Das Potential ist konstant und wir w¨ahlen insbesondere Φ = 0

(1)

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik III WS 2014/2015

Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 4

Dr. B. Narozhny L¨osungen

1. Leiterecke: (1+1+1+1+1+2+3=10 Punkte)

Eine Ladung q befindet sich im Abstand a bzw. b von senkrecht zueinander stehenden, unendlich ausgedehnten, leitenden, geerdeten Ebenen.

Die Platten sind leitend, daher darf keine elektrische Feldkomponente in den Platten vorhanden sein. Das Potential ist konstant und wir w¨ahlen insbesondere Φ = 0.

(a) Wo liegen die Spiegelladungen und wie groß sind sie?

Wir legen die Punktladung in die xy-Ebene und bezeichnen ihre Position mit r= (x, y). Die Spiegelladungen mit Ladung ±q liegen dann gem¨aß der Abbildung bei r₁ = (a,−b), r₂ = (−a,−b) und r₃ = (−a, b). Ihre Ladungen sind: q₁ = −q, q₂ =q,q₃ =−q.

(b) Uberpr¨¨ ufen Sie explizit, dass ihre Anordnung die Randbedingungen Φ(0, y, z) = Φ(x,0, z) = 0 erf¨ullt:

Das Gesamtpotential (f¨ur x >0, y >0) ist gegeben durch φ(r) = 1

4π₀

3

X

i=0

q_i

|r−r_i|. Dann

φ(r) = q 4π₀

1

p(x−a)²+ (y−b)²+z² − 1

p(x+a)²+ (y−b)²+z²

+ 1

p(x+a)²+ (y+b)²+z² − 1

p(x−a)²+ (y+b)²+z²

.

(2)

And den R¨andern des Gebiets ergibt sich φ(0, y, z) = q

4π₀

1

pa²+ (y−b)²+z² − 1

pa²+ (y−b)²+z²

+ 1

pa²+ (y+b)²+z² − 1

pa²+ (y+b)²+z²

= 0, φ(x,0, z) = q

4π₀

1

p(x−a)²+b²+z² − 1

p(x+a)²+b²+z²

+ 1

p(x+a)²+b²+z² − 1

p(x−a)²+b²+z²

= 0. (c) Berechnen Sie das elektrische Feld auf den Oberfl¨achen.

Es gilt

∂φ

∂y x=0

= ∂φ

∂z x=0

= 0,

∂φ

∂x x=0

= 2aq 4π0

1

[a²+ (y−b)²+z²]^3/2 − 1

[a²+ (y+b)²+z²]^3/2

.

Das elektrische Feld steht also senkrecht auf den Platten, wie gefordert und is f¨ur x= 0 gegeben durch

E(0, y, z) = −e_x 2aq 4π₀

1

[a²+ (y−b)²+z²]^3/2 − 1

[a²+ (y+b)² +z²]^3/2

. Und ebenso erhalten wir f¨ur die Platte in der xz-Ebene,

∂φ

∂x y=0

= ∂φ

∂z y=0

= 0,

∂φ

∂y y=0

= bq 2π₀

1

[(x−a)²+b²+z²]^3/2 − 1

[(x+a)²+b²+z²]^3/2

, E(x,0, z) =−e_y bq

2π0

1

[(x−a)²+b²+z²]^3/2 − 1

[(x+a)²+b² +z²]^3/2

. Skizzieren Sie das Feldlinienbild.Hier a= 6, b= 4

0 2 4 6 8 10

0 2 4 6 8

x

z

(3)

(d) Berechnen Sie die Oberfl¨achenladungsdichte σ.

Die Oberfl¨achnladungsdichte ergibt sich wieder aus dem Sprung des elektrischen Feldes. Das Feld in den Platten verschwindet und wir erhalten

σ(0, y, z) = −aq 2π

1

[a²+ (y−b)²+z²]^3/2 − 1

[a²+ (y+b)²+z²]^3/2

,

σ(x,0, z) =−bq 2π

1

[(x−a)²+b²+z²]^3/2 − 1

[(x+a)²+b²+z²]^3/2

.

Skizzieren Sie die Oberfl¨achenladungsdichte σ.

