Kapitel 1 Grundlagen

Kapitel 1 Grundlagen

1.1 Mengen

Definition 1.1 Zusammenfassung von unterschiedlichen Objekten zu einem Ganzen

!"#$ A

Menge

= { a 1 , a 2 , . . . , a n }

! "# $

Elemente der Menge

A :=

!"#$

Gleichheit per definitionem

{ a _n ; a _n haben Eigenschaft E } Operationen:

Durchschnitt: A ∩ B := { x; x ∈ A und x ∈ B } Vereinigung: A ∪ B := { x; x ∈ A oder x ∈ B } Komplement: A \ B

! "# $

A ohne B

:= { x; x ∈ A und x ̸∈ B }

1.2 Zahlen

nat¨ urliche Zahlen:

:= { 1, 2, 3, . . . }

0 := ∪ { 0 } ganze Zahlen:

:= { . . . , − 2, − 1, 0, 1, 2, . . . } rationale Zahlen:

:= %

x; x = m

n ; m, n ∈ Z, n ̸ = 0 &

F¨ur rationale Zahlen gilt:

•

0 ∗ x = m →

' x beliebig f ¨ ur m = 0 keine L¨osung sonst

→ Division durch Null ist nicht definiert.

• Addition, Multiplikation und ihre Umkehroperationen Subtraktion und Division sind in \ { 0 } stets ausf¨uhrbar, z.B.:

m n ± k

l = ml ± kn

nl ∈

• Darstellung:

Der Bruch

1 2 = 4

8 = − 2

− 4 ist nicht eindeutig. Eine eindeutige Definition ist

x = m

n (m ∈ , n ∈ ; n, m sind teilerfremd) Dezimalbruch:

1.78931 = ^{178 931} _{100 000} endlich 1

3 = 0.333 . . . = 0.3 unendlich periodisch

Rationale Zahlen k¨onnen immer als periodischer Dezimalbruch geschrieben werden.

(Ein endlicher Dezimalbruch hat die Periode 0)

Bei Divisionen m/n wiederholt sich sp¨atestens nach n − 1 Schritten der Divisionsrest.

Warum?

Geometrische Interpretation von Zahlen:

3 0

−1 1 2

Abbildung 1.1: Zahlenstrahl

Man identifiziert Zahlen mit Punkten auf einem gedachten Zahlenstrahl rationale Zahlen

↔ experimenteller L¨angenmessung (im Prinzip beliebig genau)

Man sagt, ist ¨uberall dicht, d.h. in jedem noch so kleinen Teilst¨uck liegen rationale Zahlen. Ist z. B. das Teilst¨uck 0 . . . x, dann gibt es 1/n < x (mit x ∈ , n ∈ ).

Aber: Es gibt Punkte auf der Zahlengeraden, denen keine rationale Zahl zugeordnet ist.

Beispiel: 0.1234 . . . , 0.101001000 . . . , √

2 = 1.4142 . . ., d.h. Zahlen mit unendlicher, aber nicht periodischer Dezimalbruchdarstellung. Um diese Zahlen zu beschreiben, m¨ussen wir unser Verst¨andnis f¨ur Zahlen erweitern. Wir nennen diese Zahlen irrationale Zahlen.

Postulat: Definition der reellen Zahlen

Jedem Punkt auf der Zahlengeraden entspricht eine reelle Zahl. Die Menge der reellen Zahlen umfaßt rationale Zahlen sowie irrationale Zahlen.

!"#$ ⊂

ist Teilmenge von

⊂ ⊂

1.3 Ungleichungen

Die Ordnung der reellen Zahlen kann durch Ungleichungen charakerisiert werden. F¨ur x, y, z ∈ gilt

UN1:

x y

y

y x

Abbildung 1.2: Entweder ist x < y, oder x = y, oder x > y.

UN2: Aus x < y und y < z folgt x < z.

y

x z

Abbildung 1.3: x < y < z

UN3: Aus x < y folgt x + z < y + z.

y+z

x x+z y

y x

x+z y+z

Abbildung 1.4: z > 0 bzw. z < 0

UN4: Aus x < y und z > 0 folgt xz < yz.

yz

x y xz

Abbildung 1.5: Streckung bei z > 1, Stauchung bei z < 1

Ungleichungen bleiben also erhalten, wenn wir auf beiden Seiten

• die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren (UN3) oder

• mit einer positiven Zahl multiplizieren (UN4).

