Jordan-Form eines linearen Differentialgleichungssystems
Das Differentialgleichungssystem
u 0 = Au + b(t), u = (u 1 , . . . , u n ) t ,
kann durch Transformation auf Jordan-Form, A → J = Q −1 AQ, gel¨ ost werden.
Mit u = Qv, c = Q −1 b folgt
v n 0 = λ n v n + c n (t)
v n−1 0 = λ n−1 v n−1 + % n v n + c n−1 (t) .. .
v 1 0 = λ 1 v 1 + % 2 v 2 + c 1 (t) ,
wobei λ k die Eigenwerte von A (bzw. Diagonalelemente von J) sind und
% k ∈ {0, 1}. Diese skalaren linearen Differentialgleichungen f¨ ur v k lassen sich sukzessive f¨ ur k = n, . . . , 1 l¨ osen.
Jordan-Form eines linearen Differentialgleichungssystems 1-1
Beispiel:
Anfangswertproblem
u 0 =
7 12 −3
−1 14 −1
−1 4 9
| {z }
A
u, u (0) =
1 1 1
Transformation
u =
−3 0 −1
−1 0 0
−1 1 1
| {z }
Q
v
Jordan-Form v 0 =
10 1 0
0 10 0 0 0 10
| {z }
J=Q
−1AQ
v , v (0) = Q −1 u(0) =
−1
−2 2
Jordan-Form eines linearen Differentialgleichungssystems 2-1
L¨ osungen der letzten beiden Differentialgleichungen v 3 = 2 exp(10t ), v 2 = −2 exp(10t) Einsetzen in die erste Differentialgleichung
v 1 0 = 10v 1 − 2 exp(10t) , v 1 (0) = −1 , d.h.
v 1 = −2t exp(10t) − exp(10t) R¨ ucktransformation
u(t) = Qv(t) =
−3v 1 − v 3
−v 1
−v 1 + v 2 + v 3
=
6t + 1 2t + 1 2t + 1
e 10t
Jordan-Form eines linearen Differentialgleichungssystems 2-2
