ProInformatik I: Logik und Diskrete Mathematik 16. Aufgabenblatt vom 1.7.2013
keine Abgabe, Besprechung in den Tutorien 1. Aufgabe: Ecken zählen
Ein Baum habe drei Ecken vom Grad 5, zwei vom Grad 3 und sonst nur Ecken vom Grad 1. Wie viele Ecken hat der Baum insgesamt? Finden Sie zwei nicht isomorphe Bäume, deren Ecken die angegebenen Grade haben.
2. Aufgabe: Aufspannende Bäume
Gegeben sei der folgende ungerichtete Graph G.
1
2
3
5 4 6 7
8
9
10
(a) Bilden Sie den DFS-Baum von G mit Startknoten 1 und aufsteigend geordneten Adjazenzlisten.
(b) Für jede Kante ij denieren wir das Gewicht w(i, j) = |i−j|. Wenden Sie den Algorithmus von Prim mit Startknoten 1 an, um einen MST zu nden.
(c) Wie kann man den Algorithmus von Prim ändern, um einen aufspannenden Baum zu nden, dessen Gesamtgewicht maximal ist? Finden Sie einen solchen Baum für den gegebenen GraphenGund den in (b) denierten Gewichten.
3. Aufgabe: Minimale Kosten
Gegeben sei eine Liste von 5 Dörfern{D1, D2, D3, D4, D5}, zwischen denen ein Straÿen- netz errichtet werden soll, so dass jedes Dorf von jedem anderen Dorf erreichbar ist. Die nachfolgende Matrix stellt die Kosten möglicher Straÿen dar, wobei der Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte die Kosten für eine Straÿe zwischen Dorf Di und Dorf Dj
repräsentiert. Bestimmen Sie die Kosten des günstigsten Straÿennetzes.
0 4 4 12 10
4 0 1 9 8
4 1 0 85 10 12 9 85 0 8 10 8 10 8 0
4. Aufgabe: Kantentausch
SeienT1 = (V, E1)undT2= (V, E2)aufspannende Bäume eines ungerichteten Graphen G= (V, E). Zeigen Sie, dass zu jeder Kantee∈E1\E2eine Kantee0∈E2\E1 existiert, so dass der GraphT = (V,(E1\ {e})∪ {e0}) ebenfalls ein aufspannender Baum von G ist.
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