UN1 - UN4 k¨onnen auch als Axiome aufgefasst werden, die aus der Anschauung heraus definiert wurden. Alle anderen Ungleichungen k¨onnen daraus abgleitet werden.

Satz 1.1

1. Aus x > 0 folgt − x < 0 und umgekehrt.

0 < x ^UN3 −→ − ^{− x} x < 0 2. F¨ur x ̸ = 0 gilt 0 < x ² .

UN1 (

x < 0 −→ ^UN3 0 < − x −→ ^UN4 0 < x ² x > 0 0 < x 0 < x ² 3. Aus x > 0 folgt 1/x > 0

(2) 0 < (1/x) ^{2 UN4} −→ 0 < 1/x

4. Aus 0 < x < y folgt 0 < 1/y < 1/x 0 < x −→ ³ 0 < 1/x

0 < x < y −→ ^UN2 0 < y −→ ³ 0 < 1/y

0 < 1/x 1/y

x < y ^{UN4( ·} (1/x)(1/y))

−→ x ¹ _x ¹ _y < y ¹ _x ¹ _y −→ _y ¹ < _x ¹ 5. Aus x < y und z < 0 folgt xz > yz.

(1) 0 < − z ^UN4 −→ − ^{· ( − z)} zx < − zy

UN3+xz+yz

−→ yz < xz

6. Aus 0 < x < y folgt 0 < √

x < √ y und umgekehrt.

UN2 0 < √ y; UN4

' x < √ y √

√ x

x √ y < y

−→ UN2 x < y

Eine Ungleichung kehrt sich also um bei

• Multiplikation mit einer negativen Zahl Beispiel: 3 < 4 → − 3 > − 4

• Ubergang zum Reziproken ¨ Beispiel: 3 < 4 → 1/3 > 1/4

1.4 Intervalle

Sei a, b ∈ mit a < b. Wir wollen folgende Intervalle definieren:

[a, b] := { x ∈ ; a ≤ x ≤ b } abgeschlossen ]a, b] := { x ∈ ; a < x ≤ b } halboffen [a, b[ := { x ∈ ; a ≤ x < b } halboffen ]a, b[ := { x ∈ ; a < x < b } offen

a b

a b a b

a b

Abbildung 1.6: Abgeschlosses, halboffenes und offenes Intervall

Weiterhin definieren wir die uneigentlichen Intervalle:

x > a : ]a, ∞ [ := { x ∈ , a < x } x ≤ b : ] −∞ , b] := { x ∈ , x ≤ b }

1.5 Betrag

Der (absolute) Betrag | x | einer reellen Zahl x entspricht ihrem Abstand vom Nullpunkt.

0 x

−x

Abbildung 1.7: Der Betrag von x und von − x ist | x | .

Definition 1.2 Der Betrag | x | von x ∈ ist definiert als

| x | :=

' x falls x ≥ 0

− x falls x < 0

| x | = √

x ² Satz 1.2 ∀ x, y ∈ gilt:

| − x | = | x | ≥ 0 x ≤ | x |

x ² = | x | ² = | x ² |

| xy | = | x || y | , ) ) ) ) x y ) ) ) ) = | x |

| y | y ̸ = 0

| x | ≤ y ⇐⇒ − y ≤ x ≤ y Dies folgt direkt aus der Definition.

Satz 1.3 Dreiecksungleichung

| x + y | ≤ | x | + | y | Beweis:

−| x | ≤ x ≤ | x |

−| y | ≤ y ≤ | y | → − ( | x | + | y | ) ≤ x + y ≤ | x | + | y |

“ = ^′′ gilt, wenn x, y das gleiche Vorzeichen haben.

“ < ^′′ gilt, wenn x, y das unterschiedliche Vorzeichen haben.

Satz 1.4 | x − y | ist der Abstand der zu x und y geh¨orenden Punkte auf der Zahlengeraden.

