9.3 Nichtlineare Differentialgleichungssysteme in Standardform
System von Differentialgleichungen erster Ordnung
u0(t) =f(t, u(t)), u= (u1, . . . , un)t, f :R×Rn→Rn
Anfangsbedingung: u(t0) = a
autonomes System: f =f(u)
Transformation eines Differentialgleichungssystems auf Standardform Differentialgleichung n-ter Ordnung
y(n)(t) =g(t, y(t), . . . , y(n−1)(t))
Elimination h¨oherer Ableitungen via u(t) = (y(t), . . . , y(n−1)(t))
¨aquivalentes System erster Ordnung
u01 = u2 ...
u0n−1 = un
u0n = g(t, u(t))
Satz von Peano
f in einer UmgebungD von (t0, a)∈R×Rn stetig
=⇒ Existenz mindestens einer L¨osung des Anfangswertproblems u0(t) =f(t, u(t)), u(t0) = a
in D
Eindeutigkeit der L¨osung eines Differentialgleichungssystems
f(t, u) in einer UmgebungD∈R×Rn von (t0, a) Lipschitz-stetig bzgl.u
=⇒ eindeutige L¨osung des Anfangswertproblems
u0(t) =f(t, u(t)), u(t0) = a
in D
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Ableitung nach Anfangsbedingungen
u0 =f(t, u), u(t0) = a
partielle Ableitung nach den Anfangsbedingungen (a1, . . . , an)t Differentialgleichungssystem f¨ur die Jacobi-Matrix
u0a=fu(t, u)ua, ua(t0) = E ,
mit der Einheitsmatrix E und
ua=
∂u
∂a1
, . . . , ∂u
∂an
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