Zusammenfassung - Analysis 1

Zusammenfassung - Analysis 1

Erik Hebestreit 22. Februar 2009

Grundlagen

• Induktion

• geometrische Summenformel:Pn

k=0q^k= ^1−q_1−qⁿ⁺¹,(q 6= 1)

• Binomialkoezient: ⁿ_k

= _k!(n−k)!^n! , ⁿ_k

+ _k−1ⁿ

= ⁿ⁺¹_k

• binomischer Satz: (x+y)ⁿ=Pn k=0

n k

x^ky^n−k

Vollständigkeit der reellen Zahlen

• Ordnungsvollständigkeit: ein angeordneter Körper K heiÿt ordnungsvollständig, wenn jede nach _unten^oben beschränkte Menge ein ^Supremum_{Inf imum} besitzt

(ordnungsvollständig⇒ keine Lücken in R)

_untere^obere Schranke der MengeM:S∈K mit m^≤_≥S ∀m∈M ^Supremum_{Inf imum} von M: kleinste obere

groesste untere Schranke mitS ∈M

(∃ε >0, m∈M, sodass ^S−ε<m_S+ε>m; ist eindeutig, wenn existent)

Hat eine Menge eine obere und eine untere Schranke, so heiÿt sie beschränkt.

• Cauchy-Folgen sind konvergent

• Vollständigkeit vonC,R^d ⇒ Vollständigkeit vonR

Folgen und Häufungspunkte

• Konvergenz: (x_n) konvergiert gegen den Grenzwert x, wenn zu jedem ε > 0 ein n_ε∈N existiert, sodass|x_n−x|< ε ∀n≥n_ε

• Konvergenzkriterien für Folgen:

Sandwich-Satz: ∃a_n, bn, cn und ∃N ∈ N mit limn→∞an = c, limn→∞cn = c unda_n≤b_n≤c_n ∀n≥N, dann gilt auchlimn→∞b_n=c

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Monotoniekriterium: jede beschränkte und monotone Folge inRist konvergent

• Satz von Bolzano-Weierstraÿ: jede beschränkte Folge (a_n)_n∈

N in R enthält eine konvergente Teilfolge(a_nk)_k∈

N

• Cauchy-Folgen:(x_n)heiÿt Cauchy-Folge, wenn gilt: ∀ε >0 existiert einN ∈N, sodass|x_m−xn|< ε∀m, n > N

jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge Cauchy-Folgen in Rsind konvergent

Reihen

• Konvergenz:P∞

n=1a_n=c <∞(cheiÿt Grenzwert von (a_n))

• absolute Konvergenz:P∞

n=1|a_n|=c <∞

(absolut konvergente Reihen sind stabil gegen Umordnung)

• Konvergenzkriterien für Reihen:

Nullfolgenkriterium:an muss Nullfolge sein, damitP

an konvergieren kann Quotientenkriterium:q = limn→∞

an+1

an

...







<1 absolut konvergent

= 1 keine Aussage

>1 divergent (Anwendung: Potenzen, Fakultäten, Binomialkoezienten) Wurzelkriterium: q= limn→∞ ⁿ

p|a_n|...







<1 absolut konvergent

= 1 keine Aussage

>1 divergent (Anwendung: Potenzen mit Exponentenn,n², ...)

Leibnitz-Kriterium: (an)ist monoton fallende Nullfolge⇒ P∞

n=0(−1)ⁿan ist konvergent

(Anwendung: alternierende Reihen)

Majoranten-/Minorantenkriterium: 0≤ |a_n| ≤bn ∀n≥N P∞

n=0bnkonvergiert ⇒P∞

n=0an konvergiert absolut P∞

n=0a_n divergiert⇒P∞

n=0b_n divergiert

(Anwendung: Vergleich mit einfacherer Reihe ist möglich) Verdichtungskriterium: (an) ist monoton fallende Nullfolge

die Reihen P∞

n=0a_n undP∞

k=02^ka₂k haben selbes Konvergenzverhalten (Anwendung: eine der beiden ist geometrische Reihe)

• die geometrische Reihe:P∞

k=0q^k= _1−q¹ ,(q6= 1)

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Stetigkeit

• Grenzwert einer Funktion: cheiÿt Grenzwert von f :D→R^d inx0, wenn∀ε > 0

∃δ >0mit |f(x)−c|< ε∀x∈D mit |x−x₀|< δ (Notation:limx→x₀f(x) =c)

• Stetigkeit in einem Punkt: f : D → R^d heiÿt stetig in x₀, wenn gilt f(x₀) = limx→x₀f(x) (beidseitiger Grenzwert ist gleich dem Funktionswert)

• f heiÿt stetig auf D, wennf in jedem Punkt von Dstetig ist.

Für jedesx∈Dgilt:∀ε >0∃δ >0mit|f(x)−f(x0)|< ε∀x∈Dmit|x−x0|< δ

• gleichmäÿige Stetigkeit: δ-Umgebung hängt nicht vom gewählten Punkt x₀ ab, sondern nur von ε.

