Die Sch¨ onen und die Biester
Die Sch¨ onen und die Biester
J¨urgen M¨uller Universit¨at Trier
-2 -1 1 2
-6 -4 -2 2 4 6
Die Sch¨onen und die Biester
-3 -2 -1 1 2 3
-1 -0.5 0.5 1
sin(x)
3
-2 -1 1 2 0.5
1 1.5
Die Sch¨onen und die Biester
-0.2 -0.1 0.1 0.2
-0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0.05 0.1
f(x) =x·sin 1
x
(x6= 0)
5
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-200 -100 100 200
Die Sch¨onen und die Biester
Weierstrass (1872) :
f(x) = lim
n→∞
n
X
k=0
akcos(bkx)
mit geeignetena,b stetig, nirgends differenzierbar
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Weierstrass (1872) :
f(x) = lim
n→∞
n
X
k=0
akcos(bkx)
mit geeignetena,b stetig, nirgends differenzierbar
Die Sch¨onen und die Biester
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Die Sch¨onen und die Biester
Fourier-Reihen: f integrierbar und 2π-periodisch ak = 1
π Z π
−π
f(t) cos(kt)dt, bk = 1 π
Z π
−π
f(t) sin(kt)dt f¨urk = 0,1,2, . . .,
sn(x) = (snf)(x) =a0
2 +
n
X
k=1
[akcos(kx) +bksin(kx)] f¨urn= 1,2,3, . . ..
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Fourier-Reihen: f integrierbar und 2π-periodisch ak = 1
π Z π
−π
f(t) cos(kt)dt, bk = 1 π
Z π
−π
f(t) sin(kt)dt f¨urk = 0,1,2, . . .,
sn(x) = (snf)(x) =a0 2 +
n
X
k=1
[akcos(kx) +bksin(kx)]
f¨urn= 1,2,3, . . ..
Die Sch¨onen und die Biester
Beispiel:
f(x) =π
2 − |x| (x∈[−π, π])
Dann ist
sn(x) = 4 π
n
X
`=0
cos(2`+ 1)x (2`+ 1)2
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Beispiel:
f(x) =π
2 − |x| (x∈[−π, π]) Dann ist
sn(x) = 4 π
n
X
`=0
cos(2`+ 1)x (2`+ 1)2
Die Sch¨onen und die Biester
Frage:
f stetig und 2π-periodisch aufR⇒ f(x) = lim
n→∞sn(x) f¨ur einige/allex ?
Dirichlet (1829)
,
Du Bois-Reymond (1876)
/
Carleson (1966)
,
Kahane/Katznelson (1966)
/
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Die Sch¨onen und die Biester
Frage:
f stetig und 2π-periodisch aufR⇒ f(x) = lim
n→∞sn(x) f¨ur einige/allex ?
Dirichlet (1829)
/
Die Sch¨onen und die Biester
Frage:
f stetig und 2π-periodisch aufR⇒ f(x) = lim
n→∞sn(x) f¨ur einige/allex ?
Dirichlet (1829)
,
Du Bois-Reymond (1876)
/
Carleson (1966)
,
Kahane/Katznelson (1966)
/
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Frage:
f stetig und 2π-periodisch aufR⇒ f(x) = lim
n→∞sn(x) f¨ur einige/allex ?
Dirichlet (1829)
,
Du Bois-Reymond (1876)
Die Sch¨onen und die Biester
Frage:
f stetig und 2π-periodisch aufR⇒ f(x) = lim
n→∞sn(x) f¨ur einige/allex ?
Dirichlet (1829)
,
Du Bois-Reymond (1876)
/
Carleson (1966)
,
Kahane/Katznelson (1966)
/
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Die Sch¨onen und die Biester
Frage:
f stetig und 2π-periodisch aufR⇒ f(x) = lim
n→∞sn(x) f¨ur einige/allex ?
Dirichlet (1829)
,
Du Bois-Reymond (1876)
/
Carleson (1966)
Die Sch¨onen und die Biester
Frage:
f stetig und 2π-periodisch aufR⇒ f(x) = lim
n→∞sn(x) f¨ur einige/allex ?
Dirichlet (1829)
,
Du Bois-Reymond (1876)
/
Carleson (1966)
,
Kahane/Katznelson (1966)
/
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Die Sch¨onen und die Biester
Frage:
f stetig und 2π-periodisch aufR⇒ f(x) = lim
n→∞sn(x) f¨ur einige/allex ?
Dirichlet (1829)
,
Du Bois-Reymond (1876)
/
Carleson (1966)
,
Kahane/Katznelson (1966)
Die Sch¨onen und die Biester
Frage:
f stetig und 2π-periodisch aufR⇒ f(x) = lim
n→∞sn(x) f¨ur einige/allex ?
Dirichlet (1829)
,
Du Bois-Reymond (1876)
/
Carleson (1966)
,
Kahane/Katznelson (1966)
/
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Die Sch¨onen und die Biester
Satz
Es gibt ”viele” stetige und 2π-periodische Funktionenf so, dass zu jeder Funktiong eine Folge (nj) existiert mit
g(x) = lim
j→∞snj(x) f¨ur alle rationalen Zahlenx ∈[−π, π].
Die Sch¨onen und die Biester
Satz
Es gibt ”viele” stetige und 2π-periodische Funktionenf so, dass zu jeder Funktiong eine Folge (nj) existiert mit
g(x) = lim
j→∞snj(x) f¨ur alle rationalen Zahlenx ∈[−π, π].
.... kurz: Es gibt viele stetige Biester!
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Die Sch¨onen und die Biester
M Mandelbrot-Menge.
Die Sch¨onen und die Biester
M Mandelbrot-Menge.
Frage:
Rand vonM=f([−π, π])
f¨ur eine stetige, 2π-periodische Funktion? (MLC-Conjecture)
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