Theoretishe Physik A WS 2000/01
Prof. Dr. J.Kuhn / Dr. W.Kilian Blatt 5 17.11.2000
Losungsvorshlage
1. Drehmatrizen(8 Punkte)
Eine Drehmatrix D liegt vor, wenn DD t
= 1 und detD = +1 ist. Dies kann man
durh Nahrehnen
uberprufen.
(a) Dies ist eine Drehmatrix. Aus
os sin
sin os
=
0 1
1 0
liest man ==2 ab.
(b) Keine Drehmatrix, dadetD= 1.
() Keine Drehmatrix: Die Zeilen (Spalten) sind niht auf1 normiert.
(d) Dies ist eine Drehmatrix mitDrehwinkel =6=30 Æ
.
(e) Dies ist eine Drehmatrix (Drehung um diez-Ahse) mitDrehwinkel =180 Æ
.
2. Skalarprodukt und Drehungen(4 Punkte)
(a)
Da=
osa
1
sina
2
sina
1
+osa
2
und Db=
osb
1
sinb
2
sinb
1
+osb
2
und daher
(Da)(Db)=(a
1 b
1 +a
2 b
2 )(os
2
+sin 2
)+(a
1 b
2 +a
2 b
1
)( sinos+sinos)
=ab:
(b)
os = ab
jajjbj
=
ab
p
aa p
bb
Es gilt (s.o.) (Da)(Db) = ab, also auh (Da)(Da) = aa. D.h. die Lange
3. Drehung imR (8 Punkte)
(a) Durh Nahrehnen zeigt man wieder: DD t
= 1 und detD = +1. Dabei ist evtl.
zu beahten, da fureine 33-MatrixA gilt:det (A)= 3
detA.
(b) Es gilt
(D 1)a=0;
also
1
2 0
1
p
2 1
1 p
2 2 1
p
2 0
p
2 2 1
A 0
a
1
a
2
a
3 1
A
= 0
0
0
0 1
A
Dies isteinhomogenes linearesGleihungssystem.Addition derersten zweiZeilen
ergibt
a
2 +a
3
=0;
wahrend die dritte Zeile auf
a
1 +(1
p
2)a
3
=0
fuhrt. Mitder Wahla
3
=1 erhalt man
a= 0
1
p
2
1
1 1
A
; (1)
wobeidieNormierung unbestimmt ist.
() Losungsmoglihkeit: Man wahle einen Vektor b, der orthogonal auf a steht und
normiertist,undberehne b 0
=Db.DannistderDrehwinkel durhos =b 0
b
gegeben.
Im vorliegenden Fallkann man z.B.
b= 1
p
2 0
0
1
1 1
A
wahlen. Dannist
b 0
= 1
2 p
2 0
1+
p
2
1 p
2
p
2 1
A
;
0
p
Æ
