehen.

Dazu muss man sich aber unter Umst¨anden auch noch entscheiden,welche der L¨osungen der Gleichung man nehmen will. Der BereichR⁺ :=

r ∈R

r >0 derpositivenreellen Zahlen eignet sich hier her- vorragend³.

3 Dagegen sind — ausnahmsweise einmal — die komplexen Zahlenschlecht f¨ur gebrochene Exponenten geeignet: siehe Ab- schnitt 6.

3.1 Theorem. F¨ur jede positive reelle Zahl r und jede nat¨urliche Zahlngibt es genau eine positive reelle Zahlwso, dasswⁿ=rgilt.

3.2 Potenzen mit rationalem Exponent. Die Zahlwin 3.1 nennt mandien-te Wurzel ausr. Gebr¨auch- lich ist neben der Schreibweisew= √ⁿ

reben auchw=r^1/n. Die Exponentialschreibweise f¨ugt sich sch¨on in den weiteren Ausbau unserer Potenzrechenregeln:

Wir stellen fest, dass √ⁿ

r^zmit(√ⁿ

r)^z ¨ubereinstimmt (weil beides Beschreibungen positiver L¨osungen der Gleichungxⁿ=r^zsind und es nur eine solche L¨osung gibt). In der Exponentialschreibweise bedeutet das (r^z)^1/n= (r^1/n)^z; weiter stellen wir fest, dass f¨ur verschiedene Darstellungen derselben rationalen Zahlq (alsoz₁/n₁ = q = z₂/n₂) die Potenz nicht von der Darstellung des Exponenten abh¨angt: Es gilt dann

n√1

r^z1 = ⁿ√²

r^z2, und wir k¨onnen getrostr^q:= ⁿ√¹

r^z1 schreiben.

3.3 Potenzregeln f ¨ur gebrochene Exponenten. Es seienq, q⁰ ∈Q.

(a) F¨ur jede positive reelle Zahlrgilt

r^q·r^q0 =r^q+q0.

(b) F¨ur alle positiven reellen Zahlenr1undr2gilt

r^q₁·r₂^q= (r₁·r₂)^q.

Auch diese Gesetze f¨uhrt man (mit Hilfe des Assoziativ- und des Kommutativgesetzes sowie 2.3) auf die L¨osungen von Gleichungen der Formx^m =bmitm ∈ Nim RechenbereichR⁺zur¨uck. Wir f¨uhren dies explizit aus f¨ur 3.3(a): Zuerst schreiben wir die Exponenten mit gemeinsamem Nenner alsq = z/nund q⁰ =z⁰/n. Nach 2.3 und 3.2 gilt(r^q·r^q0)ⁿ=r^qn·r^q0n=r^z·r^z0was wieder nach 2.3 ¨ubereinstimmt mitr^z+z0. Also istr^q·r^q0 die L¨osung vonxⁿ=r^z+z0, und wir erhaltenr^q·r^q0 = (r^z+z0)^1/n=r^(z+z0)/n=r^q+q0. F¨ur den Nachweis derExistenzder L¨osungen (und ihre Eindeutigkeit) braucht man mehr als reine Algebra, hier gehen die Anordnung und die Vollst¨andigkeit (im Sinne von Cauchy) des RechenbereichsR in die Argumente ein.

4 Irrationale Exponenten

Wenn als Exponenten allgemeine reelle Zahlen zugelassen werden sollen, m¨ussen wir uns auf Konvergenz- argumente einlassen. Um die Potenzr^y f¨ury∈R(undr ∈R⁺) zu definieren, wird man den Exponenten yals Grenzwert einer Folge rationaler Zahlenq_j schreiben und auf die Konvergenz der Folger^qj hoffen, um dann

r^y =r ^limj∈Nqj

:= lim

j∈N

(r^qj) festzulegen.

Tats¨achlich gelingt das (siehe z. B. [1, 3.4] oder [3, Abschnitt 25]). Statt hier in die Beweisdetails einzustei- gen, betrachten wir etwas ausgiebigerdieFunktion, die uns den Umgang mit den fraglichen Konstruktio- nen angenehm macht:

4.1 Konstruktion und Eigenschaften der Exponentialfunktion.

Wir betrachten die Potenzreiheexp(X) :=

∞

P

j=0 1 j!X^j.