∀ε >0 ∃δ >0so, dass∀x, x₀ ∈Dmit |x−x0|< δ gilt:|f(x)−f(x0)|< ε

(Beispiel:x7→x²ist stetig aber nicht gleichmäÿig stetig, daδ-Umgebungen für eine feste ε-Umgebung bei gröÿeren x0 immer kleiner gewählt werden muss; x 7→ √

x ist gleichmäÿig stetig, da für eineε-Umgebung eine δ-Umgebung gefunden werden kann, in die immer alle Werte passen, unabhängig vom gewähltenx₀)

• Kompakte Menge: Eine Menge K⊂R heiÿt kompakt, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Abgeschlossenheit: A ⊂ R ist abgeschlossen, wenn für alle Folgen (an) in A der Grenzwert limn→∞a_n in A liegt. (Menge A hat keine Lücken und die Randpunkte gehören ebenfalls zuA)

Beschränktheit: Die Menge hat sowohl eine obere, als auch eine untere Schranke.

• Maxima/Minima auf Kompakta: Jede stetige Funktion auf einer kompakten Menge nimmt ein Maximum und ein Minimum an.

• Zwischenwertsatz: Ist f : [a, b]→ Rstetig, so nimmt f jeden Wert zwischen f(a) undf(b)an.

Dierenzierbarkeit

• Dierenzierbarkeit in einem Punkt:f :U → R^d (U ⊂R^k ist oen) heiÿt stetig in x₀ ∈ U, wenn es eine Lineare Abbildung L : R^k → R^d gibt mit f(x) = f(x₀) + L(x−x₀) +ϕ_x0(x), sodass für den Fehler gilt _(x−x^ϕx0(x)₀₎ → 0, x→ x₀. (die Funktion lässt sich inx0 linear approximieren)

Dierentialquotient muss existieren:limx→x0

f(x)−f(x0)

x−x₀ =f⁰(x₀)

• f heiÿt auf U dierenzierbar, wenn f in jedem x0 ∈ U dierenzierbar ist. f⁰(x) heiÿt dann Ableitung vonf.

• Satz von Rolle: Ist f : [a, b] → R stetig und dierenzierbar auf (a, b) und ist f(a) = 0 =f(b), so existiert einξ ∈(a, b)mit f⁰(ξ) = 0.

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• Mittelwertsatz (Verallgemeinerung des Satz von Rolle): Istf : [a, b]→Rstetig und dierenzierbar auf (a, b), so existiert einξ ∈(a, b)mit f⁰(ξ) = ^f(b)−f(a)_b−a .

• Extrema: Ein Extrempunkt ist der gröÿte/kleinste Funktionswert einer Funktion auf einem bestimmten Intervall.

Notwendige Bedingung: Hat f : (a, b) → R (dierenzierbar) ein lokales Ex- tremum inξ∈(a, b), so gilt f⁰(ξ) = 0.

f muss kein Extremum auf(a, b) haben.

f : [a, b]→Rkann Extremum ina, oderb haben.

Taylorpolynom

• Taylopolynom (Approximation an f(x) inx0): Pn,x0(x) =P_n

k=0

f^(k)(x0)

k! (x−x0)^k

• Restglied:f(x) =Pn,x0(x) +Rn+1,x0(t) mit t(x)∈(x, x0) Lagrange-Restglied: R_n+1,x0(t) = ^f(n+1)_(n+1)!^(t)(x−x₀)ⁿ⁺¹ Landau-Symbolik (o(x), O(x)): Abschätzung des Fehlers

f(x)−P_n,x0(x) =O(g(x)), x→x₀mit

f(x)−P_n,x0(x) g(x)

≤Cbeschränkt (Beispiel:

O((x−x0)⁶)heiÿt, der Fehler zws. f(x) undPn,x0(x)ist von der Ordnung 6) f(x)−Pn,x0(x) =o(g(x)), x→x0 mit limx→x0

f(x)−Pn,x0(x) g(x)

= 0(der Fehler geht schneller gegen Null als g(x))

• Taylorreihe:P∞ k=0

f^(k)(x0)

k! (x−x₀)^k (Taylorreihe muss nicht konvergieren)

Riemann-Integral

• Ober-/Untersummen: Fürf : [a, b]→Rbeschränkt und die Zerlegungz= (x₀, . . . , x_n) von [a, b] ist die Obersumme von f Oz(f) := Pn

i=1(xi −xi−1) sup_xi−1<x<xif(x), bzw. die Untersumme von f Uz(f) :=Pn

i=1(xi−xi−1) infxi−1<x<xif(x)

• Riemann-Integrierbarkeit: f : [a, b] → R beschränkt heiÿt Riemann-Integrierbar, wenn gilt:sup_zUz(f) = infzOz(f)

Rb

af(x)dx:= sup_zU_z(f) = inf_zO_z(f)heiÿt das Riemann-Integral von f in[a, b]. Stetige, monotone und Treppenfunktionen sind Riemann-Integrierbar.

• Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung (HDI):

1. Die FunktionF : [a, b]→RmitF(x) =R_x

a f(t)dt ist eine Stammfunktion zur stetigen Funktionf und es istF⁰(x) =f(x).

2. Ist F Stammfunktion von f, so gilt Rb

af(t)dt=F(b)−F(a)

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