1 a)
Teilhenzahl:
N(T;V;) = X
k
g("(k) )=V Z
d"N(")g(" )
Kein Beitragvom Kondensat,da ja T >T
0 .
Mit kT wird g(" )=[e (" )
1℄ 1
'e (" )
,also
N =Ve
C
3 Z
1
0 d"
p
"e
"
=VC
3 e
(kT) 3=2
Z
1
0 dx
p
x e x
Das Integral istBronstein-integrabel,
N(T;V;)=VC
3
(3=2)(kT) 3=2
exp () ; (3=2)= p
2
Auosen nah und Einsetzen von C
3
ergibt
e
= N
V 1
(3=2)C
3 (kT)
3=2
)
(T;V;N)
kT
= ln 2
4 V
N
2mkT
h 2
!
3=2 3
5
+onst:
FurT !1 geht also /T ln(T)kT wie angenommen.
Innere Energie:
U(T;V;) =V Z
d"N(")"g(" )'VC
3 e
Z
1
0 d""
3=2
e
"
=VC
3 e
(kT) 5=2
Z
1
0 dxx
3=2
e x
| {z }
= (5=2)
Jetztmumanbzw.e
vonobeneinsetzen,umdieAbhangigkeitvondenkanonishenVariablen
T;V;N zu bekommen, C
3
fallt heraus,
) U(T;V;N)=N
(5=2)
(3=2)
kT ; U(T;V;N)= 3
2 NkT
Der letzte Shritt folgt mit (1+x)=x (x).
Spezishe Warme:
V
= U
T
!
V;N
= 3
2 Nk.
b)
Wenn Bose-Kondensation vorliegt,T <T
0
, iststets =0.
Teilhenzahl: FurT <T
0
lautet dieTeilhenzahl
N(T;V;=0)=N
0
(T;V)+V Z
d"N(")g(")
N
0
ist dieAnzahl der Bosonen imtiefsten Ein-Teilhen-Zustandk=0 mitEnergie "(k)=0.
Bei T =T
0 istN
0
gerade noh N
0
=0,also
N(T
0
;V;=0)=N =V Z
d"N(")g(")
T=T0
=VC
3 (kT
0 )
3=2 Z
1
0 dx
p
x
e x
1
| {z }
= (3=2)(3=2)
Die Teilhendiht kann alsodurh T
0
ausgedrukt werden, bzw. umgekehrt,
N
V
=C
3
(3=2)(3=2)(kT
0 )
3=2
)
kT
0
=~a h 2
k 2
0
2m
; k
0
= 2
a
0
; a
0
=
V
N
1=3
; 1
~ a
=[4 2 2
(3=2) 2
(3=2)℄ 1=3
k
0
istder Wellenvektor, der zum mittlerenTeilhabstand a
0
gehort.
Innere Energie: Fur T <T
0
ist =0,und dieIntegrale lassen sih leiht ausrehnen:
U(T;V;=0)=V Z
d"N(")"g(")=VC
3
(5=2)(5=2)(kT) 5=2
C
3
uberT
0
rauswerfen,
U(T;V;N)=N
(5=2)(5=2)
(3=2)(3=2) kT
T
T
0
3=2
)
V
=
"
15
4
(5=2)
(3=2)
#
Nk
T
T
0
3=2
)
Es istT >T
0
mitT T
0
!0,also auh ( )>0mit ( ) kT 'kT
0 .
Problem: Jetzt ist niht mehr=0, und dieIntegrale
uber dieBosefunktion sind niht mehr so
einfah. Manmualsoeine geeignete Naherung suhen. Dazu:
N(T;V;) =V Z
d"N(")g(" )=N(T;V;)+N(T;V;0)
dabei ist
N(T;V;0)=V Z
d"N(")g(") ; N(T;V;)=[N(T;V;) N(T;V;0)℄
N(T;V;0)lat sihexakt berehnen.
Ahtung: N(T;V;0) istniht dieTeilhenzahlN, auerfurT =T
0 .
Eine Naherung wird in N gemaht[Landau, LifshitzBand V,Paragraph 62℄:
N(T;V;) =V Z
d"N(")[g(" ) g(")℄=VC
3 Z
1
0 d"
p
"
1
e (" )
1
1
e
"
1
Mit ( )kT kommen diestarksten Beitrage zum Integral vonkleinen "!( ) !0, wo die
Bosefunktion divergiert.Also:
e E
'1+E ; g(E)= 1
e E
1 '
kT
E
; E =";(" )
und damit
N(T;V;) 'VC
3 kT
Z
1
0 d"
p
"
"
1
"
1
"
#
=VC
3 kT
Z
1
0 d"
1
p
"(" )
=VC
3 kT
2
p
2
also
N(T;V;) = VC
3 (kT)
p
Diese Naherung liegt eigentlih fur alle Integrale bei T ! T
0
nahe, also auh fur N(T;V;),
allerdings konvergiert das Integral an der oberen Grenze 1 nur, wenn man vorher N(T;V;0)
abzieht(und natuerlih wieder,ohne Naherung, addiert)!
N(T;V;0)haben wir inb) shon berehnet, allerdingsist hier T
0
!T ,
N(T;V;0)=VC
3
(3=2)(3=2)(kT) 3=2
Fur T =T
0
istdies die Teilhenzahl, N(T
0
;V;0)=N, und wir konnen damit (wie oben shon!)