(a) F¨ur jede reelle (sogar jede komplexe) Zahlxkonvergiert die Reiheexp(x).

(b) Durchexp : R→ R⁺:x 7→ exp(x)erhalten wir eine stetige (sogar differenzierbare) bijektive Funk- tion. Die Umkehrfunktion wird mitlnbezeichnet⁴; es gilt also ln(exp(x)) = x f¨ur allex ∈ Rund exp(ln(y)) =yf¨ur alley∈R⁺.

(c) Es giltexp(0) = 1. Der Wertexp(1)stimmt ¨uberein mit der Eulerschen Zahle.

(d) F¨ur je zwei Zahlenx1, x2 giltexp(x1)·exp(x2) = exp(x1+x2).

Diese Grundeigenschaften vonexpnehmen wir hier hin (vgl. [5, 1.14.10–1.14.13] oder [6, 4.4.1, 4.5.1]). Aus ihnen k¨onnen wir aber herleiten, dassexpein pr¨achtiges Hilfsmittel zur Definition allgemeiner Potenzen liefert:

4.2 Rationale Exponenten mit Hilfe der Exponentialreihe.

(a) F¨ur jede reelle Zahlxgiltexp(−x) = 1/exp(x).

(b) F¨ur jede rationale Zahlqgiltexp(q) = e^q.

(c) F¨ur jede rationale Zahlqund jede positive reelle Zahlbgiltexp(qln(b)) =b^q. (d) F¨ur jede Folge rationaler Zahlenq_j giltexp(lim

j∈N

q_j) = lim

j∈N

exp(q_j).

Beweis. F¨urx ∈ Rgilt exp(x)·exp(−x) = exp(x+ (−x)) = exp(0) = 1. Daraus folgt exp(−x) = 1/exp(x), also Aussage (a).

Es seiq=z/nmitz∈Zundn∈N. Dann gilt exp(q)ⁿ= exp(q)· · ·exp(q)

| {z }

nFaktoren

[4.1(d)]

= exp(q+· · ·+q

| {z }

nSummanden

) = exp(n·q) = exp(n·_n^z) = exp(z).

Im Fallz >0erhalten wir

exp(z) = exp(1 +· · ·+ 1

| {z }

zSummanden

)^[4.1(d)]= exp(1)· · ·exp(1)

| {z }

zFaktoren

= exp(1)^z = e^z.

Also istexp(q)eine (positive) L¨osung der Gleichungxⁿ = e^z, und wir erhaltenexp(q) = e^z/n = e^q, wie behauptet.

4Die Bezeichnung ist die Abk¨urzung der lateinischen Form des Namens ”nat¨urlicher Logarithmus“.

Im Fallz <0gilt−z∈Nund wir erhalten mit Hilfe von Aussage (a):

exp(z) = exp(−( 1 +· · ·+ 1

| {z }

−zSummanden

)) = 1

exp( 1 +· · ·+ 1

| {z }

−zSummanden

)

[4.1(d)]

= 1

exp(1)· · ·exp(1)

| {z }

−zFaktoren

= 1

e^−z = e^z.

Wieder istexp(q)eine (positive) L¨osung der Gleichungxⁿ= e^z, undexp(q) = e^z/n = e^q.

Es bleibt der Fallz= 0: Hier ergibt sichexp(q) = exp(0) = 1 = e⁰nach unserer Festlegung (x⁰ = 1f¨ur allex∈R) — die sich noch einmal als sinnvoll erweist! Insgesamt haben wir damit (b) nachgewiesen.

Nun seib eine positive reelle Zahl. Dann gilt exp(ln(b)) = b nach Definition der Umkehrfunktion ln vonexp. Wir berechnen zuerst die Potenz

exp(qln(b))ⁿ =

nFaktoren

z }| {

exp(qln(b))· · ·exp(qln(b)) = exp

^nSummanden

z }| { qln(b) +· · ·+qln(b)

= exp(n·_n^z ln(b)) = exp(zln(b)).

