Quantitatives Risikomanagement

Quantitatives

Risikomanagement

Korrelation und Abhängigkeit im Risikomanagement:

Eigenschaften und Irrtümer

von Jan Hahne und Wolfgang Tischer

Agenda

1. Einführung in die Themenstellung 2. Grundlagen: Copula

3. Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung

4. Irrtümer bzgl. Korrelation und Abhängigkeit

5. Fazit

1. Einführung in die

Themenstellung

1. Einführung in die Themenstellung

2. Grundlagen: Copula

2.1 Definition der Copula

Grundsätzliche Idee: Modellierung der Abhängigkeit soll zurückgeführt werden auf die gemeinsame Verteilungsfunktion.

• Gegeben seien: n Zufallsvariablen X₁, … , X_n sowie deren gemeinsame Verteilungsfunktion F

• Dann gilt bekanntlich: F(x₁ , … , x_n) = P (X₁ ≤ x₁ , … , X_n ≤ x_n)

• Um zur Copula zu gelangen wird der folgende Satz benötigt:

Satz 2.1: Sei X eine Zufallsvariable mit zugehöriger Verteilungsfunktion F. Sei weiterhin F^-1 die Quantilfunktion zu F, also: F^-1(α) = inf { x |F(x) ≥ α }, wobei α Є (0,1). Dann gilt:

1. Für jede standard-gleichverteilte Zufallsvariable U~ U(0,1) ist F^-1(U) ~ F.

2. Wenn F stetig ist, so ist die Zufallsvariable F(X) standard-gleichverteilt, also F(X) ~ U(0,1).

2.1 Definition der Copula

• Besitzen die X₁, … , X_n stetige Randverteilungsfunktionen, so kann der Vektor X = (X₁, … , X_n)‘ nach Satz 2.1 derart transformiert werden, dass jede Komponente eine standard-gleichverteilte Randverteilung besitzt.

• Die benötigte Transformation T : ℝⁿ → ℝⁿ bildet (x₁ , … , x_n)‘ auf (F₁(x₁) , … , F_n(x_n))‘ ab, so dass:

F(x₁ , … , x_n) = P (F₁(X₁) ≤ F₁(x₁) , … , F_n(X_n) ≤ F_n(x_n)) = C(F₁(x₁) , … , F_n(x_n))

• C ist die gemeinsame Verteilungsfunktion des transformierten Vektors (F₁(X₁) , … , F_n(X_n))‘.

• Man nennt C die Copula des Zufallsvektors (X , … , X )‘.

2.1 Definition der Copula

Definition 2.1: Eine n-dimensionale Copula ist eine Verteilungsfunktion eines Zufallsvektors X Є ℝⁿ, deren Randverteilungen alle (0,1) – gleichverteilt sind.

Äquivalent zur obigen Definition kann eine Copula definiert werden als Funktion C : [0,1]ⁿ→ [0,1] mit den drei Eigenschaften:

1. C(x₁ , … , x_n) ist monoton steigend in jeder Komponente x_i . 2. C(1 , … , 1 , x_i , 1 , … , 1) = x_i für alle i Є [0,1].

3. Für alle (a₁ , … , a_n), (b₁ , … , b_n) Є [0,1]ⁿ, mit a_i ≤ b_i gilt:

 







2



1

2

1

...

1

11

1

( ,..., ) 0 ,

) 1 ( ...

i i

i i

n

nin i

n

C x x

mit x_j1 = a_jund x_j2 = b_jfür alle j Є {1,…,n}. Die Summe kann interpretiert werden als:

P(a₁ ≤ X₁ ≤ b₁ , ... , a_n ≤ X_n ≤ b_n) ≥ 0.

2.1 Definition der Copula

Zusammenfassend kann also festgehalten werden:

• Die gemeinsame Verteilungsfunktion F enthält vollständige

Informationen über die gesamte Abhängigkeitsstruktur zwischen Zufallsvariablen

• Idee bei Verwendung der Copula: Teile die gemeinsame Verteilungsfunktion F in zwei Komponenten auf.

Die eindimensionalen Randverteilungen F₁, … , F_n

Die Copula C

• Der Copula-Ansatz ermöglicht eine sehr flexible Modellierung:

die Verteilung der einzelnen Zufallsvariablen kann getrennt von der Abhängigkeit zwischen den

Zufallsvariablen festgelegt werden.

Die Abhängigkeitsstruktur die zwischen den

2.2 Der Satz von Sklar

Der bedeutendste Satz in Bezug auf Copulas ist der Satz von Sklar.

Satz 2.2:

1. Sei F eine multivariate Verteilungsfunktion mit Randverteilungs-

funktionen F₁, … , F_n. So existiert eine Copula C : [0,1]ⁿ→ [0,1], s.d. für alle x₁, … , x_nЄ ℝ gilt:

F(x₁ , … , x_n) = C(F₁(x₁) , … , F_n(x_n)).

