Dg.x/D exp.x/ 1Cexp.x/ fürx2 R

lim

#0ln./ Dlim

#0 1

D lim

#0 1 ²

D lim

#0 D0 und genauso

lim"1.1 /ln.1 /Dlim

"1

ln.1 /

1 1

D lim

"1 1 1

1 .1 /²

D lim

"1.1 /D0:

Mit lim#0.1 /ln.1 / D 0 und lim"1ln./ D 0 folgen daraus die beiden Grenzwertbeziehungen lim#0f ./D0und lim"1f ./D0.

2. Offenbar besitzen die Funktionenf undgAbleitungen der Gestalt Df ./Dln./ ln.1 / für 20; 1Œ; Dg.x/D exp.x/

1Cexp.x/ fürx2 R;

D²f ./D 1

C 1

1 für 20; 1Œ; D²g.x/D exp.x/

.1Cexp.x//² fürx2 R:

3. Wegen der Grenzwertbeziehungen lim

#0Df ./Dlim

#0ln./D 1; lim

x! 1Dg.x/D lim

x! 1

1

1Cexp. x/ D0;

lim

"1Df ./D lim

"1ln.1 /D 1; lim

x!1Dg.x/D lim

x!1

1

1Cexp. x/ D1;

sindDf W0; 1Œ!RundDgWR!0; 1Œsurjektiv. DaD²f ./ > 0für alle 20; 1Œ sowie D²g.x/ > 0 für alle x 2 Rgilt, sind die Ableitungen Df W 0; 1Œ ! R und DgWR!0; 1Œstreng monoton wachsende Funktionen und damit auch injektiv.

4. Aufgrund von

Dg.Df .//D exp.ln./ ln.1 //

1Cexp.ln./ ln.1 // D

1 1

.1 /C D für 20; 1Œ;

Df .Dg.x//Dln exp.x/

1Cexp.x/ ln 1

1Cexp.x/ Dln.exp.x//Dx fürx2 R;

sindDf W0; 1Œ!RundDgWR!0; 1Œzueinander inverse Funktionen.

1 0

1 1

Aufgabe 2. Seif WR!Rdurchf .x/D.x² 1/³fürx2 Rdefiniert.

1. Man bestimme alle Nullstellen und den Wertebereich vonf! 2. Man finde alle lokalen Extrempunkte und Wendepunkte vonf!

3. Auf welchen Intervallen istf jeweils streng monoton, konvex bzw. konkav? ³ Lösung. 1. Da f .x/ D .x 1/³.x C1/³ für allex 2 Rgilt, hat die Funktionf die beiden Nullstellenx1 D1undx2D 1. Da die durchg.x/Dx² 1fürx 2Rsowie h.y/D y³füry 2Œ 1;1Œdefinierten Funktioneng WR !RundhW Œ 1;1Œ! R jeweils den Wertebereich Œ 1;1Œ haben, muß auch die Verkettung f D hı g den WertebereichŒ 1;1Œbesitzen.

2. Als ganze rationale Funktion istf analytisch und besitzt die Ableitung Df .x/ D6x.x² 1/² D6x.x 1/².xC1/² für allex 2R:

Die AbleitungDf WR!Rhat die drei Nullstellenx0 D0,x1 D1undx2 D 1.

Außerdem gilt Df .x/ > 0 für alle x 2 0; 1Œ sowie x 2 1;1Œ, das heißt, die Funktionf ist streng monoton wachsend inŒ0;1Œ. Analog dazu giltDf .x/ < 0für allex 2  1; 1Œsowie x 2  1; 0Œ, das heißt, die Funktionf ist streng monoton fallend in  1; 0. Damit hat f in x0 D 0 ein strenges lokales Minimum und in x1 D1sowiex2D 1keinelokalen Extremwerte.

