Serie II

Quantenmechanik II – SS 07 – Prof. M. Gaberdiel

Serie II

R¨uckgabe 17.04.2007

In der Vorlesung QMI haben wir die gebundenen Zust¨ande des Wasserstoffatoms kennen- gelernt, die durch die L¨osungen der Schr¨odinger-Gleichung f¨ur die Relativbewegung von Proton und Elektron

−~²

2m∆ + e² r

ψ(x) = Eψ(x) (1)

f¨ur E < 0 gegeben sind. Das Wasserstoffatom hat aber f¨ur E ≥ 0 auch kontinuier- liches Spektrum, d.h. Streuzust¨ande, die wir in dieser ¨Ubung verwenden wollen, um den Wirkungsquerschnitt f¨ur die Streuung am Coulomb-Potential zu berechnen. Weil wir elastische Streuung betrachten, d.h. weil E w¨ahrend des Streuprozesses konstant bleibt, und wir die L¨osungen sp¨ater nach Wellenvektoren k der einfallenden Welle klassifizieren wollen, setzen wir

E = ~²k² 2m = 1

2mv², γ = e²

~v . Damit lautet Gleichung (??)

∆ +k²−2γk r

ψ(x) = 0. (2)

Frage 1 [Konfluente hypergeometrische Differentialgleichung ]: Man bringe Gleichung (??) durch den Ansatz (wir haben die z-Achse unseres Koordinatensystems in die Rich- tung von kgelegt)

ψ(x) = e^ikzg(u), u= ik(r−z) auf die Form

u d²

du² + (1−u) d du + iγ

g(u) = 0.

Diese Gleichung hat als bei 0 regul¨are L¨osung die sogenannte konfluente hyperge- ometrische Funktion F(−iγ|1|u). Damit lautet die L¨osung von (??)

ψ(x) =:ψ_k(x) = Ae^ikzF(−iγ|1|ik(r−z)). (3) Frage 2 [Potenzreihenansatz und asymptotisches Verhalten ]: Die allgemeine Differen- tialgleichung f¨ur die konfluente hypergeometrische FunktionF(α|β|z) ist

zw⁰⁰+ (β−z)w⁰ −αw= 0. Mache f¨ur die L¨osung den Potenzreihenansatz

w(z) =

∞

X

k=0

a_kz^k,

l¨ose die daraus gefundenen Rekursionsrelationen f¨ur a_k, und finde so die Reihendarstel- lung der konfluenten hypergeometrischen Funktion.

Das asymptotische Verhalten ist aus der Integraldarstellung viel besser ersichtlich und lautet wie folgt:

F(α|β|z) = Γ(β)

Γ(β−α)(−z)^−α

1 + O 1

|z|

+ Γ(β)

Γ(α)e^zz^α−β

1 + O 1

|z|

Finde daraus und mit (??) mit A = Γ(1 + iγ)e^−1/2πγ folgenden Ausdruck f¨ur die Streul¨osungen:

ψ_k(x) = ψ_i(x) +ψ_s(x), mit

ψ_i(x) = exp(i(kz+γlogk(r−z)))

1 + O 1

|r−z|

ψ_s(x) = 1

rexp(i(kr−γlog 2kr))f(θ)

1 + O 1

|r−z|

,

wo

f(θ) = − γ

2ksin^{2 θ}₂exp(−iγlog sin² θ

2 + 2iσ₀) σ₀ = arg Γ(1 + iγ).

Wir wollen nun mit diesen Ausdr¨ucken f¨ur die Streul¨osungen den Rutherfordschen Streuquerschnitt berechnen. Wir interpretieren ψ_i als einfallende und ψ_s als gestreute Welle.

Frage 3 [Teilchenstromdichte ]: Zeige, dass die Teilchen- und Teilchenstromdichten in f¨uhrender Ordnung gegeben sind durch

|ψ_i|² = 1 |ψ_s(x)|² = |f(θ)|²/r²

ji = (0,0, v) js(x) = ^x_rjθ, jθ =v|f(θ)|^{2 1}_r2 .

Frage 4 [Rutherford]: Leite nun damit die Rutherfordsche Streuformel dσ

dΩ = e⁴ 16E²

1

sin^{4 θ}₂ , E = ~²k² 2m her.