II.1 Luftdruck und Luftdichte II.2 Windgeschwindigkeit II.3 Temperatur

Einführung

in die Meteorologie

- Teil II: Meteorologische Elemente -

Clemens Simmer Meteorologisches Institut

Rheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn Sommersemester 2006

Wintersemester 2006/2007

II Meteorologische Elemente

II.1 Luftdruck und Luftdichte II.2 Windgeschwindigkeit II.3 Temperatur

II.4 Feuchte

II.5 Strahlung

II.3 Temperatur

1. Thermodynamische Systeme

• thermodynamische Systeme

• 0-ter Hauptsatz der Thermodynamik

• Zustandsgrößen, Arbeit

2. 1. und 2. Hauptsatz der Thermodynamik

• Carnot-Kreislauf

3. Potentiale und spezifische Wärme 4. Messskalen

5. Vertikalbewegungen

• Potentielle Temperatur

6. Fluss fühlbarer Wärme

7. Temperaturmessung

II.3.1 Thermodynamische Systeme

Thermodynamische Zustandsgrößen beschreiben ein thermodynamisches System z.B. p, T, V, n, innere Energie, …i.a. nicht unabhängig (siehe Gasgleichung)

Gleichgewichtszustand

p(t)=const, T(t)=const, …alle Zustandsgrößen sind zeitlich konstant Teilgleichgewichtszustand

z.B. T(t)=const thermisches Gleichgewicht

Bei einem Luftvolumen interessiert uns meteorologisch nicht das einzelne Molekül und dessen Position und Bewegungszustand. Wir interessieren uns nur für deren relevante statistische Eigenschaften und die gegenseitigen Abhängigkeiten dieser statistischen Eigenschaften.

Dies ist der Ansatz der statistischen Physik: Hier betrachten wird das Luftvolumen als ein sogenanntes thermodynamisches System.

Was ist Temperatur?

• Thermodynamik – Makro-Sicht, Masse+Volumen

– Temperatur ist eine Zustandsgröße der Luft

• die den Wärmeenergieinhalt (innere Energie) beschreibt,

• die wichtig ist für die Richtung des Wärmetransports

• Statistische Physik – Mikro-Sicht, Moleküle

– Temperatur ist proportional zur mittleren kinetischen Energie der Moleküle (~v²)

– Zeigt die Grenzen der Thermodynamik auf (Temperatur

verliert ihren Sinn, wenn einzelne Moleküle betrachtet

werden

0-ter Hauptsatz der Thermodynamik

Die Temperatur kennzeichnet den Wärmezustand eines thermodynamischen Systems. Sind zwei Systeme

miteinander in Kontakt, so ändert sich ihre Temperatur nur dann nicht, wenn diese gleich sind.

Temperatur ist eine Zustandsgröße eines thermodynamischen Systems

Im thermodynamischen

Gleichgewicht ändert sich die Temperatur nicht

Zustandsgrößen (a)

Es sei der thermodynamische Zustand durch k Zustandsgrößen eindeutig

bestimmt. Eine weitere Größe T ist dann ebenfalls eine Zustandsgröße, wenn gilt:

=

=

∆ 0

Weg nem geschlosseentlang

dT T

d.h. wenn bei einem beliebigen geschlossenen Weg des Systems im durch die k Zustandsgrößen aufgespannten Zustandsraum T wieder den gleichen Wert annimmt, oder wenn T eindeutig über die k

Zustandsgrößen definiert ist.

p

V T(p,V)

Beispiel ideales Gas (k=2):

T = T(p,V) = pV/(nR*)

Zustandsgrößen (b)

Alternativ ist die Feststellung, dass T

genau dann eine Zustandsgröße ist, wenn sie sich als totales Differenzial von

Zustandsgrößen darstellen lässt, die ein thermodynamisches System vollständig beschreiben.

Beispiel: T = f(p,V)

T d s

dV dp V

T p T V dV

dp T p dT T

⋅

∇

=

⋅

∂

∂ ∂

∂

∂ = + ∂

∂

= ∂

d s p

V

dV dp

Achtung: Hier bezeichnen wir mit d nicht die Änderung eines mit dem Wind bewegten Volumens – eine

Inkonsistenz im Bezeichnungssystem in der Meteorologie, leider. Auch der Nabla-Operator ist hier anders zu verstehen. Die Raumkoordinaten des Partikels sind ausgetauscht durch andere – allgemeinere – Koordinaten, die den Zustand eines Systems

beschreiben.