Beispiel 1.1 Welche Zahlen erf¨ullen | x − 3 | < 2?

1. x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3

x − 3 < 2 → x < 5 → x ∈ [3, 5[

2. x − 3 < 0 → x < 3

− x + 3 < 2 → − x < − 1 → x ∈ ]1, 3[

Zusammen ergibt sich

x ∈ ]1, 5[

1 3 5

Abbildung 1.8: x ∈ ]1, 3[ und x ∈ [3, 5[

Allgemein formuliert ergibt sich mit x, a, ε ∈ und ε > 0 die sog. Epsilonumgebung:

| x − a | ≤ ε ⇐⇒ a − ε ≤ x ≤ a + ε

1.6 Die vollst¨ andige Induktion

Die “vollst¨andige Induktion” dient zum Beweis von Behauptungen der Form “F¨ur alle n ∈ gilt die Aussage A(n)”.

Beispiel 1.2 Die arithmetische Reihe

1 + 2 + . . . + n = n(n + 1)

2 (1.1)

Prinzip:

1. Der Induktionsbeginn:

Man zeigt, dass A(n) f¨ur n = n ₀ gilt.

2. Schluss von n auf n + 1:

Man setzt dabei die G¨ultigkeit von A(n) f¨ur ein beliebiges n voraus (Induktionsvor- aussetzung) und leitet daraus A(n + 1) ab (Induktionsschritt).

Werden beide Schritte durchgef¨uhrt, so gilt A(n) ∀ n ≥ n 0 . Beweis der Gleichung (1.1)

1. (1.1) gilt f¨ur n = 1.

2. wenn (1.1) richtig f¨ur n, dann

1 + 2 + . . . + n + (n + 1) = n(n + 1)

2 + n + 1 = n(n + 1) + (n + 1)2 2

= (n + 1)(n + 2)

2 = Behauptung f¨ur ˆ n + 1

→ (1.1) ist richtig ∀ n ∈

Beispiel 1.3 Die geometrische Reihe F¨ur n ∈ , q ∈ \{ 1 } gilt

1 + q + q ² + . . . + q ⁿ = 1 − q ⁿ⁺¹

1 − q = S n (q) (1.2)

Gilt die Gleichung f¨ur n = 1?

1 + q = 1 − q ²

1 − q = (1 − q)(1 + q)

1 − q = 1 + q Gilt die Gleichung auch f¨ur n → n + 1?

S n+1 (q) = 1 − q ⁿ⁺¹

1 − q + q ⁿ⁺¹ = 1 − q ⁿ⁺¹ + q ⁿ⁺¹ (1 − q)

1 − q = 1 − q ⁿ⁺² 1 − q

1.7 Die Rekursion

Eine Gr¨oße A n kann f¨ur alle n ∈ dadurch definiert werden, dass man 1. A 0 festlegt

2. A n als bekannt ansieht und damit A n+1 definiert.

Beispiel 1.4 Potenzen a ⁿ f¨ur a ∈ , n ∈ werden definiert durch

a ⁰ := 1 , a ⁿ⁺¹ := a ⁿ · a

Beispiel 1.5 Die Fakult¨at

Zu n ∈ wird n! (lies: n Fakult¨at) definiert durch

0! := 1 , (n + 1)! := n!(n + 1) Demnach gilt:

n! =

' 1 n = 0

1 · 2 · 3 · · · (n − 1)n n ≥ 1 Also: 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 bzw. 9! = 362 880.

Beispiel 1.6 Das Summen- und Produktzeichen

Mit n ∈ , a _j ∈ k¨onnen Summen und Produkte geschrieben werden a 1 + a 2 + . . . + a n =

* n

j=1

a j

a 1 · a 2 · . . . · a n = + n

j=1

a j

Die rekursive Definition des Summenzeichens ist

* 1

j=1

a j := a 1

* n+1

j=1

a _j :=

* n

j=1

a _j + a _n+1 Damit erhalten wir f¨ur die Gleichungen (1.1) und (1.2):

arithmetische Reihe , n

j=1 j = ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾ ₂ geometrische Reihe , n

j=0 q ^j = ^{1 −} ₁ ^q ₋

_q Rechenregeln:

