Bemerkungen zum Ecken-Algorithmus

(1)

Basis

Definition 3.38

Gegeben sei ein LP in der Normalform mit m als Rang der Matrix A2R^m^⇥ⁿ.

x2Rⁿ mitAx=b heißt Basisl¨osunggdw. n mKomponenten xi

gleich Null und die zu den restlichen Variablen geh¨orenden Spaltenvektorena^j linear unabh¨angig sind.

Eine Basislösung, die zulässig ist (x 0), heißtzulässige Basislösung.

Die mlinear unabhängigen Spaltenvektoren a^j einer (zulässigen) Basislösung heißen Basisvektoren, die zugehörigen Variablenxj

Basisvariablen (BV).

Alle ¨ubrigen Spaltenvektoren heißen Nichtbasisvektoren, die zugeh¨origen VariablenNichtbasisvariablen (NBV).

Die Menge aller Basisvariablen xj einer Basisl¨osung bezeichnet man

(2)

Charakterisierung zul¨assiger Basisl¨osungen

Satz 3.39

x ist genau dann eine zul¨assige Basisl¨osung eines LP, wennx ist Ecke von XLP ist.

Bemerkung: Dieser Satz ist derSchl¨ussel zur algebraischen L¨osung von linearen Programmen.

Beweis.

“)”: Es sei xeine zulässige Basislösung von Ax=b. Dann gibt es m linear unabhängige Spaltenvektoren aⁱ¹, . . . ,aⁱ^m von Amit

xi1aⁱ¹+· · ·+ximaⁱ^m=b

Annahme: xist keine Ecke von X. Dann existieren y,z2X mity6=z und ein 0< <1, so dass gilt

x= y+ (1 )z

(3)

Fortsetzung Beweis.

Ausy,z 0, >0,(1 )>0 und xj = 0 f¨urj 2/{i1, . . . ,im}folgt yj,zj = 0 f¨ur j 2/ {i1, . . . ,im}.

Andererseits gilty,z2X, also Ay=bund Az=b und damit sowohl yi1aⁱ¹+· · ·+yimaⁱ^m=b

als auch

zi1aⁱ¹+· · ·+zimaⁱ^m =b Es folgt

(yi1 zi1)aⁱ¹+· · ·+ (yim zim)aⁱ^m =0

Da die aⁱ^k linear unabh¨angig sind, folgtyik =zik f¨urk = 1, . . . ,m und damit y=z. Widerspruch!

(4)

Fortsetzung Beweis.

“(”: Es sei xEcke von X. Für den trivialen Fallx=0 folgt b=0und wir können m linear unabhängige Spaltenvektoren vonA auswählen. xist damit eine zulässige Basislösung.

Es sei alsox6=0 mit

Xk j=1

xijaⁱ^j =b und xij >0.

Annahme: Die Vektorenaⁱ¹, . . . ,aⁱ^k sind linear abh¨angig. Dann g¨abe es eine nicht triviale Linearkombination

y1aⁱ¹+· · ·+ykaⁱ^k =0 F¨ur hinreichend kleines ✏gilt dann

x+✏y 0und x ✏y 0

(5)

Fortsetzung Beweis.

Damit sind die Vektoren x±✏y zul¨assig und es folgt x= 1

2(x+✏y) +1

2(x ✏y)

Dies bedeutet wiederum, dassx keine Ecke ist. Widerspruch!

(6)

Ecken-Algorithmus

Algorithmus 3.40

Gegeben sei ein LP in Normalform mitc2Rⁿ,A2R^m^⇥ⁿ,x2Rⁿ und b2R^m.

F¨ur N := _mⁿ seien B1,B2, . . . ,BN diem-elementigen Teilmengen der Menge {1, . . . ,n}.

F¨ur eine Menge Bk ={j1, . . . ,jm}bezeiche AB_k = (a^j¹, . . . ,a^j^m)2R^m⇥m die Matrix, die aus den Spaltenvektoren j1 bis jm von Abesteht.

Der Vektor xBk ist der entsprechende Variablenvektor dessen Komponenten einen Index aus Bk haben.

(7)

Fortsetzung Algorithmus 3.40.

1 k := 1,z^⇤:= 1

2 ErzeugeBk,AB_k und xB_k.

3 Fallsr(ABk)<mdann weiter mit 6.

4 Löse das LGSABkxBk =b. Es sei xdie Basislösung zur Lösung dieses LGS. Fallsx nicht zulässig ist, weiter mit 6.

5 Fallsc^Tx>z^⇤, setzez^⇤ :=c^Tx und x^⇤ :=x.

6 k :=k+ 1. Falls k N gehe zu 2, sonst STOP!

(8)

Bemerkungen zum Ecken-Algorithmus

Wenn ein LP eine L¨osung hat, dann liefert der Ecken-Algorithmus eine L¨osungx^⇤ mit Zielfunktionswertz^⇤.

Die Bestimmung des Rang von ABk in Schritt 3 und die L¨osung des LGS in Schritt 4 kann mit dem Gaußschen Algorithmusoder der Cramer-Regel erfolgen.