Die Abbildungen zeigen−σ(0, y, z) (links) und−σ(x,0, z) (rechts) f¨urq = 1,a= 6, b= 4.

(e) Berechnen Sie die gesamte Influenzladung in jeder der beiden Halbebenen:

Die gesamte Oberfl¨achenladung in der xz-Ebene is gegeben durch Q_xz =− bq

2π

∞

Z

−∞

dz

∞

Z

0

dx

1

[(x−a)²+b²+z²]^3/2 − 1

[(x+a)²+b²+z²]^3/2

=−bq 2π

a

Z

−a

dx

∞

Z

−∞

dz 1

[x²+b²+z²]^3/2

=−bq 2π

a

Z

−a

dx

∞

Z

−∞

dz d dz

z

(b²+x²)[x²+b²+z²]^1/2

=−bq 2π

a

Z

−a

2dx

(b²+x²) =−q π

a/b

Z

−a/b

dx (1 +x²)

=−2q

π arctan(a/b).

(4)

Entsprechend erhalten wir in der yz-Ebene Q_yz =− aq

2π

∞

Z

0

dy

∞

Z

−∞

dz

1

[a²+ (y−b)²+z²]^3/2 − 1

[a²+ (y+b)² +z²]^3/2

=−aq 2π

∞

Z

−∞

dz

b

Z

−b

dy 1

[a²+y²+z²]^3/2 =−2q

π arctan(b/a).

Insgesamt

Q_xz +Q_yz =−q.

F¨ur ab erhalten wir Q_xz ' −q und Q_yz '0.

(f) Welche Kraft wirkt auf die Ladung?.

Die Punktladung erf¨ahrt die Kraft gegeben durch die Spiegelladungen, F= q

4π₀

3

X

i=1

qi(r−ri)

|r−r_i|³ ,

F_x =−qe_x· ∇φ(r) = q² 4π₀

a 4

1 ρ³ − 1

a³

,

F_y =−qe_y· ∇φ(r) = q² 4π₀

b 4

1 ρ³ − 1

b³

. Hierbeiρ=√

a²+b².

(g) Untersuchen Sie das Potential für große Abstände |~r| a, b von der Ladung Wir entwickeln das Skalarpotential [siehe Aufgabe (b)] für r |r_i|, wobei wir mit

|r_i| wieder die Position der i-ten Ladung bezeichnen (siehe Skizze).

1

|r−r_i| = 1

pr²+r²_i −2r·r_i ' 1 r

1−r_i·(r_i−2r)

2r² + 3[r_i·(r_i−2r)]² 8r⁴

= 1 r

1−r_i·(r_i−2r)

2r² + 3|r_i|⁴

8r⁴ −3r²_i(r_i·r)

2r⁴ + 3(r_i·r)² 2r⁴

. Nur der letzte Term tr¨agt nach der Summe ¨uberi bei, sodass

φ(r) = 1 4π₀

3

X

i=0

1

|r−r_i| = 1 4π₀

3

X

i=0

q_i r⁵

3(r_i·r)²

2 = 3qab π₀

xy r⁵.

F¨ur |r| |r_i| sieht man in erster N¨aherung nur noch das Quadrupolfeld der An- ordnung, da das Mono- und Dipolmoment der Ladung und ihrer drei Bildladungen verschwinden.

(5)

2. Keil: (5+5=10 Punkte)

Zwei geerdete Halbebenen schließen nun einen 45^◦ Winkel miteinander ein. Zwischen diesen Halbebenen – jedoch nicht auf der Symmetrieebene dieser Anordnung – befindet sich eine Punktladung q.

(a) Wie viele Spiegelladungen sollte man verwenden?:

Es m¨ussen sieben Spiegelladungen mit Ladung±q gem¨aß der Abbildung verwendet werden. Hierbei sei die Position der Punktladung gegeben durch (a, b), wobeib < a gilt.