* n

k=m

a k =

* n

i=m

a i

* n

i=m

c(a i + b i ) = c

* n

i=m

a i + c

* n

i=m

b i

* n

k=m

a k =

* l

k=m

a k +

* n

k=l+1

a k (m ≤ l ≤ n)

Es gilt die Absch¨atzung ) ) ) ) )

* n

k=0

a k

) ) ) ) ) ≤

* n

k=0

| a k |

(Beweis mit Dreiecksungleichung und vollst¨andiger Induktion)

1.8 Binominalkoeffizient

Definition 1.3 F¨ur n, k ∈ mit k ≤ n lautet der Binominalkoeffizient - n

k .

:= n!

k!(n − k)!

Beispiel:

n = 3 und k = 0, 1, 2, 3 - 3

0 .

= 3!

0! 3! = 1, - 3

1 .

= 3!

1! 2! = 3, - 3

2 .

= 3!

2! 1! = 3, - 3

3 .

= 3!

3! 0! = 1 - n

0 .

= 1 = - n

n .

Satz 1.5 Rekursionsformel:

- n + 1 k

.

=

- n k − 1

. +

- n k

.

(1.3) Beweis:

- n k − 1

. +

- n k

.

= n!

(k − 1)! (n − k + 1)! + n!

k! (n − k)!

= n!

k! (n − k + 1)!

⎛

⎜ ⎜

⎝ k!

(k − 1)!

! "# $

k

+ (n + 1 − k)!

(n − k)!

! "# $

n+1 − k

⎞

⎟ ⎟

⎠

= n! (n + 1) k! (n + 1 − k)! =

- n + 1 k

.

Mit der Rekursionsformel ist es leicht, die ersten Binominalkoeffizienten anzugeben n/k 0 1 2 3 4

0 1

1 1 1

2 1 2 1

3 1 3 3 1

4 1 4 6 4 1

wobei man das sog. Pascalsches Dreieck erh¨alt:

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

Satz 1.6 Die Binomische Formel F¨ur a, b ∈ , n ∈ gilt

(a + b) ⁿ =

* n

k=0

- n k

.

a ^{n − k} b ^k

= a ⁿ + - n

1 .

a ^{n − 1} b ¹ + · · · + - n

n − 1 .

a ¹ b ^{n − 1} + b ⁿ Beispiele:

n = 2 : (a + b) ² = a ² + 2ab + b ²

n = 4 : (a + b) ⁴ = a ⁴ + 4a ³ b + 6a ² b ² + 4ab ³ + b ⁴ Beweis:

n = 1:

(a + b) ¹ = - 1

0 .

a ¹ b ⁰ + - 1

1 .

a ⁰ b ¹ = a + b n → n + 1:

(a + b) ⁿ (a + b)

=

'- n 0

.

a ⁿ b ⁰ + - n

1 .

a ^{n − 1} b + · · · + - n

n − 1 .

ab ^{n − 1} + - n

n .

a ⁰ b ⁿ 5

(a + b)

= - n

0 .

a ⁿ⁺¹ + - n

1 .

a ⁿ b + · · · + - n

n − 1 .

a ² b ^{n − 1} + - n

n .

ab ⁿ

+ - n

0 .

a ⁿ b + · · · + - n

n − 2 .

a ² b ^{n − 1} + - n

n − 1 .

ab ⁿ + - n

n .

b ⁿ⁺¹

= a ⁿ⁺¹ +

- n + 1 1

.

a ⁿ b + · · · +

- n + 1 n − 1

.

a ² b ^{n − 1} +

- n + 1 n

.

ab ⁿ + b ⁿ⁺¹

= (a + b) ⁿ⁺¹

wobei im letzten Schritt die Rekursionsformel (1.3) benutzt wurde.

Kombinatorik

Die Fakult¨at n! und die binomischen Koeffizienten - n

k .

sind auch wichtig in der Kom-

binatorik. Sie bestimmt die Anzahl der Anordnungen, die eine Reihe von Objekten unter

gegebenen Umst¨anden einnehmen kann.