(Ausdehnungs)Arbeit eines Gases

Dehnt sich ein Luftvolumen aus und verschiebt dabei

angrenzende Luftvolumina gegen den dort herrschenden Druck, so leistet die Luft Arbeit an der Umgebung.

V

p V =

V + V

(Kraft/Fläche) x Volumen = Kraft x Weg = A (Arbeit)

Infinitesimal, d.h. sehr kleine Volumenänderungen ( V 0): A A=pdV Achtung: Wir benutzen A anstatt dA, weil „d“ vollständigen Differentialen, d.h. Zustandsgrößen wie der Temperatur vorbehalten ist

Übung zu II.3.1

?

1

4 4

3 3

2 2

1

=

+ +

+

=

= A

pdV pdV

pdV pdV

pdV A

δ δ

, 0

ss"

Kreisproze

"

diesem

in Arbeit Gas

das leistet also

0 ) (

)

( _{2 1 1 2 1}

2

≠

>

−

−

−

=

A

V V

p V

V p A

δ δ

2

V

V

V p

p

p

3 1

4

1. Vollziehe mit unterem Diagramm das geschlossene Linienintegral der Ausdehnungsarbeit eines Gases nach:

2. Schreibe mit Hilfe der Gasgleichung den Druck als vollständiges Differential von T und ; also dp=xdT+yd (bestimme x und y).

• Ausdehnungsarbeit und Temperatur

• 1. Hauptsatz der Thermodynamik

• adiabatische Zustandsänderungen

• Carnot-Kreisprozess

– Entropie

– 2. Hauptsatz der Thermodynamik

II.3.2 Erster und zweiter Hauptsatz

der Thermodynamik

Quelle der Ausdehnungsarbeit und Auswirkung auf die Temperatur

Bei fester Wand ändern auftreffende Luftmoleküle nur ihre Richtung; ihre kinetische Energie bleibt konstant und damit auch die Temperatur im Volumen.

Bewegt sich die Wand z.B. durch den Druck der Luftmoleküle nach rechts, so haben die reflektierten Luftmoleküle eine

geringere kinetische Energie; da die Temperatur proportional zur mittleren kinetischen Energie eines Luftmoleküls ist

nimmt die Temperatur im Volumen ab.

Ausdehnung eines Gases gegen einen äußeren Druck führt zur Abnahme der Temperatur des Gases .

Die Temperatur hängt mit der inneren Energie des Gases zusammen. Es gibt also eine Umwandlung zwischen innerer Energie und Ausdehnungsarbeit ( Erster Hauptsatz der Wärmelehre)

1. Hauptsatz der Thermodynamik

A a

pdV Q

T dU pd

q T

du

δ δ

δ α

δ − = −

= oder ( )

) (

1. Führt man einem idealen Gas die Wärmemenge Q zu, so kann das Gas diese in (Ausdehnungs-)Arbeit A und innere Energie U umwandeln: Q = A + U

2. Die Ausdehnungsarbeit eines idealen Gases ist gegeben durch A=p V

3. Die innere Energie eines idealen Gases ist nur von der Temperatur abhängig U=U(T)

4. Wir führen spezifische Größen ein, also Q q=Q/m, A a=A/m, U u=U/m mit m Masse

Bezeichnungen

• Eine Zustandsänderung eines

thermodynamischen Systems wird als adiabatisch bezeichnet, wenn keine

Wärmezu- oder –abfuhr erfolgt, also Q=0 oder q=0 .

• Erfolgt die Zustandsänderung ohne diese Einschränkung, so spricht man von

diabatischen Zustandsänderungen.