C
3
rauswerfen,
N(T;V;) = VC
3 h
(3=2)(3=2)(kT) 3=2
(kT) p
i
= N(T
0
;V;0)
"
T
T
0
3=2
(3=2)(3=2)
T
T
0
s
kT
0
#
und mit N(T;V;) =N(T
0
;V;0)=onst:=N kann man nah auosen,
s
kT
0
=
(3=2)(3=2)
"
T
T
0
1=2
T
0
T
#
Im Prinzip isses das, aber man kann furT !T
0
durhEntwikeln noh etwas vereinfahen:
T
T
0
=1
T T
0
T
0
1+Æt ;
T
T
0
1=2
=(1+Æt) 1=2
'1+ 1
2 Æt ;
T
0
T
= 1
1+Æt
'1 Æt
womit shlielih (nah Quadrieren)folgt:
kT
=d(Æt) 2
; d=[ 3
2
(3=2)(3=2)℄ 2
Der Verlauflat sih alsoso zusammenfassen (Bildhen:Skript S.49):
T <T
0
: =0
T T
0
: / T 2
T T
0
: / T ln(T)
d)
Spezishe Warme:
V
= U
T
!
V;N
=V Z
d"N(")"
T
g(" (T;V;N))
!
N
= V k
4 Z
d"N(")"
"
(" )+
kT
#
1
sinh 2
((" )=2)
Siehe Skript S. 49(dort sind zwei Fehler drin, mahthier abernihts aus).
Oenbar ist
lim
T%T0
V
(T;=0)= lim
T&T0
V
(T;(T)) mit lim
T&T0
(T)=0
Furdie Ableitunggiltaber:
T =(T
0
+Æ) :
T
V
=
V
T
!
+
V
!
T
T
|{z}
=0 +
V
0
!
T
2
T 2
mit 0
T
T =(T
0
Æ) :
T
V
=
V
T
!
da =0=onst:
Also lat sih dieDierenzder Ableitungen oberhalbund unterhalb vonT
0
leihtangeben:
V
T
T=T
0 +Æ
=
V
T
T=T
0 Æ
mit
=
2
T 2
V
0
T=T0;=0
= Vkd
2T
0 Z
1
0 d"
N(")"
sinh 2
("=2)
>0
wobei( )=kT
0
d[(T T
0 )=T
0
℄ 2
eingesetzt wurde. ist oenbar >0.
Wenn man will,kann auh nohgenauer berehnet werden:
=C
3 Vkd
2T
0 (kT
0 )
3=2 Z
1
0 dx
x 3=2
sinh 2
(x=2)
Das Integral enthalt ja dieAbleitungder Bosefunktion,
Z
1
0 dx
x 3=2
sinh 2
(x=2)
= 4 Z
1
0 dxx
3=2
x 1
e x
1
!
=6 Z
1
0 dx
p
x
e x
1
=6 (3=2)(3=2)
C
3
wieder durh kT
0
elimieren,
=C
3 V
kd
2T
0 (kT
0 )
3=2
6 (3=2)(3=2) ; =3d Nk
T
0
(Groenordnungsmaig istder Sprung inder Ableitungvon
V
also '
V
(T >T
0 )
T
0
.)
2 a)
Fur diegegebene Dispersion in3 Dimensionenhaben wir die
ublihe Zustandsdihte:
N(")=C
3 p
" ; C
3
= 1
4 2
2m
h 2
3=2
Bei T =0ist dann dieTeilhenzahl gegeben durh(Faktor 2furden Spin)
N(V)= 2V Z
1
0
d"N(")f(" )
T=0
=2V Z
"
F
0
d"N(") ) N
V
= 1
3 2
2m"
F
h 2
3=2
Alternativ konnenwir dieAnzahl derk-Vektoren,derenEnergie "(k)<"
F
istbzw. k<k
F
,auh
direkt abzahlen.
N(V)=2 X
k;k<kF
=2 1
d 3
k Z
d 3
k(k
F
k)=2 V
(2) 3
4
3 k
3
F
) N
V
= k
3
F
3 2
Mit der Fermienergie
"
F
= h 2
k 2
F
2m
; k
F
=
2m"
F
h 2
1=2
ergibt sih sofortder erste Ausdruk fur N=V . Nah k
F
oder "
F
aufgelostergibt sih
k
F
=(3 2
n) 1=3
; "
F
= h 2
2m (3
2
n) 2=3
; n = N
V
b)
Innere Energie beiT =0
uber Zustandsdihte:
U(V;N)= 2V Z
1
0
d"N(")"f(" )
T=0
=2VC
3 Z
"
F
0 d""
3=2
= 4
5 VC
3 ("
F )
5=2
! U =
V
5 2
2m
h 2
3=2
("
F )
5=2
= V
5 2
(k
F )
3
"
F
und direkt:
U(V;N)=2 X
k;k<k
F
"(k)=2 V
(2) 3
Z
d 3
k"(k)(k
F
k)= 2V
(2) 3
4 Z
k
F
0 k
2
dk h 2
k 2
2m
! U =
V
5 2
h 2
2m (k
F )
5
= V
5 2
"
F (k
F )
3
Furden Druk setzen wir k
F ,"
F
ein, um dieV-Abhangigkeitexplizit zu mahen: esergibt sih
U(V;N)=onst:N 5=3
V 2=3
=onst:N
N
V
2=3
Damit folgt
p=
U
V
!
N
; p=onst:
0
N
V
5=3
Vergleih mit Boltzmann-Gas: Im idealenBoltzmann-Gas gilt
p= N
V
kT ; T !0 : p=0
Das ist auh leiht einzusehen, denn bei T = 0 ist keine Warmebewegung mehr vorhanden, und
die Punktteilhen lassen sih beliebig (bis auf V =0) zusammendruken $p(T =0)=0.
Im Fermi-Gasistaberp(T =0)/V 5=3
,das heit,p(T =0)!1,wennV !0.Das liegteben
am Pauli-Prinzip, das es niht erlaubt,dieWellenpakete der einzelnen Teilhen zu
uberlagern.
