II.1 Luftdruck und Luftdichte II.2 Windgeschwindigkeit

Einführung

in die Meteorologie

- Teil II: Meteorologische Elemente -

Clemens Simmer Meteorologisches Institut

Rheinische Friedrich-Wilhelms Universität Bonn Sommersemester 2006

Wintersemester 2006/2007

II Meteorologische Elemente

II.1 Luftdruck und Luftdichte II.2 Windgeschwindigkeit

II.3 Temperatur II.4 Feuchte

II.5 Strahlung

II.2 Windgeschwindigkeit

1. Definition und Ursachen 2. Windmessung

3. Einfluss des Windes auf

meteorologische Zustandsgrößen

4. Spezifische Zustandsgrößen und ihre Transporte bei Turbulenz

5. Haushaltsgleichung für gemittelte

Zustandsgrößen

II.2.1 Definition und Ursachen

Definition (Wiederholung)

• Wind ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Luft bewegt

• Bezug ist dabei ein Luftvolumen – nicht einzelne Moleküle (Kontinuumsmechanik, Hydrodynamik)

z

i

x (Ost)

y (Nord)

k

v

λ ϕ

w

v

v

u ^{2 2 2}

cos

sin sin

cos sin

w v

u v

k w j

v i

u v

v w

v v

v u

+ +

=

+ +

=

=

=

=

λ

λ ϕ

λ

ϕ

Horizontale Windgeschwindigkeit

vh

36

27 9

18

W O

S

N besondere Bedeutung von u und v da auf großen Skalen u~v>>w

2

2

v

u v

j v i

v u v u

h h

+

=

+

=

=

Ursache des Windes

• Um Wind ( 0) zu erzeugen, muss die Luft beschleunigt werden

• Beschleunigung (d /dt, Änderung des Windes mit der Zeit) wird durch

Bewegungsgleichung beschrieben

• Wind wird ständig abgebaut durch

Reibung und in Wärme umgewandelt (ohne Druckgradientkraft steht die

Atmosphäre in wenigen Stunden still!)

v

v

Bewegungsgleichung

( )

Reibung

g chleunigun Schwerebes

ng schleunigu Coriolisbe

unigung entbeschle

Druckgradi

Advektion durch

Änderung

Änderung iche

lokalzeitl

els Luftpartik eines

gung Beschleuni

1 2

fFr

g v p

v t v

v dt

v

d + ⋅∇ = − ∇ − Ω× + +

∂

= ∂ ρ

Achtung: Betrachtet man die Änderung des Windes an einem festen Ort (lokalzeitliche Änderung Beschleunigung) so kann diese bei Fehlen von lokalen Kräften alleine durch Advektion erfolgen (Trägkeitseffekt).

II.2.2 Windmessung

• Windfahne zur Richtungsbestimmung

• Schalenkreuz

• Flügelradanemometer

• Staudruckrohr

• Schallausbreitung

• Dopplereffekt bei Reflektion elektromagnetischer Wellen

• Ballonverfolgung

• Wolkenverfolgung

• Beaufort-Skala

Schalenkreuz und Windfahne

Vereinfachte Theorie des

Schalenkreuzanemometers (1)

r

v u

u c₁

c₂ Widerstandsbeiwerte

c₁ > c₂

Relativgeschwin- digkeit Schale 1

v_R1=v-u

Relativgeschwin- digkeit Schale 2

v_R2=v+u

R1,22 2 1,2

s1,2 1 c v

p

Schalen auf

Staudruck

=

Vereinfachte Theorie des

Schalenkreuzanemometers (2)

Im Kräftegleichgewicht, d.h. von jedem Arm wirkt das gleiche aber umgedrehte Drehmoment (Kraft(= Druck x Fläche Q) x Hebellänge r) auf die Achse, bewegt sich das Schalenkreuz bei Wind v unbeschleunigt, d.h. mit konstanter Gewindigkeit u.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

(

)(

)

k mit

ku v

q /c

c u

v / u v

rschnitt Schalenque

Q mit

Qr u

v c

Qr u

v c

2 1

2 2 2

2 1 2 1

1

≈

− +

=

=

±

=

±

=

− +

+

=

−

Die Schalen bewegen sich in etwa mit 1/3 der Windgeschwindigkeit.

Flügelradanemometer

Flügel weichen durch Rotation dem

Staudruck der

Luftbewegung aus

(Umkehr des Prinzips des Propellerantriebs)

Staudruckverfahren

h

…auch Prandtl-Rohr oder Pitot-Rohr,

Verwendung als Kalibriergerät da keine Eichung nötig.

t Flüssigkei der

Dichte

mit

h g

p p

Druck r

dynamische

v

Luftdichte

Druck statischer

p

k Gesamtdruc p

mit

) p v 2(p

, 2 v

p p

l

l s

t

2 2 s t

s 2 t

s t

=

−

= − +

=

p_t v, p_s

l

Schallausbreitung (Sonic Anemometer)

• Schallausbreitungsgeschwindigkeit wird in den drei Raumrichtungen durch drei Sender-Empfängerpaare gemessen.