Beispiel Carnot-Kreislauf (a)

pdV Q

T

dU ( ) = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(kein Wärmeübergänge)

1

* 2 1

2

*

2

1

* 2

1 2

1

* 12

* r Wärmezufuh0 0

ln )

ln (ln

ln

abhängt) nur von

(da 0 )

(

(warm) Expansion

isotherme

2 1

*

V T V

nR V

V T

nR

V d

T V nR

T dV nR Q

Q

V dV T pdV nR

Q

pdV Q

T U

T dU

w w

w w

w T

nR PV

Q

=

−

=

=

=

∆

=

=

=

−

=

≡

→

=

> >

δ δ

δ

δ

Beispiel Carnot-Kreislauf (b)

pdV Q

T

dU ( ) = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(kein Wärmeübergänge)

U pdV

pdV T

dU Q

V

dU

Energie inneren

der Kosten

auf

Systems des

stung Arbeitslei

)

(

System) ssenes

(abgeschlo

0

) (großes Expansion

he adiabatisc

3 2

abnahme Temperatur0 0

> <

−

=

≡

→ δ

w f k f

ng Gasgleichu

V T V

T V

f d T

V d dV T

dT f

V T dV nR pdV

dT fnR

dT fnR dU

T fnR T

U

f n

2 2 2

3

*

* 21

* 21

* 21

2 ln

ln , 2

, )

(

Moleküls eine

rade Freiheitsg

Gases des

Mole

genauer) (später

z eilungssat Gleichvert

:

=

→

−

=

−

=

→

−

=

−

=

→

=

=

→

Einschub

Beispiel Carnot-Kreislauf (c)

pdV Q

T

dU ( ) = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(kein Wärmeübergänge)

3

* 4

4

3

* 4

3 4

3

* 34

r Wärmeabfuh0 0

ln

ln

abhängt) nur von

(da 0 )

(

(kalt) n

Kompressio isotherme

4 3

V T V

nR

V d

T V nR

T dV nR Q

Q

V dV pdV nRT

Q

pdV Q

T U

T dU

k

k k

w nRT

PV

Q

=

=

=

∆

=

=

=

−

=

≡

→

=

> <

δ δ

δ

δ

Beispiel Carnot-Kreislauf (d)

pdV Q

T

dU ( ) = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(keine Wärmeübergänge)

4 3 1

2

2 2 2

3 2

1 2

4

zunahme Temperatur0 0

folgt

mit zusammen

Energie innere

erhöht

System am

stung Arbeitslei

)

(

System) ssenes

(abgeschlo

0

) (kleines n

Kompressio he

adiabatisc

1 4

V V V

V

V T V

T V

T V

T

U pdV

pdV T

dU Q

V

w f k f

w f k f

dU

=

=

=

−

−

=

≡

→

< >

δ

Carnot-Kreislauf

pdV Q

T

dU ( ) = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(keine Wärmeübergänge)

leistet Arbeit

es womit

zugeführt, Wärme

insgesamt wird

System dem

d.h.

0

ariable Zustandsv

da 0 )

(

Übung alszeigen 34zu

12 0 0

>

∆ +

∆

=

=

≡

≠

≠

Q Q

Q

A Q

U T

dU

δ

δ δ

:

1

Folgerung

Carnot-Kreislauf

pdV Q

T

dU ( ) = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(keine Wärmeübergänge)

je größer die Temperatur differenz größer

umso

, 1

ln 1 1 ln

1

Wärme gesteckte

hinein

Arbeit geleistete

ne raftmaschi der Wärmek

ad Wirkungsgr

4 3

1 2

12 34 12

34 12

<

−

=

−

=

∆

− ∆

∆ =

∆ +

= ∆

=

w k w

k

T T V V

nRT

V V nRT

Q Q Q

Q Q

η

:

2

Folgerung

Carnot-Kreislauf

pdV Q

T

dU ( ) = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(keine Wärmeübergänge)

zu.

nimmt oder

konstant Entropie

die bleibt

) 0 (

System senen

abgeschlos einem

In also

0

: gilt Es

cht).

Gleichgewi

s thermische :

(Annahme ung

Idealisier

eine ist Kreislauf -

Carnot der

: Anmerkung

röße Zustandsg

eine ist

: Entropie Definition

0

aber , 0 Q

Entropie der

Definition

Übung el irreversib reversibel

Carnot

34 12

34 12

=

≥

<

>

=

∆ ≡

∆ +

=

≠

∆ +

∆

=

Q T

dS Q

T Q S

T S Q

T Q T

Q T

Q

Q Q

irrev real

k w

δ

η δ η

δ δ

δ

: 3 Folgerung

Carnot-Kreislauf

pdV Q

T

dU ( ) = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(keine Wärmeübergänge) ^du

(

)

α

: 1.HS

des ng Formulieru Neue

abgeführt.

wieder ng)

Ausstrahlu

durch (oben,

Druck niedrigem

unter

eflüsse), durch Wärm

Boden (am

zugeführt Wärme

Druck wird hohem

Unter :

tmaschine Wärmekraf

eine

rt wie funktionie

Atmosphäre Die

werden.

umgesetzt Arbeit

in ständig nicht voll

kann Wärme

: ik Themodynam der

Hauptsatz 2.