Die Herleitung wurde oben bereits gezeigt.

Falls F₁, … , F_n stetig sind, so ist die Copula C sogar eindeutig bestimmt. 2. Seien nun umgekehrt eine Copula C sowie die eindimensionalen

Verteilungsfunktionen F₁, … , F_ngegeben, dann ist die durch:

F(x₁ , … , x_n) = C(F₁(x₁) , … , F_n(x_n))

definierte Verteilungsfunktion F eine multivariate Verteilung mit den Randverteilungen F₁, … , F_n .

2.2 Der Satz von Sklar

Interpretation der beiden Aussagen des Satzes von Sklar:

Erster Teil des Satzes:

Eine beliebige multivariate Verteilung lässt sich in ihre Randverteilungen und in eine Copula aufteilen.Für stetige Randverteilungen ist die Copula dabei eindeutig.

2.2 Der Satz von Sklar

Der Satz von Sklar gibt jedoch lediglich an, dass diese Überführung möglich ist. Wie dies konkret umgesetzt werden kann wird nicht deutlich.

Es ist aber folgendermaßen vorzugehen:

• Bei bekannter multivariater Verteilungsfunktion F können die eindimensionalen Randverteilungen F

, … , F

bestimmt werden.

• Sind nun die Zufallsvariablen X

, … , X

mit zugehörigen Verteilungsfunktionen F

, … , F

bekannt. Sei weiterhin

u

= P(X

≤ x

) = F

(x

) und daher u

Є [0,1] für alle i Є {1 , … , n}, so folgt:

C(u

, … , u

) = F(F

(u

) , … , F

(u

)).

2.2 Der Satz von Sklar

Interpretation der beiden Aussagen des Satzes von Sklar:

Zweiter Teil des Satzes:

• Aus n gegebenen einzelnen Verteilungen F₁, … , F_nund einer Copula C kann eine gemeinsame Verteilungsfunktion F

konstruiert werden, welche die F₁, … , F_n als Randverteilungen besitzt.

• Umsetzung: Setze die F₁, … , F_n in die Copula C ein.

2.3 Invarianz unter streng monoton steigenden Transformationen

Copulas besitzen eine Eigenschaft, die für praktische Anwendungen sehr nützlich ist:

Satz 2.3:

Sei C eine Copula zu (X₁ , … , X_n)‘. Dann ist C für alle streng monoton steigenden stetigen Transformationen T₁, … , T_n ebenfalls die Copula zu (T₁(X₁) , … , T_n(X_n))‘.

Erläuterung des Vorteils dieser Eigenschaft an einem Beispiel:

• Die Abhängigkeit von Verlusten mehrerer Einzelrisiken sind in der Einheit Euro durch eine Copula C modelliert.

• Übergang von Euro zu Dollar: streng monoton steigende Transformation.

• Das Modell in Dollar-Beträgen besitzt dieselbe Copula C wie das Euro- Modell.

• Achtung: Die Randverteilungen, die die Verteilungen der Einzelrisiken beschreiben müssen in der Regel an die neuen Skalen angepasst werden.

2.4 Beispiele für Copulas

Hier werden zwei klassische Beispiele für Copulas vorgestellt werden.

Betrachtung im 2-dimensionalen, d.h. gegeben sind:

• Zwei Zufallsvariablen X und Y mit Verteilungsfunktionen F

und F

• Sei u

= P(X ≤ x

) = F

(x

) bzw. u

= P(Y ≤ x

) = F

(x

), also u

,u

Є [0,1].

• Wie oben gezeigt, gilt:

C(u

, u

) = F(F

(u

) , F

(u

)) (*)

• Randverteilungen F₁ und F₂ sind univariate Normalverteilungen. Die Verteilungsfunktionen werden mit φ bezeichnet.

• F ist Verteilungsfunktion der bivariaten Normalverteilung N₂(0,ψ). Sie wird hier mit φ_ρ bezeichnet.

• Gemäß (*) ergibt sich die Gauß-Copula als:

C

(u

, u

) = φ

(φ

(u

) , φ

(u

))

• Sind anders herum die Gauß-Copula und die zwei normalverteilten Risiken X und Y mit den Verteilungsfunktionen F₁ und F₂ und

Korrelationskoeffizient ρ gegeben, ergibt sich:

F(x

, x

) = C

(F

(x

) , F

(x

))

• Die Gauß-Copula ist genau diejenige Copula, die mehrere univariate Normalverteilungen zu einer multivariaten Normalverteilung

zusammenführt.

2.4.1 Die Gauß-Copula

2.4.2 Die Gumbel-Copula

•Gegeben ist ein Parameter Θ Є [0,1].