Der Algorithmus hat keine praktische Bedeutung und ist nur f¨ur kleinen undm durchf¨uhrbar.

(9)

Beispiel zum Eckenalgorithmus

Beispiel 3.41

Wir greifen das Beispiel mit dem Eisverk¨aufer (Beispiel 3.2 bzw. 3.4) wieder auf.

Maximiere z =F(x) = 30x1+ 25x2 unter denNebenbedingungen 0

@ 1 1 1 0 0 5 2 0 1 0 0 1 0 0 1

1 A·

0 BB BB

@ x1

x2

x3

x4

x5

1 CC CC A=

0

@ 10 30 9

1

A x1, . . . ,x5 0

Man beachte: Die redundante Nebenbedingung x1 6 wurde weggelassen.

(10)

Fortsetzung Beispiel 3.41.

Man erh¨alt ⁵₃ = 10 verschiedene Spaltenmengen f¨ur die Matrix A:

B1={1,2,3}: 0

@ 1 1 1 5 2 0 0 1 0

1 A·

0

@ x1

x2

x3

1 A=

0

@ 10 30 9

1

A ergibt x3 <0

B2={1,2,4}: 0

@ 1 1 0 5 2 1 0 1 0

1 A·

0

@ x1

x2

x4

1 A=

0

@ 10 30 9

1

A Eckex= 0 BB BB

@ 1 9 0 7 0

1 CC CC A mitF(x) = 255

B3={1,2,5}: 0

@ 1 1 0 5 2 0 0 1 1

1 A·

0

@ x1

x2

x5

1 A=

0

@ 10 30 9

1

A Eckex= 0 BB BB

@ 10/3 20/3 0 0 7/3

1 CC CC A mitF(x) = 266²₃

(11)

B4={1,3,4}: 0

@ 1 5 0

1 A,

0

@ 1 0 0

1 A,

0

@ 0 1 0

1

A sind linear abh¨angig.

B5={1,3,5}: 0

@ 1 1 0 5 0 0 0 0 1

1 A·

0

@ x1

x3

x5

1 A=

0

@ 10 30 9

1

A Ecke x= 0 BB BB

@ 6 0 4 0 9

1 CC CC A mit F(x) = 180

B6={1,4,5}: 0

@ 1 0 0 5 1 0 0 0 1

1 A·

0

@ x1

x4

x5

1 A=

0

@ 10 30 9

1

A liefert x4 <0

(12)

B7={2,3,4}: 0

@ 1 1 0 2 0 1 1 0 0

1 A·

0

@ x2

x3

x4

1 A=

0

@ 10 30 9

1

A Eckex= 0 BB BB

@ 0 9 1 12

0 1 CC CC A mitF(x) = 225

B8={2,3,5}: 0

@ 1 1 0 2 0 0 1 0 1

1 A·

0

@ x2

x3

x5

1 A=

0

@ 10 30 9

1

A liefertx3 <0

B9={2,4,5}: 0

@ 1 0 0 2 1 0 1 0 1

1 A·

0

@ x2

x4

x5

1 A=

0

@ 10 30 9

1

A liefertx5 <0

(13)

B10={3,4,5}: 0

@ 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1 A·

0

@ x3

x4

x5

1 A=

0

@ 10 30 9

1

A Eckex= 0 BB BB

@ 0 0 10 30 9

1 CC CC A mitF(x) = 0

F¨ur die Ecke 0 BB BB

@ 10/3 20/3 0 0 7/3

1 CC CC

Awird der maximale Zielfunktionswert

2

(14)

Alternative Vorgehensweise beim Eckenalgorithmus

Statt über alle möglichen Mengen von Basisvariablen (BV-Mengen) zu iterieren, kann man prinzipiell auch über alle möglichen Mengen von Nichtbasisvariablen (NBV-Mengen) iterieren.

Dies funktioniert wie folgt:

Gegeben sei das LP in Normalform mit Koeffizientenmatrix A2R^m^⇥ⁿ und es gelte r(A) =m.

Bestimme mit dem Gaußschen Algorithmus eine L¨osungsmenge f¨ur das Gleichungssystem Ax=b.

Wegen r(A) =mhat die L¨osungsmengek :=n m freie Parameter

↵1, . . . ,↵_k und l¨asst sich darstellen als

x=v+↵1w1+· · ·+↵kwk

(15)

Hierbei ist veine L¨osung des inhomogenen LGS Ax=bund

w1, . . . ,wk sind linear unabh¨angige L¨osungen des homogenen LGS

Ax=0.

F¨ur allek-elementigen Teilmengen{i1, . . . ,ik}stelle man aus den zugeh¨origen k Zeilen von

v+↵₁w1+· · ·+↵_kwk =0 ein LGS auf und bestimme (wenn möglich) ↵₁, . . . ,↵_k. Wenn dieses LGS lösbar ist, bestimme man mit der Lösung

↵₁, . . . ,↵_k den Vektor

x=v+↵₁w₁+· · ·+↵_kw_k Giltxi 0 f¨uri = 1, . . . ,n, dann istx eine Ecke.