3. Die zweite Ableitung vonf hat die Gestalt

D²f .x/D6.x² 1/²C24x².x² 1/D6.x² 1/.5x² 1/ für allex2 R und somit die vier Nullstellenx1D1,x2 D 1,x3 D ¹₅p

5undx4 D ¹₅p 5.

Es giltD²f .x/ > 0für allex 2 1; 1Œ,x 2 ₁

5

p5;¹₅p 5

sowiex2 1;1Œ, das heißt, die Funktionf ist streng konvex auf den Intervallen 1; 1, ₁

5

p5;¹₅p 5 und Œ1;1Œ. Ferner gilt D²f .x/ < 0 für alle x 2

1; ¹₅p 5

und x 2 ₁

5

p5; 1 , das heißt, die Funktion f ist streng konkav auf den Intervallen

1; ¹₅p 5

und ₁

5

p5; 1

. Damit hat f in x1 D 1, x2 D 1, x3 D ¹₅p

5 und x4 D ¹₅p

5 jeweils

Wendepunkte.

definierte Funktionf WŒ0; 2!Rint 2Œ0; 2(lokale) Extremwerte annimmt.

2. Die Funktionf WŒ0; 2!Rbesitzt die Ableitungen

Df .t /D16.8sint 3/cost 32sintcost D48.2sint 1/cost D²f .t /D96.cos²t sin²t /C48sint D48.2Csint 4sin²t /

für t 2 Œ0; 2. Man erhält genau dann Df .t / D 0 für t 2 Œ0; 2, wenn eine der Bedingungen cost D0oder sint D ¹₂ und somitt 2˚

6;₂;⁵₆ ;³₂ gilt.

Aufgrund von D²f ₆

D D²f ⁵₆

D 72 nimmt f in t 2 ˚

6;⁵₆ jeweils das strenge lokale Minimumf ₆

Df ⁵₆

D13an, welches wegenf .0/ Df .2/D25 dasglobaleMinimum der Funktionf ist.

WegenD²f ₂

D 48undD²f ³₂

D 144besitztf int 2 ˚

2;³₂ jeweils das strenge lokale Maximumf ₂

D 25bzw. f ³₂

D 121. Da f .0/ D f .2/ D 25 gilt, hat die Funktionf somit int D ³₂ ihrglobalesMaximum.

Alternative Lösung. 2. Die Beziehung cos²t Csin²t D1liefert die Darstellung f .t /D16 16sin²t C64sin²t 48sint C9D48 sint ¹₂₂

C13 fürt 2 Œ0; 2:

Da der Sinus den WertebereichŒ 1; 1besitzt, nimmt die Funktionf W Œ0; 2 ! R somit ihrglobalesMaximum in den Punktent 2 Œ0; 2mit sint D 1, das heißt in t D ³₂ an, wohingegen die Funktionf WŒ0; 2!Rin den Punktent 2Œ0; 2mit sint D ¹₂, also int 2 ˚

6;⁵₆ , ihrglobalesMinimum erreicht.

2 0 ₂ 3

2 2

Aufgabe 4. Gedämpfte Schwingungen werden durch Funktionen u W R ! R be- schrieben, die mit Hilfe einer gegebenenDämpfunga > 0undFrequenzb > 0durch

u.t /De ^atsinbt fürt 2 Rdefiniert werden:

1. Man finde alle lokalen Extrempunkte und Wendepunkte vonu!

2. Auf welchen Intervallen istf jeweils streng monoton, konvex bzw. konkav?

Lösung. 1. Seienr 2 0;1Œ,ˇ2RPolarkoordinaten von. a; b/D.rcosˇ; rsinˇ/.