: 6 Folgerung

: 5 Folgerung

: 4 Folgerung

Übungen zu II.3.2

1. Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf (Folgerung 1) insgesamt Wärme zugefügt wird.

2. Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf das Linienintegral über Q/T bei irreversiblen Prozessen nicht verschwindet (Folgerung 3)

3. Versuche eine qualitative nur schematische Darstellung einer idealisierten Hadley-Zirkulation im p-V-Diagramm. Dabei fließt Luft am Boden von den Hochdruckgebieten der Subtropen zu der tropischen Tiefdruckrinne und erwärmt sich dabei durch Wärmeaufnahme vom Untergrund leicht. Dort steigt sie

adiabatisch auf und fließt dann zurück unter leichter

Druckabnahme und Temperaturabnahme (durch Abstrahlung in das Weltall) zu den Subtropen, wo sie wieder adiabatisch zum Boden sinkt.

II.3.3 Thermodynamische Potentiale und spezifische Wärme

Relationen mische

thermodyna sogenannte

2.

Ableit.

part.

Definition bzw.

Diff.

ges vollständi du

da

,

1.

: werden abgeleitet

n Beziehunge folgende

können

also

Mit

s 2

2

s

s p T

s u s

u

u p u

s u s

T u

) u(s, u

pd Tds

du

∂

−∂

∂ =

→ ∂

∂

∂

≡ ∂

∂

∂

∂

∂

≡ ∂

∂

= ∂

∂ −

≡ ∂

∂

= ∂

=

−

=

• Bislang hatten wir den Zustand eines thermodynamischen Systems immer im p- V-Diagramm dargestellt (siehe Carnot-Kreisprozess).

• Im p-V- Diagramm können wir über die ideale Gasgleichung die Temperatur T eines idealen Gases eindeutig darstellen (Isothermen im p-V-Diagramm).

• Der 1. Hauptsatz als totales Differential du=Tds-pd gibt uns eine andere

Möglichkeit der 2-dimensionalen Zustandsdarstellung eines thermodynamischen Systems, nämlich die innere Energie im s- -Raum.

• Eine energetische Zustandsdarstellung (u hat die Einheit einer spezifischen Energie, J/kg) wird bevorzugt, weil dann der Satz der Energieerhaltung

unmittelbar anwendbar ist (z.B. Änderungen müssen durch Zu-/Abfuhr anderer Energien bewirkt werden.

• Energetische Zustandsvariable werden auch als thermodynamische Potentiale bezeichnet.

Weitere thermodynamische Potentiale

) , (

) ( )

(

Ts - u f der

Definition durch

durch

Ersetze

α α

α T

f f sdT

pd

sdT Tds

pd Tds

Ts d du Ts

u d df

T s

=

→

−

−

=

−

−

−

=

−

=

−

=

→

Energie = freien

dp sdT

dg p

Ts u

p T g

pd sdT

df Ts

u T

f

dp Tds

dh p

u p

s h

pd Tds

du s

u

g(T,p) p

T s

p

α α

α α

α α

α α

α

α

+

−

= +

−

=

−

−

=

−

=

+

= +

=

−

=

→

∧

→

→

)

, ( :

)

, ( :

)

, ( :

) , ( :

: insgesamt also

, Enthalpie

freie

Enthalpie für

wir erhalten Analog

Enthalpie Freie

Energie Freie

Enthalpie

Energie Innere

und

p) h(s,

Die innere Energie ist offensichtlich eine adäquate Beschreibung eines

thermodynamischen Systems, wenn man seinen Zustand in Abhängigkeit von der Entropie s und seinem spezifisches Volumen betrachtet.

Oft sind andere Darstellungen zweckmäßig, z.B. im T- -Raum; dies erhält man durch Anwendung der sog. Legendre-Transformation.

