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Ubungen zu Analyis II¨ Blatt 10
1 Die sog. Gammafunktion ist inR∗+ definiert durch
Γ(x) = Z ∞
0
e−ttx−1dt.
Man beweise bitte
(i) Γ(x) ist f¨urx >0 wohldefiniert, da das Integral absolut konvergiert.
(ii) Γ(1) = 1 undΓ(x+ 1) =xΓ(x).
(iii) Γ ∈C∞(R∗+) und f¨ur die Ableitungen gilt
Γ(n)(x) = Z ∞
o
(logt)ne−ttx−1dt.
(iv) Die Gammafunktion l¨aßt sich auch in{z ∈C: Rez > 0} definieren und gen¨ugt dort dem Analogon von (ii).
2 Beweise Theorem 5.9.8.
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