Indem wir wieder wie vorhin nach dem Vorzeichen vonzunterscheiden, erhalten wir darausexp(qln(b))ⁿ= b^z. Also istexp(qln(b))die (einzige positive) L¨osung der Gleichungxⁿ=b^z, und deswegenexp(qln(b)) = b^z/n=b^q, wie in Aussage (c) behauptet.

Die letzte Behauptung (d) ist eine direkte Konsequenz der Stetigkeit der Funktionexp.

4.3 Allgemeine Potenzen. Wir nehmen die Erkenntnisse ¨uber die Exponentialreihe jetzt zum Anlass, Potenzen mit allgemeinen (auch irrationalen) Exponenten zu definieren: F¨ura, b∈Rmitb >0setzen wir fest (vgl. [2, § 12])

b^a:= exp(aln(b)).

F¨ur rationale Exponentenastimmt das laut 4.2.(c) ¨uberein mit der alten Definition f¨ur die Potenz (siehe 3.2), f¨ur irrationale Exponenten ist es wegen der Stetigkeit vonexpdie einzig sinnvolle Fortsetzung!

Aus den Eigenschaften der Exponentialreihe erh¨alt man:

4.4 Allgemeine Potenzgesetze. Es seienaunda⁰ beliebige reelle Zahlen.

(a) F¨ur jede positive reelle Zahlrgilt

r^a·r^a0 =r^a+a0.

(b) F¨ur alle positiven reellen Zahlenr₁undr₂gilt

r^a₁·r₂^a= (r₁·r₂)^a.

Beweis. In der Tat ergibt sichexp (aln(r))·exp (a⁰ln(r)) = exp ((a+a⁰) ln(r)) =r^a+a0undexp (aln(r₁))·

exp (aln(r₂)) = exp (a(ln(r₁) + ln(r₂))) = exp (ln(r₁) + ln(r₂))^a = (exp(ln(r₁))·exp(ln(r₂)))^a = (r1·r2)^a.

5 Stetige Fortsetzbarkeit?

Bisher haben wir an mehreren Stellen von unserer Festlegung profitiert, dassx⁰ = 1f¨urjedereelle Zahlx gelten soll. Unsere allgemeine Definition der Potenzx^y := exp(yln(x))erlaubt uns jetzt, eine Funktion in zwei Variablen zu betrachten, n¨amlich

f:R⁺×R→R⁺: x

y

7→x^y.

Diese Funktion ist stetig (sogar differenzierbar) auf ihrem ganzen Definitionsbereich (n¨amlich der offenen rechten Halbebene).

F¨ur y = 0 haben wir die Werte x⁰ bereits (sinnvoll, siehe 2.4) festgelegt als x⁰ = 1 und damit eine Fortsetzung vonf in den Ursprung erhalten:

f˜: (R⁺×R)∪ 0

0

→R⁺: x

y

7→

(x^y fallsx6= 0

1 fallsx= 0(und dann auchy= 0).

Ist diese Fortsetzungf˜stetig?

Die einzig problematische Stelle ist nat¨urlich der Ursprung. Wenn wir uns horizontal (also entlang der er- sten Koordinatenachse) an den Ursprung ann¨ahern, sehen wir aber kein Problem: Der Funktionsgrenzwert

x&0limx⁰existiert; er ist banalerweise gleich1, und damit gleichf˜ ⁰₀ .

Wenn wir uns entlang einer anderen Geraden an den Ursprung herantasten, sehen wir ebenfalls noch kein Problem: Wir betrachten eine feste Steigung s 6= 0 und dann Punkte der Form _sx^x

mit x > 0, es giltf˜_sx^x

= f _sx^x

= exp(sxln(x)). Um den Funktionsgrenzwert lim

x&0exp(sxln(x))zu bestimmen, betrachten wir zuerst das Grenzverhalten vonsxln(x)und schreiben dazu diesen Ausdruck komplizierter alssxln(x) = _(sx)^ln(x)−1. Jetzt hilft die Regel von l’Hospital (vgl. [5, 2.5]): Da sowohl der Z¨ahlerln(x)als auch Nenner(sx)⁻¹ bestimmt divergent sind, stimmt lim

x&0 ln(x)

(sx)⁻¹ ¨uberein mit dem Grenzwert des Quotienten der Ableitungen, n¨amlich

x&0lim

d

dtln(t)|_t=x

d

dt(st)⁻¹|_t=x = lim

x&0

1/x

−1/(sx²) = lim

x&0(−sx) = 0. Daexpstetig ist, ergibt sich lim

x&0exp(sxln(x)) = exp( lim

x&0(sxln(x)) = exp(0) = 1 = ˜f ⁰₀ .

