Differential reohnung

75

Differential reohnung

*

(_x. f ^(×.

)+fy×

.,,^x. ×.,

) Erinwmg

^:

f

^{: (ais}

⁾

^{→ R ist}

different

^{'erbw be; xo c-(a,b)}

mit

Ableitnng f

^{'to ), wenn}

0

.

✓ ^{flats )}

⁼

^fk

^{.) +}

^fix

^{. )s+}

^o(

^s)

^far

^S→O

I > × wobei

g(

^{S) = o(s)}

^fir

^{s→0 bedwtet , dass}

×°

him

SW

⁼ O

.

s ^-so Isl

Bem

^{. i In}

folgenden ^bebachteu

^{wir sta # dem} Enklidschen Raum

R

^"

heist

allgemeine Banachroiume

. Dies ist do ^' naturliche

Dahmen

^'

fair

^die

Differential reclining

^.

^Die

^Beweise

rvkompliziven

^{sioh dadnrch nicht .}

Def

^{.: Seien}

X. Y Banaohroiume

,

UEX offen

^and

f.

^{U→Y .}

° Eine linear

Abbildnng f

^'(x.

⁾

^c-

^{BLXY )} heist Ablitung

^von

f

^{bei xo EU} ,

wenn

gilt _him

¹¹

^flats

^{) -}

^f

^(x.)-

^f

^{'6.) s 11 =} 0

s ^.so 11111

- -

f-

^'lxo)

heipt

^anch " ( totals )

Differential

^{" odv , Freichet}

Ablitung

^"

^beixo

- und man schreibt ouch

Dfcx

^{.) =}

f

^{'(x.) .} -

° Exrstivt

fix

^.) , so

heipt f

^{bei ×.}

differeuzivbar

^.

° ^dieExistent

^Ablitung f By

^'I×

⁾

^von

fir ^f

^{. ake ×eU , daun ist}

^skkye f

^{': U 'sLin. Abb .eu}

⁾

^{von, x.Xnach}

^{Hf Y}

^'lx.)

Ben

^{. : °}

hjwogls ⁾

^{istals "}

^stekge Fortsetzung

"

von

gin

⁰

^zurvstehen

^,

^d.

^h.

als

hreuzwwt

^soimthchv

Folgeu ^sn→0

^run

glbn ⁾

^.

° Fir

f ^:R→R

^{wird ans dem inbhohen "}

^f-

^{'lx.) e R " durch}

xi→

f

^{'lxo) × line}

^linear Abbildung

^.

°

Die gefordvte _Stekgkeit

^von

f

^{'lxo) bedintet nicht} , dass

f

^'

skkgvou

xo

abhoiugt ^?

°

f

^{'lx.) ist Abl. ⇐7}

Faye

^{C (U,Y) :}

glx

^{.) = 0 ^}

^flx

^{) : f ( xD + f' lxdlx .xo)}

+ Vx ^-

xokglx

^{) .}

16

° Wenn die

Abbituy

^existent , it ^sie

eindentj

^,

^da HH

't

.) ^-

fix

^.)

⁾ ¥

,

He

¹¹

flats

^{) -}

flu

^{) -}

fix

^.

)s111ns

^,,

+

Hflxots

^)-

flu

^{) -}

f-

^{'(a) s}

^11/1111

^{→ 0}

far

^HsH→0

(

^{Dies verwendrt} _, ^dass

f

^{in liner}

_Umgebuy

^{von xo}

^defnivt

^it

^? )

Satz

: Seieu

X. Y

Bauaihraume _, UEX

often

^{, and}

fill

^{→ Y bei ×}

^diff

^{. bar .}

Dann

^ist

f

^{bci x}

stekg

^.

Benes

^'s:

Belrachte

^line

Folge

^{xu EU wit xn → × EU .}

^Es gilt

^:

f(

^a)

'

¥

f

^{(×) +}

fi ^I

^×)

⁽

^{xn. ×}

⁾

⁺

^°(

^{Hxn- xll}

)

, also

Hflxu

^{) -}

f

^{Ix) H £ H}

f

^{' lx) (xn . x) H}

t.nl#xHHxixH+u

^{. → 0}

^fir

^{n→• . D}

Operator

^{norm < a da}

f

^{'1x)C- BC X. Y )}

Ben ^. :

Umykehrt gilt

^{: ist}

^{f skhybei}

^{x . dann ist hire linear}

Abbildung f

^{'(×) :X 's}

^Y

^{, die C*)}

^vfiht

^,

antomatrsch stehj

^,

d.^h. Element non

BLKY

) .