Dann besitztuWR!Rfür jedest 2Rnach den Additionstheoremen die Ableitung Du.t /D ae ^atsinbt Cbe ^atcosbt Dre ^atsin.btCˇ/:

Die Ableitung Du W R ! R hat die durch btk C ˇ D k für k 2 Z gegebenen Nullstellentk D ¹_b.k ˇ/. Ferner gilt sin.btCˇ/ > 0und somitDu.t / > 0für alle t 2 t2k; t2kC1Œ undk 2 Z, das heißt, u ist streng monoton wachsend aufŒt2k; t2kC1 für jedesk 2 Z. Genauso ergibt sich sin.bt Cˇ/ < 0und damit Du.t / < 0für alle t 2 t2k 1; t2kŒundk 2 Z. Also istustreng monoton fallend aufŒt2k 1; t2kfür jedes k 2 Z. Damit hat die Funktion uint2k D ¹_b.2k ˇ/für jedes k 2 Zein strenges lokales Minimum und in t2kC1 D ¹_b..2k C 1/ ˇ/ für jedes k 2 Z ein strenges lokales Maximum.

3. Die zweite Ableitung vonuhat für jedest 2Rdie Gestalt

D²u.t /D are ^atsin.bt Cˇ/Cbre ^atcos.btCˇ/Dr²e ^atsin.btC2ˇ/

und somit die durchbkC2ˇDkfürk 2Zgegebenen Nullstellenk D ¹_b.k 2ˇ/.

Es gilt sin.bt C2ˇ/ > 0 und somit D²u.t / > 0für allet 2 2k; 2kC1Œundk 2 Z, das heißt,u ist streng konvex aufŒ2k; 2kC1für jedes k 2 Z. Außerdem ergibt sich sin.bt C2ˇ/ < 0 und damitD²u.t / < 0 für alle t 2 2k 1; 2kŒ undk 2 Z. Also ist u streng konkav auf Œ2k 1; 2k für jedes k 2 Z. Damit hat die Funktion u in

k D ¹_b.k 2ˇ/für jedesk 2Zeinen Wendepunkt.

Aufgabe 5. Seien die Parameter Erwartungswert 2 R und Standardabweichung 2R, > 0derGauß-NormalverteilungˆWR!0;1Œvorgegeben, welche durch

ˆ.x/D 1 p

2 exp

.x /² 2²

für allex2Rdefiniert wird:

1. Man finde alle lokalen Extrempunkte und Wendepunkte vonf!

2. Auf welchen Intervallen istf jeweils streng monoton, konvex bzw. konkav?

Lösung. 1. Die Ableitung der analytischen Funktionˆhat die Gestalt

Dˆ.x/D 1

p 2

x

² exp

.x /² 2²

für allex2R:

Da Dˆ.x/ > 0 für alle x 2  1; Œ sowie Dˆ.x/ < 0 für alle x 2 ;1Œ gilt, wächst die Funktionˆstreng monoton auf 1; , besitzt inein strenges lokales Maximum und fällt streng monoton aufŒ;1Œ.

2. Die zweite Ableitung vonˆhat die Form D²ˆ.x/D 1

p 2

.x /^{2 2}

⁴ exp

.x /² 2²

für allex2R:

DaD²ˆ.x/ > 0 für alle x 2  1; Œ undx 2 C;1Œsowie D²ˆ.x/ < 0 für allex 2  ; C Œ gilt, ist die Funktion ˆ streng konvex auf  1;  undŒC;1Œ, streng konkav aufŒ ; C  und besitzt in˙ jeweils einen

Wendepunkt.

5

0

1 1

Aufgabe 6. Seif WR!Rdurchf .x/D.x²C4xC5/exp. x/fürx2Rgegeben.

1. Man zeige, daßf streng monoton fallend ist und bestimme den Wertebereich!

2. Auf welchen Intervallen istf streng konvex bzw. streng konkav?

3. Man finde alle lokalen Extrempunkte und Wendepunkte vonf! Lösung. 1. Da f .x/ D .x C2/²C1

exp. x/ > 0 für alle x 2 R gilt, besitzt die Funktionf keineNullstellen. Die Ableitungen haben fürx2 Rdie Gestalt

Df .x/D.2xC4/exp. x/ .x²C4xC5/exp. x/D .xC1/²exp. x/;

D²f .x/D .2xC2/exp. x/C.x²C2xC1/exp. x/D.x C1/.x 1/exp. x/:

Somit gilt Df .x/ < 0 für alle x 2 Rn f 1g, das heißt, die Funktion f ist streng monoton fallend und hat somitkeinelokalen Extremwerte.