•Die Gumbel-Copula ist dann gegeben als:

C

(u

, u

) = exp ( - ( ( - log u

)

+ ( - log u

)

))

)

•Modelliert man Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen mit der Gumbel-Copula kann durch den Parameter Θ jede positive

Abhängigkeitsstruktur zwischen Unabhängigkeit (Θ = 1) und

perfekter Abhängigkeit (Θ → 0) abgedeckt werden.

3. Konzepte der

Abhängigkeitsmodellierung

3. Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung

• Definitionen und Eigenschaften

• Unterschiede

• Vor- und Nachteile

Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen

Lineare

Korrelation Komonotonie Rang-

korrelation Tail

Abhängigkeit Konkordanz

3.1 Lineare Korrelation

Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen

Lineare

Korrelation Komonotonie Rang-

korrelation Tail

Abhängigkeit Konkordanz

3.1.1 Definition der linearen Korrelation

Das am häufigsten verwendete Maß zur Modellierung von Abhängigkeiten.

Idee: Die Stärke des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Zufallsvariablen in Form einer Maßzahl – dem linearen Korrelationskoeffizienten – ausdrücken.

Definition 3.1: Der Pearsonsche bzw. lineare Korrelationskoeffizient

zweier Zufallsvariablen X und Y (mit 0 < Var(X), Var(Y) < ∞) ist definiert als:

 ρ(X,Y) Є [-1,1]

 ρ(X,Y) = 0: unkorrelierte Zufallsvariablen. Also kein linearer Zusammenhang.

) ( )

(

) , ) (

,

( Var X Var Y

Y X Y Cov

X  



3.1.2 Vor- und Nachteile der linearen Korrelation

Vorteile der linearen Korrelation:

• Einfach zu bestimmen (nur Berechnung zweiter Momente)

• Bestimmung der Korrelation von linear transformierten Zufallsvariablen sehr elegant möglich, da für a,c Є \ {0} und b,d Є :

und daher:

D.h. insbesondere: lineare Korrelation invariant unter positiven affinen Transformationen.

• Für sphärische und elliptische Verteilungen kann die gesamte

Abhängigkeitsstruktur zweier Zufallsvariablen über die Korrelation beschrieben werden. Zu den elliptischen Verteilungen zählt auch die Normalverteilung (daher viele Anwendungsgebiete wo die Benutzung der linearen Korrelation Sinn macht).

) , ( )

,

(aX b cY d ac Cov X Y

Cov    

) ,

| (

|

| ) |

,

( X Y

c c a

d a cY b

aX 

    

3.1.2 Vor- und Nachteile der linearen Korrelation

Nachteile der linearen Korrelation:

• Korrelationskoeffizient ist nur definiert falls eine Verteilung mit endlicher Varianz vorliegt. (z.B. Probleme für heavy-tailed

Verteilungen).

• Lediglich Messung der linearen Abhängigkeit.

• Zwar invariant unter positiven affinen Transformationen aber nicht invariant unter streng monoton steigenden

Transformationen T. D.h. ρ(X,Y) ≠ ρ(T(X),T(Y)).

Die Abbildung fasst das bedeutendste Problem bei der Verwendung der Korrelation als Abhängigkeitsmaß zusammen.

• Gleiche Randverteilungen

• Gleiche Korrelation

• Aber deutlich unterschiedliche Abhängigkeitsstrukturen

3.1.2 Vor- und Nachteile der linearen Korrelation

Exkurs: Sphärische und elliptische

Verteilungen

E.1 Sphärische Verteilungen

• Erweiterung der multivariaten Normalverteilung N

(0,I).

• Klasse symmetrischer Verteilungen für unkorrelierte Zufalls- variablen mit Mittelwert 0.

Definition 3.2: Ein Zufallsvektor X =

(X

sphärische Verteilung, wenn für jede orthogonale Matrix U Є

(also U’U = UU’ = I

) die folgende Gleichung erfüllt ist:

UX =_d X²

•

bedeutet: ,,A besitzt dieselbe Verteilung wie

E.1 Sphärische Verteilungen

Definition 3.3: Für alle t Є ⁿ ist die charakteristische Funktion φ : ℝ ⁿ → einer n-dimensionalen Zufallsvariablen X definiert als:

φ_X(t) = E(exp(it‘X))

•

Die charakteristische Funktion sphärischer Verteilungen nimmt eine sehr einfache Form an, denn es existiert eine Funktion

0+

, sodass:

φ(t)

=

• Die Funktion γ wird als charakteristischer Generator der sphärischen

Verteilung bezeichnet. Man schreibt daher auch:

E.1 Sphärische Verteilungen

Bemerkungen zu sphärischen Verteilungen:

1. Sphärische Verteilungen sind i.A. Verteilungen unkorrelierter – nicht jedoch unabhängigker – Zufallsvariablen.

2. Die multivariate Normalverteilung ist die einzige Verteilung unter den sphärischen Verteilungen, bei der die Zufallsvariablen auch unabhängig sind.

