HAUS ¨ UBUNGEN

B. K¨ummerer Funktionalanalysis TUD WS 2006/07 1

16. November 2006

5. ¨ Ubungsblatt

GRUPPEN ¨UBUNGEN

Aufgaben G1: (Unendlich große Matrizen, Nachtrag)

Gegeben sei (a_j,k)j,k∈N mit a_j,k ∈C und M := sup{|a_j,k| : j, k ∈N}<∞.

F¨ur x= (x_k)k∈N ∈`¹(N) definiere Ax:=y mit y= (y_j)j∈N, y_j =:

∞

P

k=1

a_j,kx_k. (a) Zeigen Sie, dass A:`<sup>1</sup>(N)→`^∞(N) eine stetige lineare Abbildung ist.

(b) Berechnen Sie die Operatornorm vonA.

Aufgaben G2: (Integraloperator, Nachtrag)

Sei k : [a, b]×[a, b]→C eine stetige Abbildung. Definiere eine Abbildung T als (T f)(x) :=

Z b

a

k(x, y)f(y)dy f¨urf ∈(C([a, b]),k · k∞).

(a) Zeigen Sie, dass T : (C([a, b]),k · k∞)→(C([a, b]),k · k∞) ein stetiger Operator ist.

(b) Bestimmen Sie eine obere Schranke f¨ur kTk_op.

(c) Berechnen SiekTkop f¨ur den Fall, dass k(x, y)6= 0 f¨ur alle x, y ∈[a, b] ist.

(d) Erl¨autern Sie die Analogie zu Aufgabe G3.

Aufgaben G3: (Vermischte Aufgaben) Seien (E,k · k₁), (F,k · k₂) normierte R¨aume.

(a) Zeigen Sie, dass jede stetige lineare Abbildung vonE nachF gleichm¨aßig stetig ist.

(b) Zeigen Sie, dass der Kern einer stetigen linearen Abbildung von E nach F abge- schlossen ist.

(c) Sei (E,k · k₁) ein Banachraum, (F,k · k₂) ein normierter Raum und A eine stetige lineare AbbildungA:E →F. Ferner gebe es eine Konstantec >0 so, daßkAxk2 ≥ ckxk₁ ist f¨ur alle x∈E.

Zeigen Sie, dass das Bild ImA von A abgeschlossen ist.

B. K¨ummerer Funktionalanalysis TUD WS 2006/07 2 Aufgaben G4: (L^p-R¨aume)

Sei (Ω,Σ, µ) ein Maßraum undµ(Ω)<∞.

(a) Zeigen Sie mit Hilfe der H¨older-Ungleichung

(zur Erinnerung: kf·g k_r ≤ kf k_p · kg k_q f¨urf ∈L^p , g∈L^q , ¹_p +¹_q = ¹_r) F¨ur 1 ≤p≤p⁰ ≤ ∞ ist

kfk_p ≤µ(Ω)^1/p−1/p0 · kfk_p⁰ , f ∈L^p0(Ω,Σ, µ).

(b) Ordnen Sie die L^p(Ω,Σ, µ)-R¨aume bez¨uglich der Relation ”⊂”.

(c) Wir betrachten f¨ur 1≤p≤ ∞ die lineare Abbildung I :L^p(Ω,Σ, µ)→R, f 7→

Z

Ω

f dµ.

Zeigen Sie, dass I stetig ist.

(d) Zeigen Sie: F¨ur p, p⁰ ∈ [1,∞], p 6= p⁰ ist L^p(R, λ) 6⊂ L^p0(R, λ), wobei λ f¨ur das Lebesgue-Maß steht.

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Aufgabe H1: (Multiplikationsoperator)(5 Punkte)

Gegeben sei die stetige Funktion g ∈ C([0,1]). Wir betrachten die lineare Abbildung M_g :C([0,1],k · k_p)→ C([0,1],k · k_p) mit M_g(f)(t) =g(t)·f(t) (t ∈[0,1]).

(a) Berechnen Sie die Operatornorm vonM_g f¨ur 1≤p≤ ∞.

(b) Seig = id :t7→t und p=∞. Zeigen Sie, dassM_g kein abgeschlossenes Bild besitzt und dass

ImM_g ={f ∈C([0,1]) : f(0) = 0}

der Abschluss von ImMg ist.