T∞ i=1Ai ∈ A, (ii) A1

Ubungsaufgaben zur VL EWMS, WS 2018/19¨ Blatt 2, Abgabe: 01.11.2018, 10 Uhr

5. (1+1+1 Punkte)

Es sei A eine σ-Algebra in einer nichtleeren Menge Ω. Beweisen Sie:

(i) A₁, A₂, . . .∈ A =⇒ T∞

i=1A_i ∈ A, (ii) A₁, . . . , A_n∈ A =⇒ Sn

i=1A_i ∈ A, Tn

i=1A_i ∈ A, (iii) A, B ∈ A =⇒ A\B ∈ A.

6. (1+2 Punkte)

Ein Modell f¨ur den n-maligen M¨unzwurf ist gegeben durch den Wahrscheinlichkeits- raum (Ω,A, P), wobei Ω = {(ω1, . . . , ωn): ωi ∈ {0,1}}, A = 2^Ω und P({ω}) = 2⁻ⁿ

∀ω ∈ Ω. (“1” m¨oge f¨ur Zahl stehen und “0” f¨ur Wappen.) A_k sei das Ereignis, dass genau k-mal Zahl f¨allt.

(i) Beschreiben Sie A_k als eine Teilmenge von Ω!

(ii) Wie viele Teilmengen hat Ω? Wie viele Mengen enth¨alt die kleinsteσ-AlgebraA₀ in Ω, welche die MengenA₀, . . . , A_n enth¨alt?

7. (3 Punkte)

(Ω,A, P) sei ein Wahrscheinlichkeitsraum und A1, . . . , An∈ A.

Zeigen Sie, dass

P

n

[

i=1

A_i

!

=

n

X

k=1

(−1)^k+1 X

(i1,...,ik): 1≤i₁<···<i_k≤n

P(A_i1 ∩ · · · ∩A_ik)

gilt!

8. (2 Punkte)

Betrachten Sie eine Folge von Urnenmodellen des Typs I (jeweilsn-faches Ziehen OHNE Zur¨ucklegen), wobei im N-ten Modell die Anzahl der schwarzen Kugeln s_N und die Anzahl der weißen Kugeln w_N sei (s_N +w_N =N). Es gelte s_N/N−→_N→∞p∈(0,1).

Wogegen konvergieren die Wahrscheinlichkeiten, dass genaukschwarze Kugeln gezogen werden, falls N → ∞?