3. X ~ S_n(γ) ist äquivalent zu X =_d RU, wobei U auf der Einheitskugel S_n-1= { x Є | x’x = 1 } gleichverteilt ist und R ≥ 0 eine von U

unabhängige Zuvallsvariable darstellt.

Die 3. Bemerkung ermöglicht eine Interpretation sphärischer Verteilungen als n-dimensionale Gleichverteilung auf Umgebungen mit verschiedenen Radien.

E.2 Elliptische Verteilungen

• Erweiterung der multivariaten Normalverteilung N_n(μ,∑).

• Klasse symmetrischer Verteilungen mit Mittelwert μ und Kovarianzmatrix ∑.

• Mathematisch gesehen: affine Transformationen sphärischer Verteilungen.

Definition 3.4: Sei eine affine Transformation T : ⁿ → ⁿ mit T(x) = Ax + μ, A Є ^{n x n}, μ Є ⁿ gegeben. Ein Zufallsvektor X Є ⁿ hat eine elliptische

Verteilung, falls X = T(Y), wobei Y ~ S_n(γ).

Die charakteristische Funktion ist gegeben als:

φ(t) = exp(it‘μ) γ(t‘ ∑ t), mit ∑ = AA‘.

• Notation: X ~ E (μ , ∑ , γ)

E.2 Elliptische Verteilungen

Bemerkungen zu elliptischen Verteilungen:

1. Die Verteilung von X bestimmt nur μ ŝŶĞŝŶĚĞƵƟŐĞƌt ĞŝƐĞ͘єƵŶĚγ sind nur bis auf eine positive Konstante bestimmt.

2. Es ist möglich ∑ so zu wählen, dass sie die Kovarianzmatrix von X darstellt.

Insgesamt bedeutet dies:

Eine elliptische Verteilung ist eindeutig definiert durch:

• Mittelwert μ

• Kovarianzmatrix ∑

• Charakteristischer Generator γ

Insbesondere: Die Varianz einer elliptisch verteilten Zufallsvariablen ist

endlich  der lineare Korrelationskoeffizient für solch eine Zufallsvariable ist wohldefiniert.

Elliptische Verteilungen besitzen einige sehr nützliche Eigenschaften:

• Jede Linearkombination eines elliptisch verteilten Zufallsvektors ist selbst wieder elliptisch verteilt und besitzt sogar den selben charakteristischen Generator.

• Die Randverteilungen elliptischer Verteilungen sind ebenfalls elliptisch verteilt und besitzen den selben charakteristischen Generator.

• Sei die Kovarianzmatrix єĂůƐƉŽƐŝƟǀ ĚĞĮ Ŷŝƚǀ ŽƌĂƵƐŐĞƐĞƚnjƚ͘ ĂŶŶŝƐƚĚŝĞďĞĚŝŶŐƚĞ Verteilung X₁ unter X₂ auch elliptisch verteilt – allerdings i.A. mit einem anderen charakteristischen Generator.

Alle Randverteilungen elliptisch  Elliptische Verteilung eindeutig durch Mittelwert, Kovarianzmatrix und Verteilungstypen bestimmt.

Anders ausgedrückt: Gesamte Abhängigkeitsstruktur stetiger, elliptischer Verteilungen eindeutig festgelegt durch Korrelationsmatrix und Verteilungstypen.

 Jegliche Form von Abhängigkeit wird für elliptisch verteilte Zufallsvariablen komplett über den linearen

E.3 Korrelation und Kovarianz als natürliche

Abhängigkeitsmaße in der Welt elliptischer Verteilungen

Elliptische Verteilungen begünstigen den Einsatz vieler mathematischer Standard-Modelle. (Z.B. Markowitz-Modell und Value-at-Risk).

Konzentration auf Value-at-Risk (VaR):

• Gegeben sei ein elliptisch verteilter Zufallsvektor X = (X₁ , … , X_n)‘, wobei X_i das Risiko i modelliert.

• Definiere die Menge linearer Portfolios, die aus diesen n Risiken bestehen als:

• Die Verteilungsfunktion von Portfolio Z ist gegeben durch F_Z und der VaR zu vorgegebener Wahrscheinlichkeit α ist bekanntermaßen:

VaR

(Z)

inf {

|

≥

^}

• VaR als Risikomaß besitzt für elliptische Verteilungen eine besondere Eigenschaft.

E.4 Kovarianz und elliptische Verteilungen im Risikomanagement

}.

R

| {

1



 

 ^{i i i}

n

i

X

Z  

E.4 Kovarianz und elliptische Verteilungen im Risikomanagement

Definition 3.5: Ein Risikomaß ist eine Funktion ξ mit: X ξ (X). D.h. ein Risikomaß ordnet jedem Risiko X eine reelle Zahl zu.