Um zu erkennen, dassf˜nicht stetig ist, muss man ”wesentlich steiler“ in den Ursprung laufen: n¨amlich entlang von Kurven, die sich an die vertikale Achse anschmiegen. Geeignete Kurven finden wir in den Niveaumengen

N_h:=

x y

∈R⁺×R

f x

y

=h

= x

y

∈R⁺×R

yln(x) = ln(h)

0.2 0.4 0.6 0.8 1

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

–1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Abbildung 1: Niveaulinien vonf ^x_y

=x^y: links zu Niveaus unterhalb1, rechts oberhalb1. unserer Funktion f. Man kann sich diese als ”H¨ohenlinien“ f¨ur den Graphen von f vorstellen; einige dieser Linien sind in Abbildung 1 skizziert. Eine Darstellung des Graphen⁵der Funktionf versucht Ab- bildung 2.

Da die Funktionf nur positive Werte annimmt, sind ihre Niveaumengen nur f¨urh > 0nicht leer. Wir studierenN_hf¨ur alleh >0:

Die MengeN₁ = { ^x_y

∈R⁺×R| yln(x) = 0}ist die Vereinigung von zwei geraden Linien, n¨amlich der positivenx-Achse und der Parallelen zury-Achse durch ¹₀

. Der Ursprung ⁰₀

liegt am Rand dieser Menge, weillim

x&0 x 0

= ⁰₀ .

F¨urh > 1besteht N_h aus zwei Kurven: eine ist in der Menge{ ^x_y

∈R²| 0< yund1< x}enthalten, die andere liegt in{ ^x_y

∈R²| y <0< x <1}. Wegen lim

x&0 ln(h)

ln(x) = 0 liegt der Ursprung am Rand der zweiten Kurve. Wir erhalten das Niveauh deswegen als Funktionsgrenzwert, wenn wir das Argument vonf entlangNhgegen den Ursprung laufen lassen.

F¨urh <1bestehtNhebenfalls aus zwei Kurven: eine ist in{ ^x_y

∈R²| y <0und1< x}enthalten, die andere in{ ^x_y

∈R²| 0< yund0< x <1}. Wieder liegt der Ursprung am Rand der zweiten Kurve, und wir erhalten auch dieses Niveauhals Funktionsgrenzwert.

5Vielleicht hilft es zur Vorstellung dieses Ausschnitts aus dem Graphen, an eine Plane zu denken, die entlang der f¨unf geraden Strecken₀

0 1

1 0 1

, ₁

0 1

1 1 1

, ₁

1 1

0 1 0

, ₀

1 0

0 0 0

und₀

0 0

0 0 1

befestigt ist.

Vielleicht hilft auch die interaktive Darstellung auf der Seite

https://info.mathematik.uni-stuttgart.de/HM-Stroppel-Material/Null-hoch-Null/

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.4 0.2 0.8 0.6 1

y 0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0.5 1

y

0.2 0.4 0.6 0.8 1

x

Abbildung 2: Ausschnitt aus dem Graph vonf ^x_y

=x^y, aus zwei verschiedenen Blickwinkeln.

Durch Wahl von Folgen auf den Niveaumengen erhalten wir den gr¨oßten Teil der Aussagen des folgenden Satzes.

5.1 Theorem.

(a) Zu jeder reellen Zahlh≥ 0existiert eine gegen ⁰₀

konvergente Folge xj

yj

j∈N

inR⁺×R, f¨ur die limj∈N

x^(y_j ^j)

= lim

j∈N

f ^x_y^j

j

=hgilt.

(b) Es gibt eine gegen ⁰₀

konvergente Folge

xj

yj

j∈N

inR⁺×Rmit lim

j∈N

x^(y_j ^j)

= lim

j∈N

f ^x_y^j

j

= +∞.