Damit haben wir drei weiter thermodynamische Potentiale, die zur Behandlung thermodynamischer Probleme verwendet werden können.

Wenn wir z.B. den Sättigungsdampfdruck des Wasserdampfes, der nur von der Temperatur abhängt behandeln (e*=e*(T)), werden wir die freie Enthapie

verwenden.

Spezifische Wärmen c

Wärmeenergiezufuhr pro Massen- und Temperatureinheit, [c]=J/(kg K)

i.a. vom Weg, z.B. bei Gasen von Annahmen über p und abhängig

) (

und

da

Volumen konstantem

bei Wärme e

spezifisch

T u u

Tds-pd dT du

du dT

du dT

Tds dT

c q

c

v

v

=

=

≡

=

=

≡

α α

α

δ

) (

und

da

Druck konstantem

bei Wärme e

spezifisch

T h h

dp Tds

dT dh dh dT

dh dT

Tds dT

c q

c

p p

p p

p

= +

=

≡

=

=

≡ δ

=

=

=

=

=

=

T c h

T c u

T h

T u

p v

0 )

0 (

0 )

0

(

T bleibt konstant

Vakuum

Beziehung zwischen c

und c

R c

c dp

dT c

dp Tds

dh dp

dh

dp dT

R c

dp RdT

dT c

dp p

d dT

c

pd du

Tds

v p

p v v v

=

−

−

=

+

=

−

≡

− +

=

− +

=

− +

=

+

=

H.S.

1.

wegen )

(

ng Gasgleichu mittels

)

(

α α

α α

α α

α

J/(kgK)

J/(kgK)

J/(kgK)

287 717 1004

=

=

=

L v

p

R c c

: Luft

Seite) e

übernächst (Nachweis

rade Freiheitsg

der Anzahl

, f

f c

c

v

p

1 4

5 1 2

1 + 2 = + =

=

Freiheitsgrade

= unabhängige Bewegungsmöglichkeiten eines

Teilchens, mit denen es innere Energie speichern kann

Jedes Molekül besitzt drei Translationsfreiheitsgrade entsprechend den drei Raumrichtungen, in die es sich bewegen kann.

Zweiatomige Moleküle besitzen zusätzlich zwei Rotationsfreiheitsgrade

mit Achsen senkrecht zur Verbindungsachse

Dreiatomige nichtlineare Moleküle besitzen drei Rotationsfreiheitsgrade Hinzu kommen Vibrationsfreiheitsgrade; einer

beim zweiatomigen Molekül, drei bei einem dreiatomigen Molekül. Diese sind aber bei den Atmosphärentemperaturen wenig „aktiviert“.

Da Luft i. W. aus 2-atomigen Molekülen besteht hat sie 5 Freiheitsgrade.

Beweis von ^c _{c f}

v

p

2

1 +

=

Konstante -

Boltzmann

10 3806

1 mit

2 E 1

Moleküls eines

Energie die

beträgt rad

Freiheitsg Pro

23

J/K ,

k T

k

= ×

=

: z eilungssat Gleichvert

1 2 1 2

, 2

Molmasse mit

/

, 2

/ , 2

Zahl che

Loschmidts L

mit

/ , 2

2 folgt Dann

*

*

*

*

*

*

c f f c

R M

R M c

M c f R

du dT c

M kg

J M dT

f R du

de

Mol J

dT f R

dE

Molekül J

L T f R

T f k

E

v p v

p v

mol

B

−

= +

=

+

=

=

=

=

=

=

=

=

Übungen zu II.3.3

1. Leite die Formulierungen des 1. Hauptsatzes für Enthalpie und freie Enthalpie ab.

2. Bestimme c

und c

für Luft unter der Annahme,

dass diese nur aus Wasserdampf besteht.

II.3.4 Definition der Temperatur und ihrer Maßskalen

• 0-ter Hauptsatz

• Gasthermometer (über Gasgleichung)

• Gaskinetische Deutung

• 2. Hauptsatz der Thermodynamik

• Empirische Temperaturskalen (Celsius, Kelvin etc.)

0-ter Hauptsatz

Temperatur ist eine Zustandsgröße.

Im thermischen Gleichgewicht haben alle Körper die gleiche + Temperatur.

Damit kann die Temperaturmessung erfolgen, in dem man einen Probekörper, dessen Temperatur man irgendwie messen kann, in den zu messenden Körper, z.B. die Luft, einbringen und so lange wartet, bis sich die Temperatur nicht mehr ändert.