• Bei bekannter Temperatur ist wahre Schallgeschwindigkeit

bekannt und kann abgezogen werden.

• Messungen sind trägheitsfrei,

dadurch sind kleinste Fluktuationen messbar.

T T

c R

v c _L

v p

Schall = = 400

Lidar (LIght Detection And Ranging),

Radar (Radio wave Detection And Ranging), Prinzip

Wind Vektor

R Transmitter

Empfänger

Laser Puls

Rückstreuvolumen

2 c t R = ⋅

V_LOS

2 ν0

ν = ⋅ ⋅

∆ c

V_LOS

Die Zeitdauer zwischen Aussenden und Empfang ergibt die Position, und der Dopplereffekt (Abweichung der Frequenz der zurückgestreuten Signals von der Frequenz des Sendesignals _o durch Bewegung des Luftvolumens entlang der Blickrichtung mit Geschwindigkeit v_LOS, LOS=Line Of Sight) die

Geschwindigkeitskomponente entlang des Strahls.

Anwendung des WIND-Lidars zum Nachweis des

„Alpinen Pumpens“

(Schumann, DLR)

Messtrecke der Falcon 8 Juli 2002

13:05 - 15:34 LT

(Schumann, DLR)

360

0 45 90 180 270 315 6.0

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0

200

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

altitude [km ASL] wind direction [deg]

distance [km]

Südwest

Nördliche Winde am Alpenrand bis 2.3 km Höhe

Ballonverfolgung mit Sichtverfolgung

• Ballon mit bekannter Steiggeschwindigkeit (Auftrieb) wird aufgelassen ( Höhe h bekannt).

• Ballon wird mittels Theodolit angepeilt ( Elevations- und Azimutwinkel bekannt).

• Ballonposition ist dann gegeben durch x=h·cos ·cos , y=h·cos ·csin , z=h

• Aus zeitlichem Versatz wird über Differenzenbildung der horizontale Windvektor bestimmt (Ann.: Vertikalwind ist 0).

• Mit 2 Theodoliten kann man ohne konstante Steiggeschwindigkeit auskommen.

• Beschränkung: Sicht!

x z y

Ballonverfolgung mit Radar

Radar misst die Entfernung (range) r, Elevationswinkel , und Azimutwinkel .

Höhe h ergibt sich aus r·sin , der Rest wie vorher.

Wolkenverfolgung (Satellitenwinde)

Annahme:

Wolken werden mit dem Wind verfrachtet.

Probleme bei

orografisch induzierten Wolken und Wellen Auf Zeitserien von Satellitenbildern wird mittels

Korrelationsrechnung zwischen aufeinander folgenden Terminen die wahrscheinlichste Position von Wolken oder Wolkenfeldern bestimmt.

II.2.3 Einfluss des Windes auf meteorologische Zustandsgrößen

• Gegeben sei ein Feld meteorologischer Zustandsgrößen

,...

, ,

, ρ

ε = T p v

• Wind verfrachtet Luftvolumen (Advektion) und dabei kann es zu Änderungen der meteorologischen Zustandsgrößen kommen.

• Wir unterscheiden (siehe Kapitel I.4) die totale oder individuelle

Änderung d /dt, die man messen würde, befände sich das Messgerät im sich mit dem Wind bewegenden Volumen (Lagrange-Änderung), und die lokale oder partielle Änderung / t, bei der man die jeweilig anderen Feldkoordinaten (hier die Raumkoordinaten) konstant hält (Euler-Änderung).

• Wir hatten in I.4 bereits abgeleitet (dort für =T):

( )

ε

ε ε

ε ε

ε

∇

⋅

∂ +

= ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

= ∂ t v

z w y v

x u t

dt d

und weiter…

• Wir unterscheiden im Allgemeinen drei Änderungsszenarien, die man anhand der „Advektionsgleichung“ diskutieren kann:

( ) ( )

t dt

v d

t v dt

d

dt v d t

∂

= ∂

→

=

∇

∨

=

∇

⋅

−

∂ =

→ ∂

=

∇

⋅

=

→

∂ =

∂

ε ε ε

ε ε ε ε ε

0

0

frei advektions

0

v

konservati

0

stationär

• Achtung: Die Begriff „advektionsfrei“ und auch „konservativ“ machen eigentlich nur Sinn bei Eigenschaften , die tatsächlich transportiert

werden können, wie Wasserdampf und andere Luftbeimengungen und mit Einschränkungen Temperatur. Druck wird z.B. meist nicht wirklich

transportiert, da er sehr von den Verhältnissen oberhalb abhängen kann - völlig unabhängig vom Wind in der betreffenden Schicht.

II.2.4 Spezifische Zustandsgrößen und ihre Transporte bei Turbulenz

• In der Atmosphäre finden durch die Luftbewegung ständig Transporte von Eigenschaften (z.B. Masse, Wasserdampf, Wärme) statt.

• Diese Transporte finden i. a. auf allen Skalen statt: kleinste Wirbel bis zum einzelnen Molekül transportieren. Aber auch ein Kubikkilometer Luft, der durch großskalige Druckgradienten bewegt wird, transportiert.