Beweis. Die Folge

1/j 0

j∈Nkonvergiert gegen ⁰₀

, und es giltlim

j∈N

f ^1/j₀

= lim

j∈N

(1/j)⁰ = 1. F¨urh ∈ Rmit0 < h < 1gilt ln(h) < 0, daher lim

j∈N

(jln(h)) = −∞ und alsolim

j∈N

h^j = 0. Die durch pj := _1/j^hj

definierte Folge(pj)j∈Nkonvergiert also gegen ⁰₀

. Es giltf(pj) =h(das haben wir schon in der 5.1 vorausgegangenen Diskussion der Niveaumengen eingesehen), also auchlim

j∈N

f(p_j) =h. F¨urh ∈ Rmith > 1betrachten wirq_j := _−1/j^h−j

. Wegen h > 1giltln(h) > 0, und lim

j∈N

(−jln(h)) =

−∞f¨uhrt auflim

j∈N

h^−j = 0. Also konvergiert die Folge(q_j)j∈N gegen ⁰₀

. Es giltf(q_j) = hund damit limj∈N

f(qj) =h.

Schließlich betrachten wir noch die durchzj := ^(1/2)j

2

1/j

unduj := ^(1/2)j

2

−1/j

definierten Folgen: Es gilt wiederlim

j∈N

zj = ⁰₀

= lim

j∈N

uj, undlim

j∈N

f(zj) = lim

j∈N

(1/2)^j = 0bzw.lim

j∈N

f(uj) = lim

j∈N

(1/2)^−j = +∞. 5.2 Korollar. Die Funktionf l¨asst sich nicht stetig in den Punkt ⁰₀

fortsetzen:

Jede Wahl eines Funktionswertes (insbesondere unsere Fortsetzung f˜durch den Wert 0⁰ = 1) macht die Fortsetzung unstetig!

Vermutlich wegen dieser Unstetigkeit weigern sich manche Mathematiker rundweg, einen Wert f¨ur0⁰ festzulegen (so z. B. [6, 4.5.1]). Wegen der in 2.4 ausgef¨uhrten Verwendung bei Polynomen erscheint es mir aber sinnvoller, die Unstetigkeit in Kauf zu nehmen.

6 Probleme im Komplexen

Gebrochene Exponenten der Formz/n ∈ Q mitz ∈ Z und n ∈ Nkonnten wir in Abschnitt 3 da- durch einf¨uhren, dass wir uns auf positive reelle Zahlen als Basis beschr¨ankt haben. Vordergr¨undig ist dieExistenzgeeigneter Wurzeln das Problem, das unsere Finger von negativen Basen zur¨uckzucken l¨asst (im Reellen kann man jedenfalls keine Quadratwurzel aus−1finden). In der Tat spielt dieEindeutigkeit(die wir durch die Beschr¨ankung unserer Suche nach der Wurzel auf den positiven Bereich gesichert haben) aber eine ebenso wichtige Rolle. Dies erkennt man, wenn man einen Versuch, gebrochene Exponenten im Komplexen einzuf¨uhren, bis zu seinem bitteren Ende durchdenkt — was wir im Folgenden versuchen.

Zur Erinnerung (vgl. [4, 1.7]): Der K¨orperC der komplexen Zahlen besteht aus allen Zahlen der Form a+bimita, b ∈ R. Man darf sich das Paar(a, b)als kartesische Koordinaten eines Punkts in der Ebene vorstellen; die reellen Zahlen (der Forma+ 0i) f¨ullen dann die erste Koordinatenachse als Zahlengerade aus. Als Addition inCnehmen wir das N¨achstliegende:

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i. Die Formel f¨ur die Multiplikation sieht spektakul¨arer aus:

(a+bi)·(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i.

Jedenfalls liefert diese Formel danni² = −1; außerdem gelten Assoziativgesetz und Kommutativgesetz sowohl f¨ur die Addition als auch die Multiplikation, und das Distributivgesetzu·(v+w) =u·v+u·w ist erf¨ullt f¨ur alleu, v, w∈C.