T_K

T_P

Prinzip des Gasthermometers

p p T

T T p

nR

T p nR V

T V nR pV

T ,V p p,V,T

0 0 0

* 0

*

, 0 undmit n const Zustände

2

*

: ng Gasgleichu

0 0 0

=

=

=

=

=

→

=

=

0 0

i)

V T V T

const p

p

=

→

=

=

0 0

ii)

p T p

T

const V

V

T=T₀ T₀ T₀+ T

Rechten Schenkel senken bis beide

Flüssigkeitsspiegel auf gleicher Ebene sind.

Dann ist Innendruck gleich dem äußerem Luftdruck. Dann kann die Volumenänderung (V) bestimmt werden und damit T.

Rechten Schenkel heben bis linker

Flüssigkeitsspiegel

wieder auf ursprünglicher Höhe ist. Dann ist V=V₀. Dann kann die

Druckänderung (p) über die Höhe der Säule bestimmt werden und damit T.

Gaskinetische Deutung der Temperatur

0 0

, Moleküle

der Energie

kinetische mittlere

2 3 2

2

=

→

=

=

=

v T

T k m v

E

2. Hauptsatz – Carnot-Kreisprozess

e.

Wärmeflüss

der Bestimmung durch

Temperatur der

Messung e

unabhängig -

Stoff

ss Kreisproze m

reversible beim

2 1 2

1 2

2 1

1

T T q

q T

q T

q =

∆

∆

= ∆

∆

Empirische Temperaturskalen

[ ] [ ] [ ] ( [ ] )

R C

R C

F C

C F

C ,

- F

K ,

C

°

=

°

°

=

°

−

−

°

=

° +

°

=

°

°

=

°

°

=

°

−

=

°

80 100

, 0

0 : Skala Reaumur

9 32 C 5

, 5 32

F 9

Menschen) des

peratur (Körpertem

37 100

, 78 17 0

: Skala Fahrenheit

15 273 0

: Skala -

Celsius

Übungen zu II.3.4

• Um wieviel % seines Volumens dehnt sich ein Luftvolumen aus, wenn es

isobar von 0°C auf 27°C erwärmt wird?

• Wie schnell ist im Mittel ein

Sauerstoffmolekül, wenn die

Lufttemperatur 20°C beträgt?

II.3.5 Temperaturänderung der Luft bei Vertikalbewegungen

• Adiabatische Form des 1. HS der Thermodynamik

• Poisson-Gleichung

• Potentielle Temperatur

• Temperaturprofil in der turbulenten Grenzschicht

• Adiabatischer Temperaturgradient

• Energiebetrachtung beim Aufsteigen

• Potentielle Temperatur und Entropie

Problemstellung

Wir betrachten die Temperaturänderung eines Luftvolumens, das wir in der Atmosphäre (Umgebung_u) nach oben oder unten verschieben.

Annahmen:

1. „trocken“: keine Kondensation von Wasserdampf

2. adiabatisch: keine Wärmeleitung, Strahlungserwärmung oder Strahlungsabkühlung, oder Diffusion, also q=0

3. Instantaner Druckausgleich mit der Umgebung, p=p_u

gsarbeit Ausdehnun

und

Energie Innerer

zwischen ich

Ausgle

: Prozesse he

adiabatisc für

HS 1.

)

(

du T = −pd

α

4. Beim Aufsteigen nimmt nach der statischen Grundgleichung dp_u=- _ugdz der Druck in der Umgebung (und im Luftvolumen p) ab.

5. Nimmt dabei die Dichte ab (und damit zu), so leistet das Gas Ausdehnungsarbeit auf Kosten der inneren Energie u: diese (und mit u=c_vT auch die Temperatur T) nehmen ab.

