Ubungen Numerik II ¨ Blatt 2

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Prof. Dr. V. Schulz / Dr. S.B. Hazra Wintersemester 2003/2004

Ubungen Numerik II ¨ Blatt 2

Aufgabe 1: Zeigen Sie ¨ uber die ¨ Aquivalenz der AWP f¨ ur z(t), y(t) ∈ R

ⁿ

˙

y = f(t, y) ⇐⇒

z ˙

˙ z

_n+1

=

f(z

n+1

, z) 1

y(t

₀

) = y

₀

z(0) = y

₀

z

n+1

(0) = t

0

dass im Butcher-Tableau f¨ ur expl. RK-Methoden gelten muss

c

i

=

i−1

X

j=1

a

ij

∀ i = 2, . . . , s

damit die Zeit richtig integriert wird.

Aufgabe 2: Betrachten Sie f¨ ur f : R → R

ⁿ

, y : R → R

ⁿ

die Differentialgleichung

˙

y(t) = f(t)

a) Zeigen Sie, dass in diesem Fall folgende ¨ Aquivalenzen zu Quadraturformeln gelten Heun ⇐⇒ Trapezregel

klass. Runge-Kutta ⇐⇒ Simpson 3/8-Regel ⇐⇒ pulcherrima

b) Zeigen Sie, dass sich f¨ ur diese Differentialgleichung folgende Bedingung f¨ ur die R-K-Koeffizienten ergibt

1 =

s

X

i=1

b

_i

1

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Aufgabe 3: Zeigen Sie: Wendet man ein explizites s-stufiges RK-Verfahren auf die Differentialgleichung

˙ y = λy an mit λ ∈ R , so gilt f¨ ur die Stufen

k

_l

= P

_l

(h · λ)u

_i

, l = 1, . . . , s mit Polynomen P

_i

vom Grad h¨ ochstens i

Aufgabe 4: Programmieren Sie mouse flow.m um, sodass zus¨ atzlich das Ergebnis des expliziten und des impliziten Eulerverfahrens angezeigt wird. Stellen Sie Beobachtungen f¨ ur verschiedene Schrittweiten an.

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