Bsp. Objekte Aufgabe W¨urfeln Augenzahl 1 − 6 n-mal die ”1“

Lotto Kugeln 6 aus 49

Chemie Molek¨ule Anzahl m¨oglicher Isomere

Beispiel 1.7 Zu jeder Menge mit n Elementen A = { a 1 , . . . , a n } gibt es genau n! ver- schiedene Permutationen, d.h. Zuordnungen (a 1 , a 2 , . . . , a n ), (a 3 , a 2 , a 4 , . . . , a n ), usw.

Um aus n Kugeln eine bestimmte zu ziehen, gibt es n M¨oglichkeiten, die Wahrscheinlich- keit ist dann 1/n. Zieht man danach noch eine weitere, so gibt es n − 1 M¨oglichkeiten, die Wahrscheinlichkeit betr¨agt jetzt 1/(n − 1):

Anzahl gezogener Kugeln 1 2 · · · n M¨oglichkeiten n n − 1 · · · 1

Beispiel 1.8 Im Lotto ”6 aus 49“ gibt es - 49

6 .

= 49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44

1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 13983816

verschiedene M¨oglichkeiten 6 Richtige zu ziehen (aus n = 49 verschiedenen Objekten m = 6 Elemente ohne Ber¨ucksichtigung der Reihenfolge, ohne Wiederholung), d.h. die Wahrscheinlichkeit daf¨ur ist 1/13983816 ≈ 7 · 10 ^{− 8} .

1.9 Die komplexen Zahlen

Betrachten wir als Ausgangspunkt die quadratische Gleichung

x ² + px + q = 0 (1.4)

Die L¨osungen sind gegeben durch

x _1/2 = − p 2 ±

6 p ²

4 − q (1.5)

Hierbei heißt

D := p ² 4 − q die Diskriminante.

Da in nur Wurzeln aus positiven Zahlen definiert sind, muss gelten D ≥ 0. D.h. f¨ur den

Fall D < 0 hat Gl. (1.5) keine L¨osung. Um diese Einschr¨ankung zu beheben wird ein neuer Zahlenraum eingef¨uhrt. Die neuen Zahlen heißen komplexe Zahlen. Ihr Mengensymbol lautet .

Eine komplexe Zahl z ist definiert durch:

z = x + iy Hierbei heißt i die imagin¨are Einheit. Es gilt

i = √

− 1 → i ² = − 1 (1.6)

x nennen wir den Realteil von z: x = Re(z).

y ist der Imagin¨arteil von z: y = Im(z).

Damit ergibt sich f¨ur :

= { (x, y); x ∈ und y ∈ }

Die Menge der reellen Zahlen ist eine Teilmenge von , n¨amlich die Menge aller komplexen Zahlen z, f¨ur die gilt:

Im(z) = 0

Betrachten wir nun wieder die quadratische Gleichung (1.4) und nehmen an, dass D = p ²

4 − q < 0 → q − p ² 4 > 0 Dann gilt

x 1/2 = − p 2 ±

7

− -

q − p ² 4

.

= − p 2 ± √

− 1 6

q − p ² 4

= − p 2 ± i ·

6 q − p ²

4

Die L¨osungen der quadratischen Gleichung mit D < 0 sind also zwei komplexe Zahlen, die sich im Vorzeichen des Imagin¨arteils unterscheiden. Solche Zahlenpaare nennen wir komplex konjugiert zueinander.

Die zu z = x + iy komplex konjugierte Zahl is also

z ^∗ = x − iy

Die komplexe Zahlenebene

Da komplexe Zahlen durch zwei reelle Zahlen (x, y) bestimmt sind, k¨onnen sie in einer Ebene dargestellt werden (siehe Abb. 1.9). Aus dieser Art der Darstellung ergibt sich f¨ur uns eine zweite M¨oglichkeit komplexe Zahlen zu beschreiben. Dabei handelt es sich um die Vektornotation:

z = (x, y ) x := Komponente in Richtung der reellen Achse.

y := Komponente in Richtung der imagin¨aren Achse.

(1, 0) heißt in dieser Darstellung reelle Einheit.