Wir benutzenPolarkoordinatenf¨ur komplexe Zahlen (vgl. [4, 1.8]): Zu jedemz∈Cr{0}sei|z|der Abstand vonzzum Ursprung, und es seiϕder Winkel, den die Strecke von0nachzmit der positiven H¨alfte der Zahlengerade einschließt. Dabei geben wir den Winkel im Bogenmaß an, und verlangen0 5 ϕ < 2π

(um das Winkelmaß eindeutig zu machen). Da wir (a, b) ∈ R² als kartesische Koordinaten f¨ura+bi interpretieren, erhalten wir|a+bi|=√

a²+b²(nach Pythagoras).

Die Exponentialreiheexp(X) =

∞

P

j=0 1

j!X^j aus 4.1 konvergiert auch dann, wenn wir f¨urX eine beliebi- ge komplexe Zahl einsetzen (siehe [5, 1.14.10]). Die Formel 4.1.(d) bleibt dabei g¨ultig (vgl. [5, 1.14.12]).

Außerdem erhalten wir aus jedem Paar(r, ϕ)mitr > 0und0 5ϕ < 2πdie komplexe Zahl mit diesen Polarkoordinaten alsr·exp(ϕi), siehe [5, 1.14.18].

6.1 Beispiele.Es gilti = 1·exp(^π₂i)und1+i =√

2·exp(^π₄i). Also ergibt sichw:= ^√1₂·(1+i) = 1·exp(^π₄i).

0 1

w⁴=−1

i =w²

−i =w⁶ w³ w

w⁵

1 + i

Abbildung 3: Polarkoordinaten und Potenzen:w= ^√1

2+^√1

2i = 1·exp(^π₄i). Die Potenzen vonwerrechnen wir mit Hilfe von 4.1.(d) (siehe Abbildung 3):

w² = w·w = exp(^π₄i)·exp(^π₄i) = exp(^π₄i +^π₄i) = exp(^π₂i) = i w³ = w²·w = exp(^π₂i)·exp(^π₄i) = exp(^π₂i +^π₄i) = exp(^3π₄ i) = ^−1√

2+ ^√1

2i w⁴ = w³·w = exp(^3π₄ i)·exp(^π₄i) = exp(^3π₄ i +^π₄i) = exp(πi) = −1 w⁵ = w⁴·w = exp(πi)·exp(^π₄i) = exp(πi +^π₄i) = exp(^5π₄ i) = ^−1√

2+ ^−1√

2i

... ... ...

wⁿ⁺¹ = wⁿ·w = exp(^nπ₄ i)·exp(^π₄i) = exp(^nπ₄ i +^π₄i) = exp_(n+1)π

4 i .

Mit Hilfe von Polarkoordinaten sieht man (vgl. [4, 1.8.4]):

6.2 Theorem. Zu jeder komplexen Zahlz6= 0und jeder nat¨urlichen Zahln∈Ngibt es genaunL¨osungen der Gleichungwⁿ =z. Explizit: F¨urz = r·exp(ϕi)mitr > 0und0 5ϕ < 2π sind die L¨osungen dieser Gleichung die komplexen Zahlen der Formw_k= √ⁿ

r·exp ^ϕ_ni +k^2π_ni

mitk∈ {0, . . . , n−1}.

Man ist versucht, wie in 3.2 f¨ur positive reelle Zahlen auch f¨ur z ∈ C r{0} systematisch eine dern L¨osungen der Gleichungwⁿ = zauszuw¨ahlen. Eine nahe liegende Auswahl ist: ”nimm die L¨osung mit dem kleinsten Winkel“, alsow0 = √ⁿ

r·exp ^ϕ_ni .

6.3 Definitionsversuch: Wurzeln im Komplexen. Es sei n ∈ Nundz = r·exp(ϕi)mitr > 0und 05ϕ <2π. In tr¨ugerischer Zuversicht setzen wirzⁿ¹ := √ⁿ

r·exp ^ϕ_ni .

6.4 Ein Verstoß gegen die Potenzrechengesetze. Es gilt (vgl. 6.1 und Abbildung 3):

i⁵ = i⁴·i = i, i¹² = exp(^π₄i) = w , i¹²5

= w⁵ = −w ,

i⁵¹₂

= i¹² = w .

Es ist deswegennichtm¨oglich, eine konsistente Definition f¨ur gebrochene (oder gar irrationale) Exponen- ten im RechenbereichCzu geben.

