II.Differeuh.at#hnung ④

II.Differeuh.at#hnung ④

fix

)

( x.fix^.)tf^'(e.)^(e-×.))

Eri

^'

^fi

^{Caio ) → IR ist}

^diffbr

^bei

^xoeca.bg

wit

Abteilung f

^{'ko), wenn}

.

% :÷ :c ^{:* :c :p} : ^{: : : :c : :* : :}

XO

II.

o

954=0

^.

Bein

^Im

folgenden

^{bebrachteu wir stat dem Enka-dscheu' Raum IR"}

^heist allgemeine ^Banach

^{rainme . Dies ist der 'natirliche Dahmen'}

^fir

^die

Differential reclining

^.

^Die

^Beweise

vvkompliziven

^{sich dadurch nicht.}

Det

^Seier X.

Y

Banaohroiume , UEX

offer

^and

fill

^-'Y.

° Eine linear

Abbildnng ^f'

^{(xo) c- Blk,Y}

^{) heipt} Abkitungvonfbeix.EU#

^,

wenn

gilt

_him -¹¹

^flats

^)-

^fled

^-

^f-

^{'Kolb 11} = O

s^-so HSH

It ^{! :}

^'

^{! : " ! :S ! It ;} :S ^!

^.

^?

^" own Frechette^{'t "se:}

° Earshot

f-

^'ko) , so

heipt f

^{bei to}

differentia

^.

° Existent

f

^'(x

⁾ for

^{alle xc-U} , dawn ist

f

^{': U's BLK.}

Y )

^{, x.h}

f'

^ko)

-

die

Abteilung

^von

^f

^.

^shlige

^{Lin. Abb.eu von XnachY}

Bein

^°

lingo ^gls

^{) ist ab "}

^stetrge Footsetzuug

^{" von}

^gin

^{O zu}

^rvstehen

^{, d.h.}

als

Grenz

^{west 5amthicker}

Folger

^{Su-so von}

glam

^{) .}

° Far

f

^{: IR-sIR wird ans dem inbhchen . .}

^f-

^{'Leo) EIR" durch}

ans

f

^{'ko) x eine lineare}

Abbildung

^.

°

Die gefordvte Stekgkeit

^von

^f-

^{'Ko) bedentet nicht, dass}

f

^'

shtigvou

to

abhoiuyt

^?

16

° Wenn die

Abbituy

^{existent, it sie}

eindentj

^{, da}

HH ^'t

^{.) -}

fix

^.)

⁾ ¥

,

He

11

flats

^)-

flu

^)-

fix

^.

)s 111ns

,,

+

Hflxots

^)-

flu

^)-

f-

^'(a)s

^11/1111

^{→ 0}

far

^HsH→0

(

^{Dies verwendrt},

dass

f

^{in liner}

Umgebuy

^{von xo}

^defnivt

^it

^{? )}

Satz

: Seieu

X. Y

Bauaihraume , UEX

often

^{, and}

fill

^{→Y bei ×}

^diff

^.bar.

Dann ^ist

f

^{bci x}

stekg

^.

Benes

^'s:

Belrachte

^line

Folge

^{xu EU wit xn→ × EU . Es}

gilt

^:

f(

^a)

¥ ^Hflxu

^)'-

^{f f}

^{Ix()×)H +£}

t.nl#xHHxixH+u ^{fi H f}

^I×)'l

⁽

^x)xn(.xn×.

⁾

^x)+H

^°(

^Hxn-.xll

⁾

^{→, 0also}

^fir

^{n→•. D}

Operator

^{norm <a da} f^{'1x)C-BC X. Y )}

Ben^{. :}

Umykehrt gilt

^{: ist}

^f skhybei

^{x. dann ist hire linear}

Abbildung

f

^{'(×) :X'sY},

die C*)

vfiht

, antomatrsch

stehj

^,

d. h. Element non

BLKY

).

Bsp

^{.: ° 1st At R}

" "

,

re R^" and

f

^{:IR".sxH Axtve IR" . dann}

gilt

^:

f

^{'(x.) . A}

txo

, denn

flats

) ^:

fcx

^{.) + As}

° 1st

f

^{: R"" → R}" "

,

f

^{IA)= A'} ,

daun

gilt ^f

^{'(A): B ↳ AB+BA}

(

duh.

for

^ni-7:

^f

^{'1x) :b '→}

1-

^b

)

Beweis^:

f

^{(Ats) -}

^fla

^)-

^f

^{'LAID =}

⁽

^{Atb)'- A2 - Ab-SA =}

^s2

^{. D.h.}

him 11 ^-'-

HIHSH

^:

his :O HDHIHDH ftp.go

^{11s" . B}

s^-so

"^s'"easy^'

° 1st

f

^{: X → Y, x...× Yu : × '→ ( fnk ), --.1}

^fnlx

⁾⁾ , daun

gilt

fllx

^{.) = (}

^filx

^{.) , . . .,}

^{film )}

^{. Z.is.}

^for f

^{: Rax to}

( FYifn¥ )

^,rear

ist

f

^{'(x.) .}

(

^-rsinx. ,

r cos x. _,

7) (

^a

Tangential

^rektor"

an die Scwanbeuliuie

)

17

Die

wichligsten

^"

Recheuregeln

^{' :}

Satz:

(

^{Linear:tat do}

Ablitung ⁾

Sei UEX

often

^und

f.