(b) Bestimmen Sie das Skalarpotential dieser Anordnung:

Das Potential ist gegeben durch die ¨Uberlagerung der Potentiale der Punktladung und ihrer Bildladungen,

φ(r) = q 4π₀

1

p(x−a)²+ (y−b)² − 1

p(x−a)²+ (y+b)²

− 1

p(x−b)² + (y−a)² + 1

p(x−b)² + (y+a)²

− 1

p(x+b)²+ (y+a)² + 1

p(x+a)²+ (y+b)²

− 1

p(x+a)²+ (y−b)² + 1

p(x+b)²+ (y−a)²

.

F¨urx= 0 und f¨urx=yuberzeugt man sich leicht, dass das Potential verschwindet.¨

(6)

3. Kugel: (3+4+3=10 Punkte) Im Blatt 3 haben wir eine geerdete, leitende Kugel K_R betrachtet

KR =

r∈R³ :|~r|< R .

Es gab auch eine Punktladung q am Punkt~rq= (0,0, a) mita > R.

Wir w¨ahlen hier Zylinderkoordinaten.

(a) Wie ändert sich die Lösung, wenn die Kugeloberfläche auf dem Potential Φ₀ liegt?

Wenn die Kugel nicht geerdet ist, sondern auf dem Potential Φ₀ liegt, müssen wir zu dem Skalarpotential im Außenraum eine Lösungφ₁(r) der Laplacegleichung ad- dieren, welche im Unendlichen verschwindet und auf der Kugeloberfläche den Wert φ₀ annimmt. Diese Lösung ist natürlich gegeben durch die Fundamentallösung

φ₁(r) = φ₀R

|r| . Das gesamte Potential ist dann gegeben durch

φ(r) = q¯ a





1

p1 + ¯r²−2¯rcos(θ) − 1

qR¯²+ _R^r^¯_¯²2 −2¯rcos(θ)



+φ₀R¯

¯ r .

Hier haben wir die dimensionslosen Variablen ¯r = r/a, ¯R = R/a eingef¨uhrt und schreiben ¯q=q/4π₀.

(b) Geben Sie die Greensche Funktion G_D(~r, ~r⁰) f¨ur das Dirichlet Problem mit Rand- werten auf einer Kugelschale mit Radius R an.

Die Greensche FunktionG(r,r⁰) für das Dirichlet’sche Randwertproblem auf ¯K_R^C ist gegeben durch das Potential am Ortr∈K¯_R^C hervorgerufen durch eine Punktladung am Ort r⁰ ∈ K¯_R^C mit Einheitsladung q = 1, welches zusätzlich die Randbedingung G(r,r⁰) = 0 für r∈∂K_R^C erfüllt.

Wenn wir im Skalarpotential (siehe Blatt 3 und Aufgabe 3a) q = 1 und a = y⁰ setzen, ist das Potential die Greensche Funktion f¨ur den Spezialfall, dassy⁰ auf der z-Achse liegt. Die allgemeine Greensche Funktion erhalten wir ganz einfach, indem wir das Skalarpotential in rotationsinvarianter Form schreiben

G(r,r⁰) = 1 4π₀

1

r²+r⁰²−2r·r⁰1/2 − R/r⁰

r² +^R_r02⁴ −2^R_r02²r·r⁰1/2

!

= 1

4π₀

1

r²+r⁰²−2r·r⁰1/2 − 1 _r⁰²_r2

R² +R²−2r·r⁰1/2

! .

Wie auch immer wir unser Koordinatensystem rotieren, die Greensche Funktion hängt nur von dem relativen Winkel zwischen r und r⁰ ab und die obige Funktion ist bereits die gesuchte Lösung für allgemeine r,r⁰.

(7)

(c) Berechnen Sie die Ableitung

∂GD(~r, ~r⁰)

∂n⁰ ≡~n⁰·∇~_~_r⁰G_D(~r, ~r⁰),

die im Oberfl¨achenintegral in der L¨osung des Randwertproblems steht.

Wir erhalten f¨ur die Ableitung in normalen Richtungn⁰ =−e_r⁰ auf der Oberfl¨ache (r⁰ =R),

n⁰· ∇_r⁰G(r,r⁰)

r⁰=R=−e_r⁰·e_r⁰ ∂

∂r⁰G(r,r⁰)

r⁰=R=− 1 4π0

r²−R²

R[r²+R²−2rRcos(θ)]^3/2.