Aufgabe 3.2 Es sei

Universität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Reinhard Racke

Dipl.-Math. Olaf Weinmann

30. April 2007 _¢¢AA¢¢AA ^¢¢AA

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Analysis II 3. Übungsblatt

Aufgabe 3.1 Es seienX und Y normierte Räume. FürA∈L_b(X, Y) sei kAk:= sup

kxk=1

kAxk.

Zeigen Sie, dass (L_b(X, Y),k · k) ein normierter Raum ist.

Aufgabe 3.2 Es sei `<sub>∞</sub> := {x = (x<sub>i</sub>)<sub>i∈N</sub> ⊂C: sup<sub>n∈N</sub>|x<sub>n</sub>|< ∞}. Für x∈ `_∞ denieren wir kxk_∞ := sup_n∈N|x_n|. Zeigen Sie, dass (`_∞,k · k_∞) ein vollständiger normierter C-Vektorraum ist.

Aufgabe 3.3 Beweisen Sie, dass

kxk_∞= lim

p→∞kxk_p

für alle x∈Rⁿ gilt.

Aufgabe 3.4 Es seiena, b∈Rmit a < bundX :=C¹([a, b]). Untersuchen Sie den normierten Raum(X,k · k_∞) auf Vollständigkeit.

Abgabetermin: Montag 7. Mai 2007, vor der Vorlesung in die Briefkästen bei F411.