Eindeutigkeit der L¨ osung eines Differentialgleichungssystems
Ist f (t , u) in einer Umgebung [t
0− δ, t
0+ δ] × D von (t
0, a) ∈ R × R
nLipschitz-stetig bzgl. (u
1, . . . , u
n)
t, d.h. gilt
|f (t, u) − f (t, u)| ≤ ˜ L|u − u|, ˜ f¨ ur |t − t
0| ≤ δ und u, u ˜ ∈ D, dann ist eine L¨ osung des Anfangswertproblems
u
0(t) = f (t, u (t)), u (t
0) = a mit Werten in D eindeutig.
In Verbindung mit dem Satz von Peano garantiert also die
Lipschitz-Stetigkeit von f die lokale Existenz einer eindeutigen L¨ osung auf einem Intervall (t
0− δ
−, t
0+ δ
+) mit 0 < δ
±≤ δ.
Eindeutigkeit der L¨osung 1-1
Beweis:
betrachte f¨ ur zwei L¨ osungen u und ˜ u die Differenz u
0(t) − u ˜
0(t) = f (t, u(t)) − f (t, u ˜ (t))
Integration, Lipschitz-Bedingung f¨ ur |t − t
0| ≤ ∆ = min(δ, 1/(2L)) = ⇒
|u (t) − u ˜ (t)| = Z
tt0
f (s, u(s )) − f (s , u(s)) ˜ ds
≤ |t − t
0|
| {z }
≤1/(2L)
L max
|s−t0|≤∆
|u(s) − u ˜ (s)|
| {z }
=M
Bilden des Maximums der linken Seite ¨ uber t ∈ I = [t
0− ∆, t
0+ ∆]
= ⇒ M ≤ M/2 und somit M = 0, d.h. u = ˜ u auf I
Iteration des Arguments mit t
0← t ± ∆ = ⇒ Behauptung
Eindeutigkeit der L¨osung 2-1
Beispiel:
(i) Lokale Existenz:
u
0= tu
2, u(0) = 1 bestimme eine Lipschitz-Konstante L f¨ ur f (t, u) = tu
2f (t, u) − f (t , u) = ˜ t(u
2− u ˜
2) = [t(u + ˜ u)] (u − u) ˜
= ⇒ Abh¨ angigkeit von L von dem Betrag der L¨ osung δ = 2, D = [0, 4], d.h. (t, u ), (t, u) ˜ ∈ [−2, 2] × [0, 4]
L = max[. . .] = 2 · (2 · 4) = 16 Die L¨ osung (bestimmt durch Separation der Variablen)
u(t) = 1 1 − t
2/2 ist eindeutig; wird jedoch f¨ ur t = √
2 singul¨ ar, d.h. sie existiert nur auf einem Teilintervall von [−2, 2].
Eindeutigkeit der L¨osung 3-1
(ii) Globale Existenz:
u
0= sin(tu), u(0) = 1 Mittelwertsatz = ⇒
f (t, u) − f (t, u) = [cos(s ˜ ) t] (u − u) ˜
= ⇒ L = max[. . .] = T ist Lipschitz-Konstante auf dem Bereich [−T , T ] × R
|u
0(t)| ≤ 1 = ⇒
|u(t)| ≤ 1 + |t|
Satz von Peano (Existenz bis zum Rand des Stetigkeitsbereichs) = ⇒ Existenz im gesamten Interval (−T , T )
T beliebig Existenz einer eindeutigen L¨ osung auf R
Eindeutigkeit der L¨osung 3-2
