Weltmodelle I:Friedmann-Modell des Universums

Weltmodelle I:

Friedmann-Modell des Universums

Markus Kromer

Gliederung

● Einführung

– Hubble-Gesetz

– Grundgedanken der ART

● Grundlagen

● Kinematik

● Dynamik

Lösungen der Friedmann-Gleichung: Vortrag Weltmodelle II

Hubble-Gesetz

● Spektrallinien entfernter Galaxien (Abstand d) sind rotverschoben

● Deutung als Dopplereffekt

⇒ Fluchtgeschwindigkeit

⇒ das Universum expandiert

● Hubble 1929: z ~ d

⇒ Hubble-Gesetz:

⇒ mit Hubble-Konstante H₀ = (72±8) km s^-1 Mpc^-1

● Hubble-Zeit „definiert“ Weltalter

z=_observed−_emitted

_emitted =_observed

_emitted −1

z=_observed−_emitted

_emitted =v v=cz c

v=cz=H₀d

₀=d

v = 1

H d [Mpc]

z

₀≈13,6⋅10⁹a

⇒

Grundgedanken der ART

● Wie in der SRT: vierdimensionale Raum-Zeit

– physikal. Ereignisse werden durch Punkte x=x^a in diesem 4-dimensionalen Raum beschrieben

– Linienelement legt die Geometrie fest

● Neu: Energie krümmt die Raum-Zeit

Wechselwirkung beschrieben durch Einsteinsche- Feldgleichungen

– Einstein-Tensor

– Ricci-Tensor R_ab

– Ricci-Skalar R

– Energie-Impuls-Tensor T_ab

● Bewegung in der gekrümmten Raum-Zeit entlang Geodäten

Bezeichnungen x=x^a

Vierervektor a,b,...=0,1,2,3

=x^α

Dreiervektor

α ,β,...=1,2,3 g_ab

Metrischer Tensor

Λ

Kosmologische Konst.

GravitationskonstanteG

 x

ds²=g_abdx^adx^b

G_ab−g_ab=8G T_ab

G_ab=R_ab−¹₂ R g_ab

Funktionen von g_ab

Gliederung

● Einführung

● Grundlagen

– Galaxiengas & Kosmologisches Prinzip

– Kosmologisches Prinzip in der ART

– Mitbewegtes Koordinatensystem

– Skalenfaktor

– Robertson-Walker-Metrik

● Kinematik

● Dynamik

Galaxiengas & Kosmologisches Prinzip

● Betrachtung des Universums als Ganzes

– Galaxien sind „Elementarteilchen“ eines Gases

– Galaxienverteilung durch ausgeschmierte Dichte _ρ beschrieben

● Forderung: Galaxiengas soll eine ideale Flüssigkeit sein

– mit dem Gas bewegter Beobachter (Geschwindigkeit u) sieht die Galaxien in seiner Umgebung in Ruhe

– einfache Form des Energie-Impuls-Tensor T_ab

● Weitere Forderung: sog. kosmologisches Prinzip (KP)

● Friedmann-Modell beruht allein auf diesen Annahmen!

Das Universum bietet zu jedem Zeitpunkt von jedem Punkt aus den gleichen Anblick ⇔ Homogenität und Isotropie des Raumes.

Kosmologisches Prinzip in der ART

● Betrachte raumartige Hyperflächen t=const. der Raum-Zeit

● KP: jede raumartige Hyperfläche muss homogen und isotrop sein

● Isotropie _⇒ Weltlinien des

Galaxiengases müssen raumartige Hyperflächen orthogonal schneiden

● Geometrie des Raumes durch Massenverteilung bestimmt

⇒ Massen müssen homogen und isotrop verteilt sein

⇒ Ist dies tatsächlich erfüllt?

E F

t=t₁ t=t₂

Galaxienverteilung

2dF Galaxy Redshift Survey

Diffuser Röntgenhintergrund

ROSAT (MPE)

Isotropie der 3K-Hintergrundstrahlung

NASA/WMAP Science Team

Mitbewegtes Koordinatensystem

● mit dem Galaxiengas bewegter Beo- bachter bleibt für beliebige t=const.

am selben Ort auf der Hyperfläche

● Wahl der Zeitkoordinate t als Eigen- zeit entlang Weltlinie eines Teilchens

● Wegen folgt dann

und g₀₀=1

⇒ Metrik der Raum-Zeit zerfällt in

g_ab=_∂^∂_x^a _∂^∂_x^b

ds²=g_abdx^adx^b ds²=dt²− g_{ }dx^dx^

g_0= ∂

∂ x⁰ ∂

∂ x^= ∂

∂t ∂

∂x^=0

Misner, Thorne, Wheeler

Skalenfaktor I

● Betrachte die zeitliche Entwicklung des Raumanteils der Metrik

– Eigenentfernung benachbarter Weltlinien (x¹,x²,x³) und (x¹+∆x¹,x²+∆x²,x³+∆x³) auf beliebiger Hyperfläche mit t=t^*

– Eigenentfernung auf Hyperfläche t=t dann

– Verhältnis unabh. von

● „Richtung“ zwischen den Punkten (Isotropie)

● Ausgangsposition (Homogenität)

● Zeitabhängigkeit der 3-Metrik steckt allein im Skalenfaktor a(t)

d s² = g_{ }t , x^ dx^dx^

 st

 st^* =



x¹

x¹x¹

x² x²x²

 st^* x¹

x¹x¹ x²

x²x²

 st

at= st/ st^*

d s² = a²t⋅g_{ }x^ dx^dx^

Skalenfaktor II

Robertson-Walker-Metrik

● Forderung nach Homogenität und Isotropie schränkt die 3-Metrik des Raumanteils weiter ein ⇒ insbesondere sphärische Symmetrie

