HAUS ¨ UBUNGEN

B. K¨ummerer Funktionalanalysis TUD WS 2006/07 1

07. Dezember 2006

8. ¨ Ubungsblatt

GRUPPEN ¨UBUNGEN

Aufgabe G1: (Unbeschr¨ankter Operator)

Zeigen Sie, dass f¨urx ∈[0,1] die lineare Abbildung δ_x : (C([0,1]),k · k₂) → C, f 7→ f(x) nicht stetig ist.

Aufgaben G2:

SeiS :l²(N)→l²(N) der Rechtsshift, d.h., (Sf)(n) :

0 n= 0 f(n−1) , n≥1 . Berechnen Sie S^∗.

Aufgaben G3: (M+N)

Seien M und N abgeschlossene lineare Unterr¨aume eines Hilbertraums H.

Zeigen Sie: Verzichtet man auf die Bedingung M ⊥ N, dann ist M +N im allgemeinen nicht abgeschlossen. Betrachten Sie dazu das folgende Beispiel.

SeiH=`<sup>2</sup>(N). Ferner sei e<sub>k</sub>∈`²(N), die Folge mit

ek(n) =

1 f¨urn=k, 0 sonst.

SeiM die abgeschlossene lineare H¨ulle von {e_2k−1 ∈`<sup>2</sup>(N) : k∈N} und N die abgeschlossene lineare H¨ulle von {z<sub>k</sub>∈`²(N) : k∈N} mit

z_k=e_2k−1+1 k e_2k.

Zeigen Sie, dass y =P∞ n=1

1

n e2n Grenzwert einer Folge (yn)n∈N ⊂M +N ist, und weisen Sie nach, dass y6∈M+N ist.

Hinweis: Jedes ElementzausN l¨asst sich eindeutig schreiben alsz=P∞

k=1λ_kz_k, wobei (λ_k)k∈N

eine Folge in `²(N) ist.

Aufgaben G4: (Rang-1-Operatoren)

(a) Sei H ein Hilbertraum, x, y∈ H und T_x,y der Operator H 3 z 7→ hz, xiy. Berechnen Sie die Adjungierte des Operators.

(b) (i) Sei T ∈ L(H) mit dim ImT = 1. Zeigen Sie: Es existierenx, y∈ H mitT =T_x,y.

ii) Sei nunT ∈ L(H) mit dim ImT <∞. Zeigen Sie, dass einn∈Nundx1, . . . , xn, y1, . . . , yn∈ Hexistieren mitT =Pn

i=1T_xi,yi.

Anmerkung: T_x,y bezeichnet man auch als Rang-1-Operator. In der Quantenmechanik schreibt man daf¨ur|yihx|.

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Aufgaben G5: (Riesz-Frechet)

Sei 06=a∈Reine Konstante. F¨ur jedesf ∈ C([0,1]) sei Φ die L¨osung der Differentialgleichung y⁰(t) +ay(t) =f(t), y(0) = 0.

(a) Zeigen Sie, dass die Abbildungϕ:C([0,1],k · k₂)→R, f →R1

0 Φ(t)dtein stetiges lineares Funktional ist.

(b) Bestimmen Sie eine Funktion g∈L²([0,1]), so dass ϕ(f) =hf, gi ist.

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Aufgabe H1:

(Schwache L¨osungen von partiellen Differentialgleichungen)(5 Punkte) Sei Ω⊂Rⁿ ein offenes beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand.

Ferner sei C₀^∞(Ω) := {f ∈ C^∞(Ω) : Tr¨ager von f ist kompakt} der Raum der unendlich oft differenzierbaren reellwertigen Funktionen mit kompaktem Tr¨ager. Wir definieren auf C₀^∞(Ω) eine Norm via

kfk²

H₀^1,2 :=kfk²₂+

n

X

k=1

k ∂

∂x_kfk²₂ .

(a) Zeigen Sie, dassC₀^∞(Ω) mitk · k_H1,2

0 ein Pr¨a-Hilbertraum ist.

Anmerkung: Die Vervollst¨andigung von (C₀^∞(Ω),k · k_H1,2

0 ) ist ein sogenannter Sobolev- Raum, den man mitH₀^1,2(Ω) bezeichnet.

(b) Wir bezeichnen mitM_n(R) den Raum allern×n-Matrizen mit reellen Eintr¨agen. Seic >0 eine positive Konstante und K eine AbbildungK : Ω→Mn(R) mit der Eigenschaft:

(i) F¨ur alle 1≤i, j≤nist die Abbildung Ω3x7→K(x)ij ein Element vonC¹(Ω).

(ii) ckuk²

H₀^1,2 ≤R

ΩhK(x) gradu(x),gradu(x)i_Rⁿdx.

(h·,·i_Rn bezeichnet das Skalarprodukt in Rⁿ)

Wir betrachten eine sogenannte elliptische partielle Differentialgleichung div (K(x) gradu(x)) =f(x) x∈Ω,

u(x) = 0 x∈∂Ω,

wobeif ∈ C(Ω) undu∈ C²(Ω)∩ C(Ω) ist.

Bildet man dasL²-Skalarprodukt mit einer Funktionv∈ C₀^∞(Ω), so erh¨alt man hdiv (Kgradu), vi_L2(Ω)=hf, vi_L2(Ω)

Zeigen Sie, dass diese Gleichung ¨aquivalent zur Gleichung Z

Ω

hK(x) gradu,gradvi_Rⁿdx=−hf, vi_L2(Ω) (∗) ist.

(Hinweis: F¨ur ein Vektorfeldwund eine skalare Funktionggilt: div (g·w) =hgradg, wi+ gdivw. Verwenden Sie einen Ihnen wohlbekannten Satz aus der Integrationstheorie) Zeigen Sie anschließend, dass es eine eindeutig bestimmte Funktionu∈H₀^1,2(Ω) gibt, die f¨ur alle v∈ C₀^∞(Ω) die Gleichung (∗) erf¨ullt.

(Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Lax-Milgram.

Die Ungleichungx1+· · ·+xn≤n^1/2(x²₁+· · ·+x²_n)^1/2 mitxi∈Rkann hilfreich sein. Wie heißt diese Ungleichung?)

Anmerkung: Die L¨osungu∈H₀^1,2(Ω) bezeichnet man als schwache L¨osung der Differenti- algleichung (bzw. des Dirichlet-Problems).