Bsp

^{. : ° 1st At}

^R

" "

,

re R^" and

f

^{:IR " .sxH Axtve IR" . dann}

gilt

^:

f

^{'(x.) . A}

txo

, denn

flats ⁾

^:

fcx

^{.) + As}

° 1st

f

^{: R " " → R " " ,}

f

^{IA)= A'} ,

daun

gilt ^f

^{'(A) : B ↳ AB + BA}

(

duh .

for

^{ni- 7 :}

f

^{'1x) :b ' →}

1-

^b

)

Beweis ^:

f

^{( Ats ) -}

fla

^{) -}

f

^{'LAID = ( Atb )' - A2 - Ab - SA =}

^s2

^{. D.h .}

him ^{11 -' -}

HIHSH

^:

his :O HDHIHDH ftp.go

^{11s" . B}

s ^-so

"^s'" easy ^'

° 1st

f

^{: X → Y, x. .. × Yu : × ' → (fn k ), --. 1}

^fnlx

⁾

⁾

, daun

gilt

fllx

^{.) = (}

^filx

^{.) , ... ,}

film )

. Z.is ^.

for f

^{: Rax to}

( ^FYifn¥ )

, rear

ist

f

^'

⁽

^x.

⁾

^.

(

^{- rsinx} . ,

r cos x.

,

7) (

^a

Tangential

^rektor

"

an die

Scwanbeuliuie )

17

Die

wichligsten

^"

Recheuregeln

^{' :}

Satz ^:

(

^{Linear: tat do}

Ablitung ⁾

Sei UEX

often

^und

f. _g

^{: U→ Y be: xo EU}

diff

^{. bar} ,

dann gilt

^:

(i

) ( f

⁺

g)

^{' (x.) :}

^f

^{' K.) +}

_g

^'1x.

⁾

(ⁱ:)

tfcelk

^:

(f) ⁽

^{'1x.) =}

cfllxo ⁾

Beweis

^{: (i) 11 (}

ftg

^{) ( x. + s ) - (}

fig

^{)(x.) -}

( f

^'(

ojlxo

^{e.) + )}

⁾

^A

^1/111111

e 11

flats )

^.

f

^{(x. ).} f- "^C×.) s

11/11111

+ ¹¹

glxots ⁾

^-

glx

^{.) -}

g 'lx

.) A

11/11111

^{→ 0}

fir

^{A → 0}

Ci:L

felgt ebenfallssofort

^aus

Definition

^{. is}

Satz :

( kelteuregel )

Seien X.

KZ Banaohroiume

^und

fill

^{→ Y} , g ^{:V→Z ,}

wobei

UEX ^und

VEY

often

^{sind .}

^1st f ^diff

^{. bar bei ×eU und}

_g ^diff

^{.br bei}

yi= fix

^{) e V ,}

damn

gilt

^:

₍

g.

f)

^{'l× ) :}

JLH °f'

^k)

was ,u

, o

Beweis :

flxts

^{) =}

f

^{(x) +}

films

^{+ rl s) wit hjhgo} Hsy

glyts

^'

⁾

^:

gly

^{) +} g

'ly)s

^{' + sls ')}

ebenfalls

^{unit sl s') = o}

(

^Ils'll

)

Hit s^{' :=}

fllx

^{) st rls}

⁾

^{und his ) :=} g

'(y ) ^{rl s) + sls ')}

gilt

^:

(

_go

f)

^{( xts}

⁾

^:

gly

^{) +} g

'

Ly

⁾

f

^{'(x) s + hla )}

Z .z . ist also

, class hls ) ^: o

(

Hsll

) for

^{s→0 . Dies}

folgtans

"

hath

^{" ±}

ujinu

" " s' "

+

" " s " " "s^'"

Hill As

'll

^HAH

±

" gin

^{" "}

high

^{" + "}

^snlssih

^"

(

^"

^tix

^'

^"

⁺

^" iYsh

^"

⁾

a

- -

÷

→ O ^→ 0 ^{< a →} 0