Definition 3.6: Ein kohärentes Risikomaß (nach Atzner, Delbaen, Eber und Heath) ist ein Risikomaß mit folgenden Eigenschaften:

1. Positivität: Für jedes X ≥ 0 ist: ξ(X) ≥ 0

2. Subadditivität: Für alle X und Y gilt: ξ(X + Y) ≤ ξ(X) + ξ(Y).

3. Positive Homogenität:Für jedes λ ≥ 0 ist: ξ(λX) = λξ(X).

4. Translationsinvarianz: Für jedes a Є gilt: ξ(X + a) = ξ(X) + a.

• Der VaR ist i.A. kein kohärentes Risikomaß, da er nicht subadditiv ist.



3.2 Alternative Abhängigkeitsmaße

Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen

Lineare

Korrelation Komonotonie Rang-

korrelation Tail

Abhängigkeit Konkordanz

3.2.1 Komonotonie

Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen

Lineare

Korrelation Komonotonie Rang-

korrelation Tail

Abhängigkeit Konkordanz

3.2.1 Komonotonie

Definition 3.7: Zwei Risiken X und Y werden komonoton genannt, wenn es eine Zufallsvariable Z und zwei monoton steigende Funktionen f₁ und f₂gibt, sodass:

X = f₁(Z) und Y = f₂(Z)

gilt. Wenn f₁ eine monoton steigende Funktion ist und f₂ monoton fällt, so spricht man von kontramonotonen Zufallsvariablen.

• Die Entwicklung der beiden Risiken hängt komplett von einem einzigen gemeinsamen Faktor ab.

• Komonotone Risiken können sich niemals ausgleichen  extremste Form positiver Abhängigkeit.

• Steigt das eine Risiko von zwei kontramonotonen Risiken, so sinkt das andere Risiko  extremste Form negativer Abhängigkeit.

• Sind X undY komonotone Zufallsvariablen, so gilt:

VaR (X + Y) = VaR (X) + VaR (Y).

3.2.1.1 Fundamentale Copulas

Komonotonie und Kontramonotonie lassen sich – zumindest im

Zweidimensionalen – durch bestimmte Copulas modellieren. Zusammen mit der Unabhängigkeits-Copula bilden sie die fundamentalen Copulas.

Definition 3.8: Die Komonotonie-Copula C_owird für alle (u₁,u₂) Є [0,1]² definiert durch:

C_o(u₁,u₂) = min(u₁,u₂).

Definition 3.9: Die Kontramonotonie-Copula C_u wird für alle (u1,u2) Є [0,1]² definiert durch:

C_u(u₁,u₂) = max(u₁ + u₂ -1 , 0).

Definition 3.10: Die Unabhängigkeits-Copula C_id wird für alle (u1,u2) Є [0,1]² definiert durch:

3.2.1.2 Die Schranken von Fréchet

• Perfekte negative Abhängigkeit, Unabhängigkeit, perfekte positive Abhängigkeit lassen sich mit fundamentalen Copulas darstellen.

• Sie stehen zu vielen anderen Copulas in einer interessanten Beziehung.

(z.B. Gumbel-Copula: ,,interpoliert” zwischen Unabhängigkeits- und Komonotonie-copula).

Eine weitere wichtige Beziehung liefern die Fréchet-Schranken.

Satz 3.2: Für jede n-dimensionale Copula C(u₁, … , u_n) gilt:

max {u₁ + … + u_n + 1 – n , 0} ≤ C(u₁, … , u_n) ≤ min {u₁, … , u_n}.

• Im zweidimensionalen Fall gilt also genau: C_u ≤ C(u₁, u₂) ≤ C_o.

• Für höhere Dimensionen sind die Schranken ähnlich zu interpretieren, aber die untere Schranke ist keine Copula mehr.

• Komonotonie ist eine sehr viel allgemeinere Definition von

Abhängigkeit als die lineare Korrelation. Sie erfasst nicht nur lineare sondern jede Form von (perfekter) Abhängigkeit.

3.2.2 Rangkorrelation

Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen

Lineare

Korrelation Komonotonie Rang-

korrelation Tail

Abhängigkeit Konkordanz

3.2.2 Rangkorrelation

Definition 3.11: Seien X und Y Zufallsvariablen mit den Randverteilungen F₁ und F₂ sowie F ihre gemeinsame Verteilungsfunktion. Der Spearmansche Rangkorrelationskoeffizient von X und Y ergibt sich als:

ρ_S(X,Y) = ρ(F₁(X),F₂(Y)) ,

wobei ρ den linearen Korrelationskoeffizienten bezeichnet.