● Linienelement der Raum-Zeit

Robertson-Walker-Metrik (RWM)

● r,θ,φ sind die mitbewegten Koordinaten

● k ∈ {-1,0,1} legt die Krümmung der Hyperfläche fest

– k= 0: ebene euklidische Geometrie

– k= 1: geschlossener Fall

– k=-1: offener Fall ds²=dt²−a²t⋅[ dr²

1−kr²r²d²sin²d ²]

Strobel

Gliederung

● Einführung

● Grundlagen

● Kinematik

– Lichtausbreitung

– Rotverschiebung

– Relativistisches Hubble-Gesetz

● Dynamik

Lichtausbreitung

● ART: Photonen propagieren entlang Nullgeodäten ds²=0

● Isotropie ⇒ Einschränkung auf radiale Bewegung d_θ=d_φ=0

● Lichtausbreitung

– Galaxie E (Weltlinie r_E) sendet zu t=t_E Photon

– Beobachter O (Weltlinie r_O=0) empfängt es zu t=t_O

– Analog für einen späteren Zeitpunkt

Also: ^{O E}

t_O t_O+∆t_O

t_E

t_E+∆t_E

0=dt²−a²t⋅[_1−kr^{dr2 2}r²d²sin²d ²]

dt

at= ±dr



∫

at=−

∫

r_O dr



^∫

r_E dr



∫

at=

∫

r_E dr



0=

∫

t_Ot_O dt

at−

∫

t_Et_E dt at

Rotverschiebung

● Für ausreichend kleine ∆t_O und ∆t_E gilt dann

● Falls ν_O=1/∆t_O und ν_E=1/∆t_E folgt also

● Rotverschiebung

● Kosmologische Rotverschiebung beruht allein auf der Ausdehnung des Raums!

z=^O_^−E

E =^_^O

E −1 1z=at_O

at_E

0= t_O

at_O− t_E at_E

t_O

t_E =at_O at_E

_E

_O=_O

_E =at_O at_E

⇔

Relativistisches Hubble-Gesetz

● Experimentelle Evidenz: v=z=H₀D (klass. Hubble-Gesetz)

● Betrachte wie beim Skalenfaktor den Eigenabstand zwischen zwei Weltlinien zu verschiedenen Zeiten

● Differenzenquotient von D(t)

● Grenzübergang ∆t → 0 liefert v

relativistisches Hubble-Gesetz mit Hubble-Funktion

● Identifiziere Hubble-Konstante H₀=H(t₀).

Dt=at⋅d

x¹

x¹x¹

x² x²x² Dt

x¹

x¹x¹ x²

x²x²

Dtt

t

Dtt=att⋅d

D

t =att⋅d−at⋅d

t

v=d D

d t = ˙atd=a˙ t

atDt=HtDt

Ht=a˙ t at

Gliederung

● Einführung

● Grundlagen

● Kinematik

● Dynamik

– Friedmann-Gleichung im Rahmen der ART

– Friedmann-Gleichung im Rahmen der Newtonschen Gravitation

Friedmann-Gleichung im Rahmen der ART

● Lösung der Einsteinschen-Feldgleichungen:

– KP vereinfacht die Metrik und damit auch den Einstein-Tensor

– T_ab hat die Form einer idealen Flüssigkeit.

● Exakte Rechnung liefert Friedmann-Gleichungen

– k ∈ {-1,0,1} Krümmung

– ρ Energiedichte von Materie und Strahlung

– p Druck von Materie und Strahlung

– Λ kosmologische Konstante ⇒ Vakuumenergie

● Zeitliche Entwicklung der Hubble-Funktion

G_ab−g_ab=8G T_ab

a˙²=8G

3 ⋅a²

3 a²−k a¨

a=−4G

3 ⋅3 p 3

H²t=a˙ t

at²=8G

3 

3 − k a²t

„Friedmann via Newton“

● Newton: Grenzfall der ART für kleine Massen und Skalen

● KP ⇒ Skaleninvarianz ⇒ Newton auf große Skalen übertragbar

● Expandierende Kugel mit Radius und Masse

● Gravitationskraft auf Galaxie (Masse m) an der Kugeloberfläche

● Multiplikation mit und Integration liefert die Energiegleichung

Rt=at⋅r M=⁴₃^ t⋅[at⋅r ]³

m ^d2[a_dt^t₂^⋅r]=_[^−GMm_{at⋅r]}² a¨ t

at=−4G

3 t

⇒

a˙²t=−8G

3 t⋅a²tconst.

a˙ t

M

m

a(t)·r

Literatur

M. Camenzind: From Big Bang to Black Holes (http://www.lsw.uni-heidelberg.de/users/mcamenzi/) R. d'Inverno: Einführung in die Relativitätstheorie (VCH, 1995)

L.D. Landau, E.M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Bd. II - Klassische Feldtheorie (Verlag Harri Deutsch 1997)

C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler: Gravitation (Freeman 1973)

T. Padmanabhan: Theoretical Astrophysics, Vol. III - Galaxies and Cosmology (Cambridge University Press 2002)

A. Unsöld, B. Baschek: Der neue Kosmos (Springer 2002)

2dF Galaxy Redshift Survey, http://magnum.anu.edu.au/~TDFgg/

ROSAT (MPE), http://wave.xray.mpe.mpg.de/rosat/survey N. Strobel, http://www.astronomynotes.com/

NASA/WMAP Science Team, http://map.gsfc.nasa.gov/