T_u(z) aktuelles Temperaturprofil

= ? dz dT

T T

T T T

∆ +

∆

−

T

z

zunächst: Temperaturänderung mit dem Druck - Poisson-Gleichung -

(

)

ln ln

n Integratio mit

ln

ln

,

trennung Variablen

mit

und mit

1 2 1

1 2 2

1 2

0

p p c

R T

p T c p

T R T

p d R T d p c

R dp T

c dT

p dp T dp R

dT c

T p dT R

c dh dp

dh q

p L p

L

L p

L p

p L

p L h

adiabatisc

=

−

=

−

=

=

=

=

=

=

≡

−

= α

α α

δ

k p

L

R c

p p p

T p

T

c k R

p p T

T ^{L p}

=

=

=

=

−

0 0

1 2 1

2

286 0

) ( )

(

,

Gleichung Poisson

p

T -p^k0

300

1000

T T -p

1000 500

0 Trocken-

Adiabaten

∞

=

=0

dp p

dT

Stüwe- Diagramm

Definition der Potentiellen Temperatur

= Temperatur, die ein Luftvolumen annimmt, wenn es adiabatisch auf einen Referenzdruck p_o (meist 1000 hPa) gebracht wird.

T -p

0

p_A p_B

T_B

T_{A A B}

B A

p₀ ^p

Lc R

p T p T

p T

p p

=

→

≡

=

p

T

beliebig

, ,

uck Referenzdr

bei Temperatur

uck Referenzdr

Gleichung -

Poisson in

Setze

θ

θ

1 1 2

0 2

: Berechnung

Die potentielle Temperatur ist eine Konstante (konservative Größe) bei adiabatischen Bewegungen eines Luftvolumens.

Adiabatischer Temperaturgradient

dz

dT

( )

u u

u L

u L

u u

u u

p

p p T gdz

gdz T T

R p p

T R

gdz z

g p

dp gdz

dp dT

c

=

−

=

−

=

−

=

∂

−

=

∂

≡

−

=

=

mit wieder

Umgebung

mit eich Druckausgl

r instantane

mit

Enthalpie) (mit

Bewegung he

adiabatisc für

1.HS

ρ ρ

ρ ρ α

1

K/100m ,

98

− 0

=

−

≅

−

=

→

p p u

ad

c g

c g T

T dz

dT

T z

z T_u

∂

∂

dz ad

dT

T

z T_u

cp

− g

T

< 1 T

T

> 1 Tu

T

Temperaturprofil bei Durchmischung

a) Atmosphäre sei in Ruhe.

Sie werde vom Boden (bei T₀) durch Wärmeleitung etc.

angeheizt.

Strahlungsprozesse in der Atmosphäre seien

vernachlässigbar.

T₀ T z

T(z)=T₀=const

im thermischen Gleichgewicht

T₀ T z

Adiabatisches Profil stellt sich ein mit T₀ als

Temperatur in Bodennähe.

b) Einsetzen von Turbulenz und damit vertikale

Durchmischung, die

innerhalb der Atmosphäre adiabatisch erfolgen soll.

Energiebetrachtungen beim Aufsteigen

( )

eEnergie potentiell

Enthalpie const

) (

he Referenzhö als

wähle )

(

) (

n Integratio

0

0 0

0

0

0

0

z z

g T

c c

z z

z g T

c T

c

z z

g T

T c

gdz dp

dT c

p p

p p

p ad p

− +

=

− +

=

=

− +

−

→

−

≅

=

θ

α

Beim adiabatischen Aufstieg/Abstieg wird Enthalpie in potentielle Energie umgewandelt und umgekehrt.

Aus der 1. Form des 1. HS mit der inneren Energie u folgte, dass bei adiabatischen Bewegungen innere Energie in

Ausdehnungsarbeit umgewandelt wird bzw. umgekehrt.

c_p - und damit auch die potentielle Temperatur - sind Konstanten (konservative Größen) bei adiabatischen Umlagerungen.

Entropie s und potentielle Temperatur

p d

R T

d c ds

T dp T

c dT T ds

q

dp dT

c q

L p

p p

ln ln −

=

−

=

≡

−

=

ρ δ

α δ

1

p d

R T

d c d

c

p R

p R

T c

c

p c p

T R p T p

L p

p

const L L

p p

p L R c

p L

ln ln

ln

ln ln

ln ln

ln ln

ln

−

=

−

−

=

+

=

=

θ θ θ θ

0 0

0

θ

ln d

c ds ≡ _p

θ θ θ

θ

δ ^{q = Tds = c} _p ^{Td = c} _p ^{T d ≈ c} _p ^d

~ 1

ln

Wärmezu und –abnahmen sind in etwa proportional zur Änderung der

potentiellen Temperatur – und nicht der thermodynamischen Temperatur!!!