(16)

Insgesamt wird der Aufwand dadurch nicht geringer, denn die Anzahl der zu l¨osenden LGS ist mit dem Eckenalgorithmus in urspr¨unglicher Form identisch:

#BV-Mengen =

✓n m

◆

=

✓ n

n m

◆

= #NBV-Mengen F¨ur m>n/2 werden aber die zu l¨osenden LGS kleiner.

(17)

Beispiel zur alternativen Vorgehensweise

Beispiel 3.42

Wir bleiben beim Eisverk¨aufer ohne die redundante Nebenbedingung (vgl.

Beispiel 3.41).

Wir bestimmen zun¨achst mit dem Gaußalgorithmus die L¨osungsmenge von Ax=b.

0

@ 1 1 1 0 0 10 5 2 0 1 0 30

0 1 0 0 1 9

1 A)

0

@ 1 1 1 0 0 10

0 3 5 1 0 20

0 1 0 0 1 9

1 A

) 0

@ 1 1 1 0 0 10

0 3 5 1 0 20

0 0 ⁵₃ ¹₃ 1 ⁷₃ 1 A freie Variablen: x =s,x =t

(18)

Fortsetzung Beispiel.

Damit ergibt sich

x3 = 7 5 +1

5s+3 5t x2 = 9 t

x1 = 12 5

1 5s+2

5t und insgesamt

x= 0 BB BB

@

12 5

9

7 50 0

1 CC CC A+s

0 BB BB

@

1 5

0

1 51 0

1 CC CC A+t

0 BB BB

@

2 5

1

3 50 1

1 CC CC A

(19)

Wir haben jetzt insgesamt ⁵₂ = 10 M¨oglichkeiten, zwei Variablen als Nichtbasisvariable auszuw¨ahlen.

Für jede dieser Möglichkeiten müssen wir (falls möglich) s und t so bestimmen, dass die Komponenten in xzu 0 werden.

{4,5} : s = 0

t = 0 x=

0 BB BB

@

12 59

7 5

0 0

1 CC CC

A nicht zul¨assig

{3,5} :

1

5s + ³₅t = ⁷₅

t = 0 s = 7,x= 0 BB BB

@ 1 9 0 7 0

1 CC CC

A EckeF(x) = 255

(20)

{3,4} :

1

5s + ³₅t = ⁷₅

s = 0 t= ⁷₃,x= 0 BB BB

@

10 203 30 0

7 3

1 CC CC

A EckeF(x) = 266²₃

{2,5} : t = 9

t = 0 unl¨osbares LGS

und so weiter ..

(21)

Entartete Ecken

Wenn m der Rang von A2R^m^⇥ⁿ ist, sind im Normalfall genaum Koordinaten einer Ecke x2Rⁿ positiv, die ¨ubrigen Null.

Definition 3.43

Gegeben sei ein LP in Normalform mit Matrix A2R^m^⇥ⁿ und es gelte r(A) =m.

Eine Ecke x2XLP heißtentartet (degeneriert) gdw. weniger alsm Koordinaten von x positiv sind.

Bemerkung:Bei entarteten Ecken ist das System der linear unabh¨angigen Spalten von A nicht eindeutig bestimmt.

(22)

Beispiel zu entarteten Ecken

Beispiel 3.44

Wir untersuchen das LP vom Einsverk¨aufer (Beispiele 3.2, 3.12 und 3.41) diesmal inklusive der redundanten Nebenbedingung x1 6:

A= 0 BB

@

1 1 1 0 0 0 5 2 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1

1 CC A

0 BB BB BB

@ x1

x2

x3

x4

x5

x6

1 CC CC CC A

= 0 BB

@ 10 30 6 9

1 CC A

(23)

Wir betrachten die Basis mit der Spaltenindexmenge {1,3,4,6}. Hierzu geh¨ort das LGS

0 BB

@

1 1 0 0 5 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1

1 CC A

0 BB

@ x1

x3

x4

x6

1 CC A=

0 BB

@ 10 30 6 9

1 CC A

Es ergibt sich

x6 = 9, x1 = 6, x4 = 0, x3= 4

also ist die Ecke 0 BB BB BB

@ 6 0 4 0 0

1 CC CC CC A

entartet.

(24)

Die gleiche Ecke ergibt sich f¨ur die Spaltenindexmenge {1,3,5,6}und dem zugeh¨origen LGS:

0 BB

@

1 1 0 0 5 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1

1 CC A

0 BB

@ x1

x3

x5

x6

1 CC A=

0 BB

@ 10 30 6 9

1 CC A

(25)

Zusammenfassung

LP und Normalform Konvexit¨at, Ecken

optimale Lösungen treten in Ecken auf Ecke, zulässige Basislösung

Berechenbar aber nicht effizient: Ermittlung der Ecken bzw. der zulässigen Basislösungen durch eindeutig lösbare LGS