Definition 3.12: Seien (X₁,Y₁)‘ und (X₂,Y₂)‘ zwei unabhängige Paare von

Zufallsvariablen und F ihre gemeinsame Verteilungsfunktion. Der Kendallsche Rangkorrelationskoeffizient von X und Y ergibt sich als:

ρ_τ(X,Y) = P((X₁ – X₂)(Y₁ – Y₂) > 0) – P((X₁ – X₂)(Y₁ – Y₂) < 0) .

Sowohl der Spearmansche, als auch der Kendallsche

Rangkorrelationskoeffizient messen den Grad monotoner Abhängigkeit.

3.2.2 Rangkorrelation

Satz 3.3: Seien X und Y Zufallsvariablen mit den Randverteilungen F₁ und F₂,

gemeinsamer Verteilungsfunktion F sowie Copula C. Dann gilt:

1. ρ_S(X,Y) = ρ_S(Y,X) und ρ_τ(X,Y) = ρ_τ(Y,X)

2. X und Y unabhängig ρ_S(X,Y) = ρ_τ(X,Y) = 0 3. -1 ≤ ρ_S(X,Y) , ρ_τ(X,Y) ≤ +1

4.

5.

6. ρ_S und ρ_τsind invariant unter streng

monotonen Transformationen T : → :

1. , 2. und 3. sind vom linearen Korrelationskoeffizienten bekannt.

Die übrigen Punkte werden vom linearen Korrelationskoeffizienten nicht erfüllt.

Größter Vorteil der Rangkorrelation gegenüber linearer Korrelation:

Rangkorrelationskoeffizienten hängen nur von der Copula ab (4.

und 5.)  sie sind invariant unter streng monotonen Transformationen.

Größter Nachteil der Rangkorrelation gegenüber linearer Korrelation:

Keine momentbasierte Korrelation.





 ¹

0 ( , ) ( , ) 1

4 ) ,

(X Y C u v dC u v

S





 ¹

0( ( , ) )

12 )

,

(X Y C x y x y dxdy

S

 







 

    ^



  ,

fallend T

falls ), , (

steigend T

falls ), , ) (

), (

( ^S

Y X

Y Y X

X T

3.2.3 Tail Abhängigkeit

Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen

Lineare

Korrelation Komonotonie Rang-

korrelation Tail

Abhängigkeit Konkordanz

3.2.3 Tail Abhängigkeit

Wichtige Fragestellung im Risikomanagement: Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige Eintreten mehrerer extremer Ereignisse angeben.

Tail Abhängigkeit: Maßzahl für die Abhängigkeit von extremen Ereignissen, also in den Randbereichen einer Verteilung:

3.2.3.1 Definition der Tail Abhängigkeit

Frage: „Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Risiko X höchstens zu einem Verlust von a führt, unter der Bedingung, dass Risiko Y höchstens einen Verlust von b erleidet?“

Also:

Bei bekannter Copula C kann nach dem Satz von Sklar eine gemeinsame Verteilungs- funktion F gefunden werden, die F₁ bzw. F₂ als Randverteilungen hat:

O.B.d.A. treten die Ereignisse X ≤ a und Y ≤ b mit derselben Wahrscheinlichkeit α ein, also:

Und wegen der Stetigkeit der Randverteilungen gilt:

Es gilt also:

) . (

) ,

) (

|

( P Y b

b Y a X b P

Y a X

P 



 





) . (

)) ( ), ( ) (

| (

2 2 1

b F

b F a F b C

Y a X

P   

. ) ( )

( und

) ( )

(X a F₁ a P Y b F₂ b

P     

 



).

( und

)

( ₂ ¹

1

1^   ^ 

 F b F

a

). , ( ))

( (

))) ( ( )), ( ( ) (

|

( ₁

1 2 2 1

1 1











 C

F F

F F F

F b C

Y a X

P    ^ _ ^ 

3.2.3.1 Definition der Tail Abhängigkeit

Eine zweite interessante Frage lautet:„Wie hoch ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass Risiko X einen sehr hohen Verlust erleidet (X > a), unter der Bedingung, dass auch Risiko Y einen sehr hohen Verlust verursacht hat (Y > b)?“ Also:

Äquivalent zu oben:

Sowie aufgrund der Stetigkeit der Randverteilungen:

Damit folgt in Copula-Schreibweise:

) . (

1

) ,

( )

( )

( 1 )

(

) ,

) (

|

( P Y b

b Y a X P b

Y P a

X P b

Y P

b Y a X b P

Y a X

P  













 





 





. ) ( )

( und

) ( )

(X a F₁ a P Y b F₂ b

P     

 



).

( und

)

( ₂ ¹

1

1^   ^ 

 F b F

a

. ) ,

( )

( )

( 1

)

|

( ^{   (,)}





















b Y a X P b

Y P a

X P b

Y a X

P ^C

3.2.3.1 Definition der Tail Abhängigkeit

Definition 3.13 und Definition 3.14: Seien X und Y zwei stetige Zufallsvariablen. Bei bekannter Copula C ergeben sich deruntere Tail-Abhängigkeitskoeffizient λ_L bzw. der obere Tail-Abhängigkeitskoeffizient λ_U als:

wenn der Grenzwert existiert und λ_L, λ_U Є [0,1]ist.