Übungen zu II.3.5

1. Zeige dass bei adiabtischen Zustandsänderungen gilt dT/dp|_p=0 = .

2. Ein Teilchen habe bei 500 hPa die Temperatur – 20°C.

Welche Temperatur hätte es bei adiabatischer Bewegung auf 1000 hPa?

3. Wie ändert sich in einer isotherm geschichteten Atmosphäre die potentielle Temperatur mit der Höhe?

4. In 800 hPa habe ein Luftvolumen von 1 kg Masse die

Temperatur 0°C. Es sinke adiabatisch auf 1000 hPa ab. Dort erhöhe sich danach seine Temperatur isobar um 5 K. Welche Temperatur und welche potentielle Temperatur hat dann das Teilchen? Um wie viel haben sich seine vier

massenspezifischen thermodynamischen Potentiale geändert?

II.3.6 Fluss fühlbarer Wärme

• Die Atmosphäre wird wesentlich durch ihren Kontakt mit der Erdoberfläche erwärmt.

• Direkt an der Erdoberfläche (wenige mm) geschieht das durch Wärmediffusion. Diese lässt sich wegen der Inhomogenität des Untergrundes nicht messen.

• Oberhalb dieser sehr dünnen Schicht erfolgt der

Wärmetransport i.w. durch Turbulenz; dieser Transport lässt sich, wie im letzten Kapitel diskutiert, durch hochfrequente Messung von Temperatur und Vertikalgeschwindigkeit direkt messen (oder aus dem Temperatur- und Windprofil

abschätzen).

• w‘T‘ ist nicht die geeignete Formulierung für den

Wärmetransport, da sich T durch adiabatische Druckänderung mit der Höhe verändert, ohne dass Wärme transportiert wird.

• w‘ ‘ ist die geeignete Formulierung, da die potentielle Temperatur eine Konstante bei adiabtischen Abläufen ist.

Wärmehaushaltsgleichung

- Vereinfachung durch potentielle Temperatur -

( )

( ) ^{Haushaltsg leichung der Enthalpie}

Zeit der

mit g Änderun

ement Volumenel

im Enthalpie der

derung Än

Volumen im Senken Quellen

Volumen dasAdvektionin 1.HS

+

∇

⋅

∂ +

=∂

+ +

∇

⋅

−

∂ =

= ∂

∂

→ ∂

+

=

=

+

=

=

dt dp dt

T ds T

v t c

c T t

h

dt dp dt

T ds dt

c dT dt

dh

dp Tds

dT c dh

p p

T t v

T p p

α α

α

( ) ( )

Druckterm ohne

Senken und

Quellen Advektion

mit

, ln

) drin!

schon dann

(Druckterm Temperatur

e potentiell durch

ung Vereinfach

Qu p

p

p p

p

dt v ds

t c c

t v dt

d dt

ds dt

c d ds

d c d

c

=

+

∇

⋅

−

∂ =

∂

∇

⋅

∂ +

= ∂

=

=

=

θ θ θ

θ θ θ θ

θ θ θ

θ

θ

Gemittelte Haushaltsgleichung (a)

( )

( ) ( )

Wärme fühlbaren

der leichung

Haushaltsg

Quelltermr gemittelte von

Flusses n

turbulenteDivergenz des Strömung

mittlereAdvektion durch Temperatur

en

potentielllokale Änderungder

von

Mittelung

Qu v

c v

t c c

Qu v

t c c

cp

p p

p

p p

′ +

∇ ′

−

∇

⋅

−

∂ =

→ ∂

+

∇

⋅

−

∂ =

∂

θ

θ θ θ

θ θ

klein!

sehr

W/m ,

x /

: T Annahme

) 10

2 ( eit leitfähigk Temperatur

und

)) J/(m 0,026

( tfähigkeit Wärmelei

mit

ung nWärmeleit molekulare

der Divergenz

flüsse Strahlungs

der Divergenz

Reibung innere

durch Volumens

des Erwärmung

)

2

5 - 2

026 0 1

2

≈

→

∂ =

∂

×

≅

=

≅

∇

−

=

∇

−

=

+ +

mol

p p

mol

mol

H m

K

s c m

a

s T

a c T

H

H Qu

i

λ ρ λ

ρ λ