• Legt man sich auf eine Skala (einschließlich der Zeit) fest, auf der man die meteorologischen Zustandsgrößen betrachtet, so unterscheidet man dann skalige Transporte, wenn sie z.B. durch Messungen der mittleren Größen auf dieser Skala (Mittelung z.B. über 1 km³, über 10 Minuten, etc.) bestimmt werden können und subskalige Transporte, die auf kleineren Skalen stattfinden.

• Wir benötigen zur mathematischen Behandlung dieser Problematik die Definition der folgenden Begriffe:

– massenspezifische (=spezifische) Größen – Flüsse und Flussdichten von Eigenschaften)

Definitionen

• (massen-)spezifische Eigenschaften (chi):

auf Masseneinheit (kg) bezogene Größen

z.B. = m³/kg = V/m = 1/ = spezifisches Volumen

e = J/kg = e spezifische Energie

s = kg/kg spez. Masse (z.B. spezifische Feuchte)

i = kg(m/s)/kg =m/s spez. Impuls (Geschwindigkeit)

• Fluss = Eigenschaft, die pro Zeiteinheit durch eine definierte Querschnittsfläche transportiert wird

z.B. J/s Energiefluss kg/s Massenfluss kg(m/s)/s Impulsfluss

• Flussdichte = Transport einer Eigenschaft pro Sekunde und pro Einheits(querschnitts)fläche

z.B. Energieflussdichte, J/(m²s) Massenflussdichte, kg/(m²s)

Impulsflussdichte, kg(m/s)/(m²s) =kg/(ms²) Druck

Zusammenhang spezifische Eigenschaften und Flussdichten

Massenflussdichte = kg/(m²s)=kg/m³ x m/s = v Flussdichte einer beliebigen Eigenschaft =

/ m²s = ( / kg) (kg / m²s) = ( / kg) (kg / m²s) =

= ( / kg) (kg /m³) (m/s)

= massenspezifische Eigenschaft x Dichte x Geschwindigkeit

= spezifische Eigenschaft x Massenflussdichte

= v

Energieflussdichte = _e v , J/(m²s) Wasserdampfflussdichte =q v , kg/(m²s)

Impulsflussdichte =v v , kg(m/s)/(m²s)

= v²

Turbulenz und Reynolds Mittelung

- Mittelung von Flussdichten v der Eigenschaft -

ε ε

x t ,' ε

0

0 ≡ ′ =

= +

= +

+

=

b a b

a a'

, b a

b

a , '

: ln Rechenrege

ε' ε

ε

Strömung turbulente

durch Transport

Strömung mittlere

durch Transport

' ' )'

' (

)' ' '

' (

)) ' )(

' (

ion) Approximat

- Boussinesq

' :

(Annahme

en Flussdicht auf

Anwendung

+ +

= +

=

+ +

+

=

+ +

≅

≅ +

=

χ ρ χ

ρ χ

χ ρ

χ χ

χ χ

ρ

χ χ

ρ χ

ρ

ρ ρ

ρ ρ

v v

v v

v v

v v

v v v

Besonderheit:

vertikaler Transport in Bodennähe

0 da

'

' =

≅ w w

w χ ρ χ ρ

In Bodennähe sollte die mittlere Vertikalgeschwindigkeit

verschwinden (Massenerhaltung). Vertikaltransporte können dann nur noch turbulent erfolgen

Beispiel: vertikaler

Wasserdampftransport = Verdunstung

Feuchte e

spezifisch

mit

'

' ρ ρ

ρ

ρ ^{wq w q q}

E ≡ ≅ =

II.2.5 Haushaltsgleichung für gemittelte Zustandsgrößen

- weitere Interpretation des „Advektionsterms“ -

Wir hatten: ^d_dt^{χ = ∂}_∂^χ_t ⁺

( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

) v -

altung (MassenerhDichtekons tanz bei 0

vektoriellel, Produktreg

: terms

"

Advektions

"

des Mitteln

⋅

∇

=

=

⋅ ′

′ ∇

′ −

∇ ′ +

∇

⋅

=

∇ ′

⋅′

+

∇

⋅

=

∇

⋅

ρ ρ

χ χ

χ χ χ

χ

dt d

v v

v v v

v

( )

χ

χ χ χ χ

χ

für Quelle en

Flussdicht n turbulente der Divergenz Windmittlerendem

mit Advektion"

"

Änderung lokale mittlere

Ort festen

einem an

für leichung

Haushaltsg

dt v d

t ≅ − v ⋅ ∇ − ∇ ′ ′ +

∂

∂

Übungen zu II.2

• Welche Möglichkeiten zur Windmessungen kennt man;

wozu sind die jeweiligen Systeme besonders geeignet;

was sind ihre Nachteile?

• Zwei Positionsmessungen eines Pilotballons mittels Theodolit 60 Sekunden und 70 Sekunden nach Start ergeben ( =10°, =90°) bzw. ( =11°, =100°). Die

Steiggeschwindigkeit sei 100 m/min. Bestimme u und v in der betreffenden Luftschicht.

• Vollziehe das zweite Gleichheitszeichen der vorletzten Gleichung der letzten Seite explizit nach.