Um einzusehen, daß neben limx! 1f .x/ D 1auch limx!1f .x/ D 0gilt, soll die Regel von Bernoulli-de l’Hospital angewendet werden: In der Tat ergibt sich

xlim!1f .x/D lim

x!1

x²C4xC5

exp.x/ D lim

x!1

2xC4

exp.x/ D lim

x!1

2

exp.x/ D0:

Somit hat die Funktionf den Wertebereich0;1Œ.

2. Da für alle x 2  1; 1Œ undx 2 1;1Œ stetsD²f .x/ > 0 gilt, ist die Funk- tionf auf den Intervallen 1; 1und Œ1;1Œ streng konvex. Da D²f .x/ < 0 für jedes 1; 1Œgilt, ist die Funktionf auf dem IntervallŒ 1; 1streng konkav und be-

sitzt inx1D 1undx2 D1Wendepunkte.

E.t /D8m sin²t 2sintsin4t Csin²4t Ccos²t 2costcos4t Ccos²4t D8m 2 2.sintsin4t Ccostcos4t /

D16m.1 cos3t /

aufgrund der Additionstheoreme ergibt. Da die Funktion cosWR!Rihre Minima bzw. Maxima in den Punkten D C2k bzw. D 2k für k 2 Z hat, nimmt die kinetische EnergieE.t /des Teilchens zu den Zeitpunktent 2 ˚

0;²₃ ;⁴₃ ; 2 ihr globales Minimum E.0/ D 0 und zu den Zeitpunkten t 2 ˚

3; ;⁵₃ ihr globales

MaximumE./D32m > 0an.

1

0

1 1

Aufgabe 8. Seif WR!Rdurchf .x/Dˇ

ˇjxj 1ˇ

ˇfürx 2Rgegeben. Man bestimme die Nullstellen, den Wertebereich und die lokalen Extrempunkte der Funktionf! Lösung. 1. Es gilt genau dann f .x/ D 0für x 2 R, wennjxj D 1 und demzufolge x2 f 1; 1ggilt. Somit sindx1 D1sowiex2D 1die Nullstellen der Funktionf.

2. Da die durch g.x/ D jxj 1 für x 2 R definierte Funktion g W R ! R den WertebereichŒ 1;1Œ besitzt, hat die Funktionf D jgj W R ! Rden Wertebereich Œ0;1Œ. Da die innere Funktiongdie Darstellung

g.x/D jxj 1D 8

<

:

x 1 fürx 2 1; 0;

x 1 fürx 2Œ0;1Œ besitzt, ergibt sich für die Verkettungf D jgjdie Darstellung

f .x/D jg.x/j Dˇ

ˇjxj 1ˇ ˇD

8 ˆˆ ˆˆ ˆ<

ˆˆ ˆˆ ˆ:

x 1 fürx 2 1; 1;

xC1 fürx 2Œ 1; 0;

xC1 fürx 2Œ0; 1;

x 1 fürx 2Œ1;1Œ:

3. Somit istf in jedem Punktx2 Rn f 1; 0; 1gdifferenzierbar, und man erhält Df .x/D

8

<

:

1 fürx 2 1; 1Œ[0; 1Œ;

1 fürx 2 1; 0Œ[1;1Œ:

Daraus folgt, daßf inx0 D0das strenge lokale Maximumf .0/D 1und inx1 D1 sowiex2 D 1jeweils das strenge lokale Minimumf .1/ D f . 1/ D 0besitzt, das

somit auch dasglobaleMinimum der Funktionf ist.