_g^{: U→ Y be: xoEU}

diff

^.bar, dann

gilt

^:

(i)

( f

⁺

g)

^{' (x.) :}

^f

^{'K.) +}

_g

^'1x.

⁾

(ⁱ:)

tfcelk (f)

^:

⁽

^{' 1x.) =}

cfllxo

⁾

Beweis

^: (ⁱ) 11 (

ftg

^{)(x.+s) - (}

fig

^)(x.)-

( ojlxo _f

^{'(e.)+ )}

⁾

^A

^1/111111

e 11

flats )

^.

f

^(x.).

f-

^{"C×.) s}

^11/11111

+ 11

glxots

^{) -}

glx

^{.) -}g'lx.) A

11/11111

^{→ 0}

fir

^A→0

Ci:L

felgt ebenfallssofort

^aus

Definition

^{. is}

Satz :

( kelteuregel ⁾

Seien X.

KZ

Banaohroiume ^und

fill

^{→Y ,} _g^{:V→Z , wobei UEX und VEY}

often

^{sind . 1st}

f ^diff

^{.bar bei ×eU und}

_g ^diff

^{.br bei}

yi= fix

^{) eV,}

damn

gilt

^:

₍

f)

g. ^{'l×) :}

JLH °f'

^k)

was,u

,o

Beweis:

flxts

^{) =}

f

^{(x) +}

films

^{+ rls) wit}

hjhgo

Hsy

glyts

^'):

gly

^{) +} g

'ly)s

^{' +sls')}

ebenfalls

^{unit sls')= o}

(

Ils'll

)

Hit s^':=

fllx

^{)st rls) und his ):=} g^{'(y )rls) + sls}

')

gilt

^:

(_go

f)

^{(xts) :}

gly

^{) +} g

'

Ly

⁾

f

^{'(x)s + hla)}

Z.z. ist also

, class hls )^: o (Hsll

) for

^{s→0 . Dies}

folgtans

"

hath

^{" ±}

^ujinu

^{" "s'" + " "s" " "s}

'"

Hill As'll HAH

± "

gin

^{" "}

high

^{" + "}

snlssih

^"

⁽

^"

^tix

^{'" + "}

^iYsh

^"

)

^a

- _-

÷

→ O ^→ 0 ^{<a →} 0

④

Def

^{Fair Banachrainme X.}

Y

^{, Z}

herpt f

^{: Xx}

^Y

^{→ Z}

bilinear

, wenn

p

^{linear in beiden}

Argumentum

^{ist . B}

^{Loft beschroikt}

^{, wenn}

Ice IR tf (_x.y) e XxY^{: H} B^Ce,y ) HE c Hell

Ilya

azbz^- azbz

Bsp.io

^..

kreuzprodnkt

^"

1123×1123

^→

1123

^{: axb :--}

( ^da ? } _! ^! ! ! _? )

o

Skalwprodnkt

^{IR"x R" → IR i ca,b> =}

÷L

,

a:b;

Lemmai

^Sei

p

^{: X x}

^Y

^{-s Z bescwoiukt und bilinear und Il}

^lay

^{) Il:-- max}

^f

^{Hell ,}Hy^H

)

^.

B

^ist

diff

^{. bar}

^auf ganz

^{XxY und es}

gilt

^:

p

^{' (x, y) : (s,t) n}

^pl

^{x.t) t pls,y ) .}

Beweisi BC

^ets,

ytt )

^-

play

^{) -}

(

^{Blat) t}

^pls

^,Y)

)

⁼

pls

^,t)

woofer gilt

^:

H

pls

^{,t)H c Hsh Htt}

E ^- → 0

Ills,till

maefllsll.lt

^th

's

a

Satz ( Prodnlttregel ⁾

^Sind

^f

^,g^{: U→}Y ^{in der}

offeueu Menge

^UEX

^diff

^.bar

und ist

p

^{: txt→Z bilinear} und besdroinkt

, dann ^ist auch h: U^->Z _,

× rs

p ( ^fees

^,

gus ⁾

^{in U}

diff

^{.bar und es}

gilt ^V-x.eu

^:

h^'(×_.) ^:X→Z

,

x rs

B (

^{f'Leo) x ,}

_g.

^Leo)

)

^t

p (

fled,

g'

^{Leo) x}

⁾

^.

Beweisi Auwendunogdv kelteureyel ^auf

^h--

^pox

^{wit x:UsYet. x ↳( ful,}

^glx

⁾

⁾ liefvt

^{h' Leo}

⁾

^{x = (}

Bo

^{x)" Leo)x =}

B' ⁽

^neo)

)

^{o x'Leo) x}

=p

^'

( _f-

^Leo),

glad ) (

f-^'Leosx.

g'

^Kok

⁾

^.

Die ^Ans

sage folgt

^{dawn ans}

vorigem ^Lemma

^{. D}

Bsp

^{Fir does}

ltreuzprodnkt diff

^.barer

Abbilduugen fg

^{: IR-s IR'}

^{gilt for}

htt)^{: :}

fltjxglt

^{): tilt) =}

^f-

^'

ltsxglt

^{) t}

f-

^{It) x}g

'Lt)