(0, 1) heißt imagin¨are Einheit.

1 2 1

2 Im(z)

Re(z) reelle Achse imaginäre Achse

Abbildung 1.9: Die komplexe Zahlenebene

Rechnen mit komplexen Zahlen

Das Rechnen mit komplexen Zahlen funktioniert genauso wie mit reellen Zahlen.

Es sind lediglich zwei Regeln zu beachten:

1. i ² = − 1

2. Das Ergebnis muss wieder auf die Form Re (. . .) + i · Im (. . .) gebracht werden.

Dies sei im Folgenden f¨ur die Grundrechnungsarten demonstriert.

Seien z = x + iy und w = u + iv zwei komplexe Zahlen mit x, y, u, v ∈ . Addition und Subtraktion:

z + w = (x + iy ) + (u + iv)

= x + iy + u + iv

= x + u + i(y + v) z − w = (x + iy ) − (u + iv)

= x + iy − u − iv

= x − u + i(y − v) Multiplikation:

z · w = (x + iy) · (u + iv )

= xu + ixv + iyu + i ² yv

= xu − yv + i(xv + yu) Insbesondere gilt

z · z ^∗ = (x + iy) · (x − iy )

= x ² − ixy + ixy − i ² y ²

z · z ^∗ = x ² + y ² (1.7)

Division:

z

w erweiert mit w ^∗ ergibt z · w ^∗

w · w ^∗ = (x + iy )(u − iv) (u + iv )(u − iv)

= 1

u ² + v ² (xu − ixv + iyu − i ² yv)

= 1

u ² + v ² (xu + yv + i(yu − xv))

= xu + yv

u ² + v ² + i yu − xv

u ² + v ²

Der Betrag einer komplexen Zahl

Als Betrag | z | einer komplexen Zahl definiert man die L¨ange des “Pfeils” in der komplexen Ebene.

Re z

Im

Re(z)

Im(z)

Abbildung 1.10: z in der komplexen Ebene Mit dem Satz von Pythagoras folgt unmittelbar

| z | = 8

Re ² (z) + Im ² (z) = 9

x ² + y ² Mit (1.7) kann der Betrag auch geschrieben werden als

| z | = √ z · z ^∗ bzw. als

| z | ² = z · z ^∗ = x ² + y ² (1.8) Geometrisch ist | z | der Abstand von z = (x, y) vom Nullpunkt (0, 0).

Allgemein ist | z − w | der Abstand zwischen z und w.

Eigenschaften der Konjugation und des Betrages Es gelte z, w ∈ , z = x + iy , w = u + iv , mit x, y, u, v ∈ . Dann weisen Konjugation und Betrag folgende Eigenschaften auf:

1. z = z ^∗ gilt genau dann, wenn Im(z) = 0 2. z + z ^∗ = (x + iy) + (x − iy) = 2x = 2Re(z) 3. z − z ^∗ = (x + iy ) − (x − iy) = 2iy = 2i · Im(z) 4. (z ^∗ ) ^∗ = (x − iy) ^∗ = x + iy = z

5.

(z + w) ^∗ = [(x + iy ) + (u + iv)] ^∗ = [(x + u) + i(y + v)] ^∗

= (x + u) − i(y + v)

= (x − iy) + (u − iv) = z ^∗ + w ^∗

6.

(z · w) ^∗ = [(x + iy )(u + iv)] ^∗ = [xu − yv + i(xv + yu)] ∗

= xu − yv − i(xv + yu) = (x − iy)(u − iv) = z ^∗ w ^∗ 7.

| z · w | = | (x + iy )(u + iv) | = | xu − yv + i(xv + yu) |

= 9

(xu + yv) ² + (xv + yu) ²

= 9

x ² u ² + y ² v ² − 2xuyv + x ² v ² + y ² u ² + 2xuyv

= 9

x ² (u ² + v ² ) + y ² (u ² + v ² )

= 9

(x ² + y ² )(u ² + v ² ) = 9

x ² + y ² √

u ² + v ²

| z · w | = | z | | w | 8. Dreieckungleichung

| z + w | ≤ | z | + | w |