7 Von der Notwendigkeit des Kommutativgesetzes

Bei der grundlegenden Diskussion der Potenzrechengesetze haben wir immer wieder vom Kommutativ- gesetz Gebrauch gemacht. Um zu zeigen, dass dieses Gesetz tats¨achlich eine fundamentale Rolle in diesem Kontext spielt, betrachten wir einen oft benutzten Rechenbereich, in dem das Kommutativgesetz verletzt ist: Den RingR^2×2der2×2-Matrizen mit Eintr¨agen ausR(vgl. [4, 3.3, 3.4]). Diese Matrizen sind von der Form(^xx¹¹21^xx¹²22)mitx_jk ∈R; das Produkt ist definiert durch

x₁₁ x₁₂ x21 x22

·

y₁₁ y₁₂ y21 y22

=

x₁₁y₁₁+x₁₂y₂₁ x₁₁y₁₂+x₁₂y₂₂ x21y11+x22y21 x21y12+x22y22

.

Diese Multiplikation erf¨ullt das Assoziativgesetz (siehe [4, 3.4.1.3]), aber nicht mehr das Kommutativgesetz;

z. B. gilt f¨ur A:=

1 0 0 2

und B :=

1 1 0 1

: A·B = 1 1

0 2

6=

1 2 0 2

=B·A .

Außerdem gilt A² =

1 0 0 4

, B² = 1 2

0 1

, A²·B²= 1 2

0 4

6=

1 3 0 4

= (A·B)², das Potenzrechengesetzxⁿ·yⁿ= (x·y)ⁿist also schon f¨urn= 2verletzt.

Die beiden betrachteten Matrizen sind invertierbar inR^2×2; es gilt A⁻¹ =

1 0 0 1/2

, B⁻¹ =

1 −1 0 1

und (A·B)⁻¹ =

1 −1/2 0 1/2

=B⁻¹·A⁻¹; dies entspricht der Regel, die wir in 2.2(c) hergeleitet haben (bevor wir die Faktoren mit Hilfe des Kommu- tativgesetzes wieder vertauscht haben).

8 Von der Notwendigkeit des Assoziativgesetzes

Auf den ersten Blick scheinen nicht-assoziative Verkn¨upfungen schwer zu finden (oder sind Spielzeug f¨ur abgedrehte reine Mathematiker), aber eine solche Verkn¨upfung liegt direkt vor unserer Nase: F¨ur die Subtraktion ganzer Zahlen gilt im Allgemeinen

(x−y)−z6=x−(y−z),

z. B. kann manx= 5,y = 2,z= 1nehmen und erh¨alt(5−2)−1 = 26= 4 = 5−(2−1). Die Interpretation der ”Potenz“-Bildung erfordert einigen Abstraktionswillen. Um die Verwirrung durch Verwechslung mit multiplikativen Schreibweisen und Rechenoperationen klein zu halten, soll die Potenz bezeichnet werden alsx^[n]. Wir m¨ussen jetzt auch sorgf¨altiger definieren: Nach der Verankerungx^[1] :=xsetzen wir rekursiv x^[n+1]:=x^[n]−x. Im Allgemeinen gilt

x^[3]−x^[3] = (x−x)−x

− (x−x)−x 6=

(x−x)−x

−x

−x

−x

!

=x^[6].

Literatur

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[4] Kimmerle, W. und M. J. Stroppel: Lineare Algebra und Geometrie f¨ur Ingenieure, Mathematiker und Physiker. Edition Delkhofen, Deilingen, 4. Aufl., 2013, ISBN 978-3-936413-25-0.

[5] Kimmerle, W. und M. J. Stroppel:Analysis f¨ur Ingenieure, Mathematiker und Physiker. Edition Delk- hofen, Deilingen, 4. Aufl., 2014, ISBN 978-3-936413-27-4.

[6] Wendland, W. L. und O. Steinbach:Analysis. Integral- und Differentialrechnung, gew¨ohnliche Differen- tialgleichungen, komplexe Funktionentheorie. Teubner, Wiesbaden, 2005, ISBN 3-519-00517-4/PBK. Zbl 1094.26001.