 λ_L= 0: asymptotische Unabhängigkeit im unteren Tail.

 λ_U = 0: asymptotische Unabhängigkeit im oberen Tail.

 λ_L Є (0,1]: Abhängigkeit im unteren Tail.

 λ_U Є (0,1]: Abhängigkeit im oberen Tail.

 Je größer λ_L(bzw. λ_U) ist, desto größer ist die Abhängigkeit im unteren (bzw.

oberen) Tail.

 Die Tail Abhängigkeit ist invariant unter streng monoton steigenden Transformationen.

 Abhängigkeiten in den Tails werden durch unterschiedliche Copulas

unterschiedlich modelliert.  Bei Auswahl eines Copula-Modells wichtig.







 





 



 



 

   1

) , ( 2

lim1 )

, lim (

1 0

C C

U

L und

3.2.4 Konkordanz

Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen

Lineare

Korrelation Komonotonie Rang-

korrelation Tail

Abhängigkeit Konkordanz

3.2.4 Konkordanz

Hier: Nicht Stärke der Abhängigkeit zwischen Zufallsvariablen X und Y messen sondern feststellen, ob die Abhängigkeit zwischen positiv ihnen (Konkordanz) oder negativ (Diskordanz) ist.

Zentrale Frage: „Wie ist positive (bzw. negative) Abhängigkeit definiert?“

1. Möglichkeit: Der Zusammenhang zwischen X und Y ist genau dann positiv, wenn ρ(X,Y) > 0 (oder ρ_S(X,Y) > 0 bzw. ρ_τ(X,Y) > 0) ist.

In der Regel wird positive Abhängigkeit jedoch anders definiert!

2. Möglichkeit: Der Zusammenhang zwischen X und Y ist genau dann positiv, wenn X und Y positiv quadrant abhängig (PQA) sind.

3. Möglichkeit: Der Zusammenhang zwischen X und Y ist genau dann positiv, wenn X und Y positiv assoziiert (PA) sind.

Definition 3.15: Zwei Zufallsvariablen X und Y werden positiv quadrant abhängig (PQA) genannt, wenn für alle x,y Є gilt:

P(X ≤ x , Y ≤ y) ≥ P(X ≤ x) ∙ P(Y ≤ y).

• Positive quadrant Abhängigkeit ist geeignet um positive Abhängigkeit zwischenX und Y auszudrücken, da X und Y mit höherer Wahrscheinlichkeit beide große

(bzw. kleine) Werte annehmen als im Falle der Unabhängigkeit zwischen X und Y.

• Wird die Ungleichung in Definition 3.15 umgekehrt, spricht man von negativ quadrant abhängigen Zufallsvariablen.

Definition 3.16: Zwei Zufallsvariablen X und Y werden positiv assoziiert (PA) genannt, wenn für alle reellwertigen, messbaren Funktionen g₁ und g₂ , die monoton steigend in beiden Komponenten sind und für die die nachfolgenden Erwartungswerte definiert sind, gilt:

3.2.4 Konkordanz

3.2.4 Konkordanz

 Die obige Definition für (PA) ist äquivalent zu: Cov( g₁((X,Y) , g₂((X,Y) ) ≥ 0.

Daran wird deutlich, warum die Positive Assoziation ein geeignetes

Konzept ist, um positive Abhängigkeit zwischen X und Y zu beschreiben.

 Wird die Ungleichung in Definition 3.16 umgekehrt, spricht man von negativ assoziierten Zufallsvariablen.

 (PQA) und (PA) sind invariant unter streng monoton steigenden Transformationen.

 (PQA) und (PA) sind stärkere Abhängigkeitsbedingungen als die drei bekannten Korrelationskoeffizienten. Folgende Darstellung verdeutlicht dies und zeigt gleichzeitig, dass Komonotonie die stärkste Form von Konkordanz also positiver Abhängigkeit ist:

Komonotonie (PA) (PQA)

,

4. Irrtümer bzgl. Korrelation und

Abhängigkeit

„Die gemeinsame Verteilungsfunktion F kann mithilfe der

Randverteilungen F

und F

und der Korrelation zwischen den Zufallsvariablen X und Y bestimmt werden.“

Die Aussage gilt für elliptische Verteilungen. Im Allgemeinen jedoch nicht!

Gegenbeispiel:

Betrachte zwei verschiedene gemeinsame Verteilungen mit Gamma(3,1)- Randverteilungen und derselben Korrelation ρ = 0,7. Dies ist sowohl mit der Gauß- als auch mit der Gumbel-Copula konstruierbar.

