Berufskolleg Kaufmännische Schulen des Kreises Düren
Mathematik-Übungsaufgaben
©Koch
Thema: Kurvendiskussion mit Differentialrechnung Schulform: Höhere Handelsschule
Schwierigkeitsgrad: mittel Bearbeitungszeit (ca.): 35 min.
f(x) = 0,2 x³ - 0,8 x² - 2,2 x + 6
a) Bestimme alle Achsenschnittpunkte der Funktion f.
b) Ermittele die Extrempunkte der Funktion f und gib ihre Art (Minimum oder Maximum) an.
c) Bestimme den Wendepunkt der Funktion f.
d) Bestimme die Funktionsgleichung der Wendetangente.
e) Zeichne den Graphen der Funktion f für –3,5 ≤ x ≤ 6 mit Hilfe der obigen Ergebnisse und min- destens 2 weiteren sinnvollen Punkten.
Lösungen
a) 0,2 x³ - 0,8 x² - 2,2 x + 6 = 0 | . 5 ↔ 1 x³ - 4 x² - 11 x + 30 = 0 8 - 16 – 22 + 30 = 0 x1 = 2 (1 x³ - 4 x² - 11 x + 30) : (x - 2) = x² - 2 x - 15
-(1 x³ - 2 x²)
-2 x² - 11 x x² - 2 x - 15 = 0 x2/ 3 = ±1 1 15 1 4+ = ±
-(-2 x² + 4 x) x2 = 5 x3 = -3
-15 x + 30
-(-15 x + 30) Sx1(2 | 0) Sx2(5| 0) Sx3(-3| 0) Sy(0 | 6) 0
b) f '(x) = 0,6 x² - 1,6 x - 2,2 f ''(x) = 1,2 x - 1,6 f '''(x) = 1,2 f '(x) = 0 → 0,6 x² - 1,6 x - 2,2 = 0 | : 0,6 x² - 2,6667 x - 3,6667 = 0
16 49 7
4 11 4 4
1/ 2 3 9 3 3 9 3 3
x = ± + = ± = ± x1 = 3,6667 x2 = -1
f ''(3,6667) = 2,80004 > 0 → Min(3,6667 | -2,963) mit f (3,6667) = -2,963 f ''(-1) = -2,8 < 0 → Max(-1 | 7,2) mit f (-1) = 7,2
c) f ''(x) = 0 → 1,2 x - 1,6 = 0 xw = 1,3333 f '''(1,3333) = 1,2 ≠ 0 → WP(1,3333 | 2,1186) mit f(1,3333) = 2,1186
e) t(x) = m x + b m = f '(1,3333) = -3,27 t(x) = -3,27 x + b
2,1186 = -3,27 . 1,3333 + b b = 6,478491 t(x) = -3,27 x + 6,478491
f) f(-3,5) = -4,675 f(6) = 7,2
-6 -4 -2 0 2 4 6 8
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x7
f(x)