Während die Gauß-Copula keine Tail-Abhängigkeiten aufweist, ist die Gumbel- Copula für θ < 1 asymptotisch abhängig.

4.1 Irrtum 1

)) ( ),

( (

) , ( und

)) ( ),

( (

) ,

(x y C G_3,1 x G_3,1 y F x y C G_3,1 x G_3,1 y

F_Ga  _^Ga _Gu  _^Gu

. 54 , 0 71

,

0  

 und mit

4.1 Irrtum 1

Um dies zu verdeutlichen betrachte für beide Modelle:

P(X > u | Y > u), mit u = VaR_0,99(X) = VaR_0,99(Y) = G_3,1^-1(0,99).

Empirische Schätzungen liefern:

P_FGa(X > u | Y > u) = 1/3 und P_FGu(X > u | Y > u) = 3/4

Gumbel-Modell: gemeinsame extrem hohe Verluste sind wahrscheinlicher als im Gauß-Modell.  weniger Diversifikation!

Analytische Aussage über den VaR der Summe X + Y unter den beiden Modellen zu treffen ist schwierig. Aber Simulationen belegen, dass das Gumbel-Modell eine höhere Anzahl an großen Resultaten für den VaR liefert.

 Entscheidender Unterschied der Modelle bei Einschätzung extremer Verluste (der sich in den Randverteilungen und der Korrelation nicht bemerkbar macht).

4.2 Irrtum 2

“Seien F1 und F2 gegeben. Die lineare Korrelation zwischen X und Y kann – bei einer geeigneten Spezifikation von F – alle Korrelationen zwischen -1 und 1 annehmen.”

Diese Aussage ist falsch!

Gegenbeispiel:

• Betrachte: X ~ LN(0,1) undY ~ LN(0,σ²), mit σ > 0.

• Was ist der minimale (ρ_min) bzw. maximale (ρ_max) Wert, den die Korrelation bei diesen Randverteilungen annehmen kann?

• Da ρ_min= ρ(e^Z,e^–σZ) und ρ_max = ρ(e^Z,e^σZ), mit Z~ N(0,1) gilt, ist eine analytische Lösung möglich:

) 1 (

) 1 (

1 )

1 (

) 1 (

1

2

2 max

min   

 







 ^ 













e e

e e

e

e

und

4.2 Irrtum 2

• Bei diesem Beispiel werden nicht alle Werte zwischen -1 und +1 angenommen.

• _^lim_ ^{min }_^lim_ ^{max  0}

“Der Value-at-Risk eines linearen Portfolios X + Y wird am größten,

Wir wissen:

1. Für zwei komonotone Zufallsvariablen X und Y gilt:

VaR_α(X + Y) = VaR_α(X) + VaR_α(Y).

2. Für elliptische Verteilungen erfüllt der VaR die Subadditiätseigenschaft, also VaR_α(X + Y) ≤ VaR_α(X) + VaR_α(Y).

3. Für nicht-elliptische Verteilungen erfüllt der VaR die

Subadditiätseigenschaft nicht, d.h. es existieren X und Y, s.d.

VaR_α(X + Y) > VaR_α(X) + VaR_α(Y).

Die obige Aussage gilt also i.A. nicht, für elliptische Verteilungen ist sie jedoch korrekt.

4.3 Irrtum 3

4.3 Irrtum 3

Beispiel, bei dem sich der Value-at-Risk sehr interessant verhält:

• Betrachte zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y mit derselben Verteilung:

F_1/2 = 1 – x ^-1/2, mit x ≥ 1.

• Hierbei handelt es sich um eine extreme heavy-tailed Verteilung ohne endlichen Mittelwert.

• Betrachte nun die beiden Risiken: X + Y (unabhängig) sowie 2X (komomoton).

• Es lässt sich abschätzen, dass für z> 2 gilt:

• Damit folgt: VaR_α(X + Y) > VaR_α(2X) = VaR_α(X) + VaR_α(Y).

• Hier: aus Sicht des VaR Unabhängigkeit schlechter als perfekte positive Abhängigkeit - ganz unabhängig von der Wahl von α.

) 2

1 ( 1 2

)

( P X z

z z z

Y X

P        

5. Fazit

5. Fazit

• Überblick über verschiedene Möglichkeiten zur Modellierung von Abhängigkeiten zwischen Zufallsvariablen.

• Lineare Korrelation:Lediglich für elliptische Verteilungen gut geeignet.

• Alternative Abhängigkeitsmaße:Falls keine elliptische Verteilung vorliegt.

Drei klassische Irrtümer bzgl. Korrelation und Abhängigkeit:mit der intuitiven

Konzepte der Abhängigkeitsmodellierung zwischen Zufallsvariablen

Lineare

Korrelation Komonotonie Rang-

korrelation Tail

Abhängigkeit Konkordanz

Vielen Dank für Ihre

Aufmerksamkeit!